《垂徑定理》公開課教學設計【北師大版九年級數(shù)學下冊】

1、垂徑定理教學設計教材分析圓是一種特殊圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。該節(jié)內(nèi)容分為2課時。本 節(jié)課是第1課時，學生通過前面的學習，能用折疊的方法得到圓是一個軸對稱圖形。其對稱 軸是任一條過圓心的直線。教學目標【知識與能力目標】1 .理解圓的軸對稱性及其相關性質(zhì)：2 .利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理。【過程與方法目標】經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關性質(zhì)的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法?！厩楦袘B(tài)度價值觀目標】1 .培養(yǎng)學生獨立探索，相互合作交流的精神。2 .通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，使學生領會數(shù)學的嚴逆性和探索精神，培養(yǎng) 學生學習實事求是的科學態(tài)度和積極參與的主動精

2、神。教學重難點【教學重點】利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理?！窘虒W難點】和圓有關的相關概念的辨析理解。課前準備（提前一天布置）1 .每人制作兩張圓紙片（最好用16K打印紙）2 .預習課本P7rp76內(nèi)容（教學過程第一環(huán)節(jié)復習提問1、什么是軸對稱圖形？我們在學過哪些軸對稱圖形？如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱 圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。2、我們所學的圓是不是軸對稱圖形呢？如果是，它的對稱軸是什么？ 你能找到多少 條對稱軸？歸納：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線， 第二環(huán)節(jié)講授新課活動內(nèi)容：（-）探索

3、垂徑定理。做一做1 .在一張紙上任意畫一個。O,沿圓周將圓剪下，把這個圓對折使圓的兩半部分 重合。2 .得到一條折痕CZX3 .在。上任取一點A,過點A作。折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足。4 .將紙打開，新的折痕與圓交于另一點8,如右圖問題：（1）觀察右圖，它是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關系？說一說你的理由。在。中，A3為弦，CO為直徑,COL48提問：你在圖中能找到哪些相等的量？并證明你猜想的結論C 證明過程見PPT.幾何語言如圖: CD是直徑，CQJ_AB,：AM=BM,AC = BC、AD = BD總結得出垂徑定理：垂

4、直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所 對的弧。（二）講解例題及完成隨堂練習。例1如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中CD, 點。是CD的圓心），其中CQ=600m, E為CD上一點、,且OELCO, 垂足為凡EF=90 m.求這段彎路的半徑。分析要求彎路的半徑，連接0。只要求出0C的長便可以了.因為己知0EJ_C。，所 以CF=CD=300 cm, 0F=0E-EF,此時得到了一個 即b。,利用勾股定理便可列出方 程.解答過程見PPTq練習:1、如圖3-33所示，弦CD垂直于。的直徑A&垂足為E,且CD= 2應，BD=邪,則A3的長為 （）A. 2B. 3C. 4D. 52、

5、如圖3 35所示，。的直徑A8垂直弦CO于P,且尸是半徑。8的中點，CD=6cm,則直徑AB的長是 （）A. 2y/3 cmB. 3-72 cmC. 4-72 cmD. 4>/3 cm9/93.如圖所示，在。中，A3和AC是互相垂直的兩條弦，0D«LA8于。，OE_LAC于E.且A8=8 cm, AC=6 cm,那么。的半徑OA的長為答案：1. B 2. D 3. 5 cm（H）探索垂徑定理逆定理并完成隨堂練習。想一想：如下圖示，AB是。的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑C。，交 CAB于點M,廣平同學們利用圓紙片動手做一做，然后回答：（1）上圖是軸對稱圖形嗎?如 果是，其

6、對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關系？說一說你的理 °由O總結得出垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。討論（1）過圓心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所對優(yōu)弧 （5）平分弦所對的劣弧。（1）平分弦（彳是直徑）的直徑垂且孫玄，并生平今夠所對的兩條忒 ）（、（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。練習：1 .下列命題：圓心不同，直徑相等的兩圓是等圓：長度相等的兩弧是等?。簣A 中最長的弦是直徑：圓的對稱軸是圓的直徑：圓不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形一其中正確的有 （

7、）A. 1個 8. 2個 C. 3個 Q. 4個2 . P為。0內(nèi)一點，且0P=8 cm,過P的最長弦長為20 cm,則過P的最矩弦長為 o3 .如圖是一大型圓形工件被埋在土里而露出地表的部分.為推測它的半徑，小亮同學談 了他的做法：先量取弦AB的長，再量中點到A8的距離CQ的長，就能求出這個圓形工 件的半徑.你認為他的做法合理嗎？如不合理，說明理由：如合理，請你給出具體的數(shù)值， 求出半徑。9/9答案：1. B2. 12 cm 提示：過戶的最長弦為直徑，即直徑等于20 cm,最短弦為過，且垂直。P 的弦，利用勾股定理可求最短弦的一半長為6則弦長為12 cm.3分析：由CD平分弧AB且垂直于AB

8、,得CD經(jīng)過圓心。，連AO,由垂徑定理得 AD=1/2AB,設圓形工件半徑為r, OD=OC-CD-CD,在直角三角形A。中，由勾股定理， 求出r»解、小亮的做法合理.取CO=2鞏 設圓形工件半徑為廠，:.r-（r2）S+4S.得 /-5 （in）.活動目的：內(nèi)容（一）的主要目的就是通過學生動手實驗，采用折疊的方法認識圓是軸 對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；內(nèi)容（二）的主要目的就是讓學生弄清 和圓有關的這些概念，便于以后內(nèi)容的學習研究；內(nèi)容（三）的主要目的就是通過學生 做一做，觀察，猜想，驗證等的過程得到新知，同時也培養(yǎng)學生合作交流的能力，以及 再次體會研究圖形的多種方法。

9、內(nèi)容（四）的主要目的讓學生應用新知識構造直角三角 形，并通過方程的方法去解決幾何問題。內(nèi)容（五）的主要目的與內(nèi)容（三）相似。實際教學效果：對于活動（一），學生在探索圓是軸對稱圖形時，應該把機會留給學生，讓他們相互交 流，發(fā)表自己的想法：對于活動（二），要注意讓學生借助圖形去認識，并弄清他們之 間的聯(lián)系和區(qū)別，還應該注意補充一些概念，如半圓，劣弧，優(yōu)弧等：對于活動（三）, 師生要按四個步驟共同操作，逐步引導學生通過觀察，猜想到理論驗證垂徑定理，并幫 助學生去理解和記憶垂徑定理，如推理格式：如圖所示CCO_LAB, CQ 為。的直徑（AD=BD, AC=BC./另外在證明垂徑定理時，學生對如何證明

10、平分弦所對的弧會較難表述。教師要運用軸對稱性啟發(fā)引導。對于活動（四），教師要引導學生如何應用垂徑定理去更好銜接上，至于這一逆定理的探索過程與前面垂徑定理的探索過程類似，在完成隨堂練習時，教師要提示學生，符合條件圖形有三種情況：圓心在平行弦外，在其中一條弦上、 在平行弦內(nèi)，但說理的思路都是一樣。第三環(huán)節(jié)課堂小結活動內(nèi)容：師生互相交流總結：1 .本行課我們探索了圓的軸對稱性：2 .利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理：3 .垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心 距等問題。活動目的：通過回顧本節(jié)課經(jīng)歷的各個環(huán)行，鼓勵學生暢談自己的收獲和感想，培養(yǎng)學 生良好的學習習

11、慣。實際教學效果：學生在互相交流中，對于歸納出來的內(nèi)容，會有各種表述，只要合理, 教師都應該鼓勵。中考鏈接1 .如圖3 36所示，在同心圓中，大圓的弦A8交小圓于C, D,已知A8=2C。，AB圖 3 36的弦心距等于CO長的一半“那么大圓與小圓的半徑之比,是（）A 3 ： 2B.?。?C6：點5 ： 42 .。0的半徑為5,弦A8的長為8, M是弦A8上的動點，則線段0M的長的最小值為.最大值為3 .如圖，A、8是圓。上的兩點，NAOB=120° ,。是A3弧的中點.（1）求證：AB平分NOAC：（2）延長0A至P使得。4=AP,連接PC,若圓。的半徑求PC的長。答案：1.。提示：AB與C。的弦心距相同.2 .分析：當0M垂直于AB時OM最小，當M于A或8重合時，0M最大解：當0M垂直于A8時0M最小，這時AM二L 248二4,連AO得直角三角形AOM,由勾股定理得，OM3,當M于A或B重合時，OM最大為半徑53 .解答： （1）證明：連接OC,VZAOB=120° , C是A3弧的中點，NAOLNBOC=60° ,: QA =OC,.ACO是等邊三角形，：.OA=AC,同理。5二8。，：.OA =AHB,