初中數學競賽題典整除

1、初中數學競賽題典數的整除 題l 所有四位數中，有（）個數能同時被入3，5，7和11整除？ （A）l（B）2（C）3（D）4 題2 設n是 100到 200之間的自然數，則滿足7n2是5的倍數的。共有（）個題3一個六位數能被12整除，這樣的六位數共有多少個 （A）4 （B）（C）8（D）12 題4 已知7241可被40至50之間的兩個整數整除，這兩個整數是（）， 題6 n是一個兩位數，它的數碼之和為a當n分別乘以3，5，79以后得到4個乘積如果其每一個積的數碼之和仍為a，那么，這樣的兩位數n有（） 題8設某個n位正整數的n個數宇是1，2，n的一個排列，如果它的前k個數字所組成的整數能被k整除，其

2、中k1，2，n，那么就這個n位數為一個“好數”例如，321就是一個三位“好數”，因為1整除3，2整除32，3整除321那么六位“好數”的個數為（）題9能被11整除的最小的九位數是題12在自然數1，2，3，1990，1991中不能披7整除的數有（）個題13將自然數N接寫在任意一個自然數的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數都能被N整除，那么N稱為魔術數，在小于l30的自然數中，魔術數的個數為（）題14在所有的五位數中，各位數字之和等于43且能被11整除的數是（）。題15定義：如果n個不同的正整數，對其中的任意兩個數，這兩數的積能被這兩數的和整除那么，叫這組數為n個數的祖沖之

3、數組。例如：60，120，180這三個數就構成一個三個數的祖沖之數組，（因（60×120）÷（60120），（60×180）÷（60180），（120×180）÷（120180）都是整數）請你寫出一組四個數的祖沖之數組題16 設a、b、c為整數，且ab和ab均可被c整除，求怔：a3b3可被c2整除題17 設a、b、c為正整數，求證：a3（bc）b3（ca）c3（ab）可被abc整除題19 一個魔方是由自然數組成的正方形網格。它有如下性質：每一行，每一列及兩條對角線上的數的和都相同，這個值稱為魔方和。求證：每一個3×3大小的魔

4、方的魔方和都能被3整除。題20 求證：如果兩個不可約分數的和是整數，那么這兩個分數的分母相同。題21 設a和b為自然數，使得a2ab1可被b2ba1整除，求證：ab。題22 自然數a、b、c、d都可以被abcd整除，其中abcd0。求證：abcd1。題23 使求出所有這樣的自然數n，使得n33可被n3整除。題26 圓上有9個數碼，已知從某一位起把這些數碼按順時針方向記下，得到一個9位數并且能被27整除。求證：如果從任何一位起把這些數碼按順時針方向記下的話，那么所得的一個9位數也能被27整除。題27 任意給定一個自然數A，把A的各位數字按逆序寫出來，形成一個新的自然數A。試證：AA是9的倍數。題

5、28 設n是正奇數，試證：1n2n9n3（1n6n8n）能被18整除。題29 求證：被1001整除。題30 求證：7|（2222555555552222）。題31 求證：對任何自然數，數（2n1）n3都可被2n3整除。題33 給定自然數a，b和n，已知對任何自然數k（k0），數akn能被bk整除，證明：abn。題34 設k為正奇數，證明12n整除（1k2knk）。題35 求證：467|512367537203。題36 已知最簡分數可以表示成。試證：分子m是質數1993的倍數。題37 設p與q是自然數，滿足。求證：p可被質數1979整除。題38 設p為奇質數，求證：的分子a是p的倍數。題39 給

6、定，其中是不可約分數，試證：m能被5整除。題40 試證：將和寫成一個最簡分數時，m不會是5的倍數。題41 設n是正偶數，求證：（2n1）不整除（3n1）。題42 試證：對每一個自然數n，數1199721997n1997不能被n2整除。題46 一個自然數a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數b，如果a恰是b的3被，我們稱a是一個“希望數”。（1）請舉例說明：“希望數”一定存在。（2）請證明：如果a，b都是“希望數”，則一定有729|ab。題47 求證：對任何自然數n，都有120|n55n34n。題48 求證：n（n21）（n25n26）可以被120整除。題49 試證：n2（n21）（n24）可

7、以被360整除。題50 設n是任意自然數，求證：是整數。題51 若干個整數的和能被6整除，求證：這些數的立方和也能被6整除。題52 今有6根金屬棒，每根的長度都是1m，能否將它們鋸成10根27cm長、12根15cm長和25根6cm長的短棒？（鋸棒時的損耗可忽略不計）題53 柯樓南契大蛇有1000個頭。神話中的大力士能一次用劍看去1，17，21或33個頭，但是大蛇又相應地生出10，14，0或48個頭。問大力士能戰(zhàn)勝柯樓南契大蛇嗎？題54 一天我發(fā)現(xiàn)了如下的魔術錢幣機：如果我放入一枚一分的硬幣，出來一枚5分硬幣和一枚一角硬幣；如果我放進一枚5分硬幣，機器給出四角硬幣，而如果我放如一枚一角硬幣，我取

8、回3枚一分的硬幣我用一枚一分的硬幣開始，反復進行以上過程，能出現(xiàn)我剛好有一美元硬幣的機會嗎？驗證答案題55 是否存在兩個不等于0的整數a和b，其中之一可被它們的和整除，另一個可被它們的差整除？題56 一個凸n邊形被劃分成黑、白兩色的若干個三角形，使得任意兩個三角形要么有公共的邊（這時它們染不同顏色），要么有公共頂點，要么沒有公共頂點。而多邊形的每條邊都是某個黑色三角形的邊。證明：3|n。題57 求證：不存在整數a、b、c、d，使當x19時，ax3bx2cxd1，以及當x62時，ax3bx2cxd2。題58 公共汽車票的號碼是一個六位數，若一張車票的號碼的前三個數字之和等于后三個數字之和，剛稱這張車票是幸運的試證：所有幸運車票號碼的和能被13整除，題59 某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個四