國(guó)考中經(jīng)常出的數(shù)學(xué)運(yùn)算典型真題精解

1、(一)2003年國(guó)家B類考題第9題某校下午2點(diǎn)整派車去某廠接勞模做報(bào)告，往返需1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向?qū)W校走來(lái)，中途遇到接他的車，便坐上車去學(xué)校，于下午2點(diǎn)40分到達(dá)。則汽車的速度是勞模步行速度的( )倍A.5 B.6 C.7 D.8【解析】這道題我們借助一張示意圖來(lái)進(jìn)行分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這道題的關(guān)鍵點(diǎn)在于要知道人與車到底是在什么位置碰面。如果用常規(guī)思路發(fā)現(xiàn)需要假設(shè)人、車的速度分別為x、y，然后通過(guò)一個(gè)相遇問(wèn)題找到相遇點(diǎn)，之后再列方程。這樣下來(lái)等方程列出來(lái)了早已過(guò)了1分鐘，還不能保證方程完全正確，更別提下面還要進(jìn)行求解。這道題如果一上來(lái)就能用“對(duì)稱性”的思想，很快就能找到突破口。首先

2、，汽車一去、一回需要一個(gè)小時(shí)，又因?yàn)橐蝗?、一回路程相等，所以花費(fèi)的時(shí)間也相等。即，汽車從學(xué)校開(kāi)到廠里需要半個(gè)小時(shí)。其次，汽車中途遇到勞模，再開(kāi)回來(lái)一共花了40分鐘，雖然目前不知道他們相遇的地點(diǎn)，但是我們知道汽車從學(xué)校開(kāi)到相遇點(diǎn)再回來(lái)，這一去、一回也是路程相等，所花時(shí)間也應(yīng)該相同。因此從學(xué)校到遇到勞模，車開(kāi)了20分鐘。即，汽車與勞模正好在2：20這個(gè)時(shí)刻相遇。以上兩段分析聯(lián)立起來(lái)看，汽車的速度保持一致，從學(xué)校到廠走了30分鐘，從學(xué)校到遇到勞模走了20分鐘，因此，學(xué)校到廠的距離與學(xué)校到相遇點(diǎn)距離之比是3：2。即，廠到相遇點(diǎn)與學(xué)校到相遇點(diǎn)的距離比是1：2。勞模從廠里出發(fā)，到達(dá)相遇點(diǎn)走了80分鐘；而汽

3、車從學(xué)校出發(fā)，到達(dá)相遇點(diǎn)走了20分鐘，兩者的路程之比是1：2，因此他們的速度之比是(1/80)：(2/20)1：8。選D。(二)2003年國(guó)家A類考題第10題賽馬場(chǎng)的跑馬道600米長(zhǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三匹馬，甲1分鐘跑2圈，乙1分鐘跑3圈，丙1分鐘跑4圈。如果這三匹馬并排在起跑線上，同時(shí)往一個(gè)方向跑，請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾分鐘，這三匹馬自出發(fā)后第一次并排在起跑線上?()。A.12 B.1 C.6 D.12【解析】這道題并不難，可以說(shuō)是異常簡(jiǎn)單，但是當(dāng)年有不少考生并沒(méi)有做對(duì)。原因何在？在2002年國(guó)家考題中出現(xiàn)過(guò)這樣一道題：“甲2分鐘跑1圈，乙3分鐘跑1圈，丙4分鐘跑1圈，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，三人能并排在起跑線上

4、？”兩道題的區(qū)別在于，2003年的題是給出1分鐘跑n圈，而2002年的題給出的是n分鐘跑一圈。這樣下來(lái)，兩道題的結(jié)果則大相徑庭。2003年的題應(yīng)該這樣求解：經(jīng)過(guò)一分鐘之后，甲、乙、丙三匹馬又都回到了起跑線上，而且半分鐘時(shí)乙不在起跑線上。所以選B。2002年的題應(yīng)該這樣求解：要想讓甲、乙、丙三人同時(shí)回到起跑線，那么所需時(shí)間必須是2、3、4的最小公倍數(shù)，即12分鐘。這道題給我們的最大啟示是，當(dāng)考題中遇到相似甚至看上去相同的題目時(shí)，一定要小心加仔細(xì)的審題，切忌將題目想當(dāng)然的認(rèn)為是自己做過(guò)的原題。要把每道考題看作一道新的題目來(lái)解答，這樣就不會(huì)出錯(cuò)了。(三)2003年國(guó)家A類考題第12題某企業(yè)發(fā)獎(jiǎng)金是根

5、據(jù)利潤(rùn)提成的。利潤(rùn)低于或等于10萬(wàn)元時(shí)可提成10%；低于或等于20萬(wàn)元時(shí)，高于10萬(wàn)元的部分按7.5%提成；高于20萬(wàn)元時(shí)，高于20萬(wàn)元的部分按5%提成。當(dāng)利潤(rùn)為40萬(wàn)元時(shí)，應(yīng)發(fā)放獎(jiǎng)金多少萬(wàn)元?()。A.2 B.2.75 C.3 D.4.5【解析】這是一道典型的“分段交費(fèi)”問(wèn)題。這類問(wèn)題的解決關(guān)鍵看問(wèn)題的形式。在本題中問(wèn)題是說(shuō)如果利潤(rùn)為40萬(wàn)元，求獎(jiǎng)金是多少萬(wàn)元。這樣的問(wèn)題稱為“正方向問(wèn)題”，其解答也相對(duì)比較容易。根據(jù)題意，發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)應(yīng)該為10×10%10×7.5%(40-20)×5%2.75萬(wàn)元選B。這道題的可取之處在于，如果問(wèn)題成為了“反方向問(wèn)題”，即“當(dāng)獎(jiǎng)

6、金為2.75萬(wàn)元時(shí)，求利潤(rùn)是多少錢？”這時(shí)最佳的求解方法是畫(huà)一張簡(jiǎn)易的表格出來(lái)。利潤(rùn)(萬(wàn)元)1020高于20獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)11.75(X-20)×5%1.75發(fā)現(xiàn)所發(fā)獎(jiǎng)金為2.75萬(wàn)元，比利潤(rùn)為20萬(wàn)元時(shí)的1.75萬(wàn)元的獎(jiǎng)金還要多，因此利潤(rùn)一定比20萬(wàn)元還要多。此時(shí)設(shè)利潤(rùn)為X萬(wàn)元，則根據(jù)題意，(X-20)×5%1.752.75解得，X40萬(wàn)元。(四)2003年國(guó)家B類考題第7題一個(gè)舊書(shū)商所賣的舊書(shū)中，簡(jiǎn)裝書(shū)的售價(jià)是成本的3倍，精裝書(shū)的售價(jià)是成本的4倍。昨天，這個(gè)書(shū)商一共賣了120本書(shū)，每本書(shū)的成本都是1元錢。如果他賣這些書(shū)所得的凈利潤(rùn)(銷售收入減去成本)為300元，那么昨天他

7、所賣出的書(shū)中有多少是簡(jiǎn)裝書(shū)( )A.40 B.60 C.75 D.90本題可以用多種解法來(lái)求解。【解析一】由題意可知，簡(jiǎn)裝書(shū)售價(jià)為3元，精裝書(shū)售價(jià)為4元，假設(shè)簡(jiǎn)裝書(shū)有X本，則精裝書(shū)有(120-X)本，則根據(jù)題意，3X4(120-X)300120解得，X60本。選B。【解析二】考慮到120本書(shū)一共賺了420元(利潤(rùn)成本)，因此這120本書(shū)的平均售價(jià)為420/1203.5元，恰好是簡(jiǎn)裝書(shū)售價(jià)3元與精裝書(shū)售價(jià)4元的平均值。因此，簡(jiǎn)裝書(shū)與精裝書(shū)應(yīng)當(dāng)一樣多，都是60本。【解析三】本題還可以用代入法求解。此題需要注意的是，凈利潤(rùn)為300元，在計(jì)算出售所獲得的錢數(shù)時(shí)還需要加上每本1元的成本錢。每種解法的思路

8、和角度都不太相同，適合不同思維模式的人靈活運(yùn)用。(五)2003年國(guó)家B類考題第14題一輛汽車油箱中的汽油可供它在高速公路上行駛462公里或者在城市道路上行駛336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行駛6公里，問(wèn)每公升汽油可供該汽車在城市道路上行駛多少公里( )A.16 B.21 C.32 D.27【解析】在高速路行駛的總距離比在城市道路行駛的總距離多462-336126公里，又因?yàn)槊抗驮诔鞘械缆繁仍诟咚俟飞僮?公里，因此油箱里面總共有油126/621公升。因此，每公升汽油在城市道路可行駛336/2116公里，因此答案是A。此題注意，題目的問(wèn)題是每公升汽油可以在城市道路行駛的距

9、離，而不是問(wèn)汽油有多少公升，所以容易錯(cuò)選為答案B。(六)2003年國(guó)家A類考題第15題假設(shè)地球是一個(gè)正球形，它的赤道長(zhǎng)4萬(wàn)千米?，F(xiàn)在用一根比赤道長(zhǎng)10米的繩子圍繞赤道一周，假設(shè)在各處繩子離地面的距離都是相同的，請(qǐng)問(wèn)繩子距離地面大約有多高()A.1.6毫米 B.3.2毫米 C.1.6米 D.3.2米【解析】當(dāng)周長(zhǎng)增加10米時(shí)，其半徑將增加10/21.6米，因此繩子距離地面高出約1.6米。選C。此題請(qǐng)注意，已知條件中的赤道周長(zhǎng)4萬(wàn)千米是個(gè)“陷阱條件”，計(jì)算中不需要用到這個(gè)量。另外，這道題的答案1.6米出乎了很多考生意料。憑直覺(jué)來(lái)說(shuō)，碩大一顆地球，一根繩子僅比地球周長(zhǎng)多了10米，則每處高出的高度應(yīng)該

10、很小。但是答案1.6米卻說(shuō)明每處高出的高度幾乎是一個(gè)人這么高，與直覺(jué)截然相反。數(shù)學(xué)題目就是這樣，數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)是嚴(yán)格求解的，不能憑生活直覺(jué)來(lái)武斷的判斷。(七)2003年國(guó)家B類考題第15題一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的盒子長(zhǎng)、寬、高分別為20厘米、8厘米和2厘米，現(xiàn)在要用一張紙將其六個(gè)面完全包裹起來(lái)，要求從紙上剪下的部分不得用作貼補(bǔ)，請(qǐng)問(wèn)這張紙的大小可能是下列哪一個(gè)( )A.長(zhǎng)25厘米、寬17厘米 B.長(zhǎng)26厘米、寬14厘米C.長(zhǎng)24厘米、寬21厘米 D.長(zhǎng)24厘米、寬14厘米【解析】不需要考慮具體如何包裹此長(zhǎng)方形盒子，只需要考慮表面積。該長(zhǎng)方形盒子的表面積為2×(20×8)(20×2)(8×2)432平方厘米。而四張紙的面積分別為25×17425平方厘米，26×14364平方厘米，24×21504平方厘米，24×14336平方厘米。只有24×21的紙的面積大于該長(zhǎng)方形盒子的表面積，它能夠?qū)⒋撕凶影　＿xC。此題特別注意，題目中沒(méi)有