復變函數(shù)與積分變換第二章PPT學習教案

1、會計學1復變函數(shù)與積分變換第二章復變函數(shù)與積分變換第二章第1頁/共82頁一 復變函數(shù)的導數(shù)二 解析函數(shù)概念三 柯西-黎曼方程 第2頁/共82頁一、復變函數(shù)的導數(shù)1. 復變函數(shù)的導數(shù)zwz 0limzzfzzfz )()(lim000則稱 在 處可導，)(zf0z設函數(shù) 在 點的某鄰域內有定義，)(zfw 0z定義zz 0是0z, )()(00zfzzfw 的鄰域內的任意一點，如果存在有限的極限值 A，且稱 A為 在 處的導數(shù)，)(zf0z. )(0zf 記作 如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內的每一點都可導，)(zf在 D 內可導，此時即得 的導(函)數(shù))(zf. )(zf )(zf則稱 P22定義 2

2、.1 第3頁/共82頁.ddzAw 一、復變函數(shù)的導數(shù)2. 復變函數(shù)的微分則稱 在 處可微，)(zfz設函數(shù) 在 點的某鄰域內有定義，)(zfw zzz z定義是的鄰域內的任意一點， 若 在區(qū)域 D 內處處可微，則稱 在 D 內可微。)(zf)(zf如果存在 A，使得, ) | ()()(zozAzfzzfw 記作zA .dzAw 為微分，特別地，有.dzz (考慮函數(shù) 即可)( )wf zz 導數(shù)反映的是“變化率”；而微分更能體現(xiàn)“逼近”的思想。 補 第4頁/共82頁3. 可導與可微以及連續(xù)之間的關系(1) 可導 可微(2) 可導 連續(xù) 由此可見，上述結論與一元實函數(shù)是一樣的。 對二元實函數(shù)

3、：偏導數(shù)存在 可微 偏導數(shù)連續(xù)。一、復變函數(shù)的導數(shù)第5頁/共82頁例1 .)(2的導數(shù)的導數(shù)求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上處處處處可可導導第6頁/共82頁4. 求導法則;)()( )()(zgzfzgzf ; )()()()( )()(zgzfzgzfzgzf ,)()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf . )0)( zg(1) 四則運算法則P25 一、復變函數(shù)的導數(shù) 由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致,

4、并且復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣, 因而實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來, 且證明方法也是相同的.第7頁/共82頁4. 求導法則(1) 四則運算法則. )()()(zgzgfzgf .)(1)(1)()(wfzfwwz (2) 復合函數(shù)的求導法則(3) 反函數(shù)的求導法則其中， 與 是兩個互為反函數(shù)的單值)(wz )(zfw .0)( zf函數(shù)，且一、復變函數(shù)的導數(shù)第8頁/共82頁二、解析函數(shù)概念則稱 在 點解析；)(zf0z(1) 如果函數(shù) 在 點以及 點的鄰域內處處可導，)(zf0z0z定義(2) 如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內的每一點解析，)(zf則稱)(zf

5、或者稱 是 D 內的解析函數(shù)。在區(qū)域 D 內解析，)(zf P25定義 2.2 (解析函數(shù)的由來)DGz0:, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在區(qū)區(qū)域域閉閉區(qū)區(qū)域域且且則則稱稱在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上解解析析 記記作作(3)第9頁/共82頁(2) 區(qū)域可導 區(qū)域解析。關系 (1) 點可導 點解析；函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的,要比可導的要求要高得多.說明(3) 閉區(qū)域可導 閉區(qū)域解析。奇點000( ) , ( )( ).f zzzzfzzf如如果果函函數(shù)數(shù)在在但但在在 的的任任一一鄰鄰域域, ,那那末末稱稱為為不不解解析析都都有有的的析析點點的的奇奇點點解解通

6、常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點的。1wz 以z=0為奇點。第10頁/共82頁u注解1、“可微”有時也可以稱為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；u注解2、解析性與可導性的關系：在一個點的可導性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；第11頁/共82頁u注解3、函數(shù)在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內可導，因此在這個點可導，反之，在一個點的可導不能得到在這個點解析；u注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個區(qū)域的一個更大的區(qū)域上解析；第12頁/共82頁性質(1) 在區(qū)域 D 內解析的兩個函數(shù) 與 的和、差、積、商(除去分母為零的點)在 D 內解析。)(zf)(zg(

7、2) 如果函數(shù) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內解析，)(zg 則復合函數(shù) 在 D 內解析。 )( gfw 函數(shù) 在 平面上的區(qū)域 G 內解析， )( fw 且對 D 內的每一點 z，函數(shù) 的值都屬于 G，)(zg二、解析函數(shù)概念第13頁/共82頁極限不存在(見1.3 )討論函數(shù) 的解析性。2|)(zzfw 例zwz 0lim當 時，0 z即,0lim0 zwz;0)0( f當 時，0 zzwz 0lim不存在。因此， 僅在 點可導，處處不解析。0 z2|)(zzfw zzzzzzzz )( )(lim0解,|)(2zzzzfw )(22yx 由有. )(lim0zzzzzz 第14頁/共82頁討

8、論函數(shù) 的解析性。yixzfw2)( 例yixyixyyixxyx )2()(2)(lim00解zwz 0lim,2lim00yixyixyx 當 時，0,0 yx,2lim0 zwz當 時，0,0 xy,1lim0 zwz因此， 處處不可導，處處不解析。yixzfw2)( 對函數(shù) 如何判別其解析性？問題, ),(),()(yxviyxuzf 第15頁/共82頁尋求研究解析性的更好的方法任務！用定義討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！第16頁/共82頁三、柯西-黎曼方程1. 點可導的充要條件且滿足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程： 和 在點 處可微，),(yxu),(yxv),(y

9、x(簡稱 方程)RC ,yvxu .xvyu 函數(shù) 在點 處可導),(),()(yxviyxuzfw 定理yixz 的充要條件是： P24定理 2.2 第17頁/共82頁.)(xvixuzf 求導公式三、柯西-黎曼方程1. 點可導的充要條件)(zf若在 處可導，yixz 則uuixyvuiyy.vviyx(關于C -R條件)第18頁/共82頁 ( )( , )( , ) , ( ) : (1) , , ( , , .)2( , ), ( , )( , ) xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiu uvvx yu x yuvuvxyyv x yyxx 設設函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)

10、域域內內 則則在在 內內一一點點可可( (微微) )導導的的是是在在點點連連續(xù)續(xù) ( ) ( ) 在在點點滿滿足足C-RC-R條條件件充充分分條條件件第19頁/共82頁三、柯西-黎曼方程2. 區(qū)域解析的充要條件和 在區(qū)域 D 內可微， 且),(yxu),(yxv函數(shù) 在區(qū)域 D 內解析的),(),()(yxviyxuzfw 定理充要條件是：滿足 C R 方程。推論在區(qū)域 D 內存在且連續(xù)，并滿足 C R 方程，),(),()(yxviyxuzfw 在區(qū)域 D 內解析。和 的四個偏導數(shù)若函數(shù)),(yxu),(yxvyxyxvvuu ,則函數(shù) P26定理 2.4 第20頁/共82頁可知不滿足 C

11、R 方程，解 由zw ,yix 有,yvxu ,1 yv,0 xv,1 xu,0 yu所以 在復平面內處處不可導， 處處不解析。zw 討論函數(shù) 的可導性與解析性。例zw 第21頁/共82頁, )()(3223yyxiyxx ,3223yyxvyxxu 有,322yxyv ,2yxxv ,322yxxu ,2yxyu ,0 yx由 C R 方程， 所以 僅在 點可導， 處處不解析。zw 2z)0,0(解 由zw 2zzz2| 討論函數(shù) 的可導性與解析性。例2zzw 第22頁/共82頁,2yyv ,0 xv,2xxu ,0 yu討論函數(shù) 的可導性與解析性。例22)(yixzf ,yx 由 C R

12、方程， 解 由,22yvxu 有處處不解析。所以 僅在直線 上可導， yx 22)(yixzf xyyx 第23頁/共82頁,2yAxux ,2ByxAuy ,2yxDvy ,2yDxCvx 解 由有,2222yxyDxCvByxyAxu 由 C R 方程可得,22yxDyAx , )2(2yDxCByxA 求解得 .2,1,1,2 DCBA第24頁/共82頁即得cyxf ),(常數(shù))。(1) 由 解析，證viuzf )(,yxvu ,xyvu ,)(yxvu ,)(xyvu 由 解析，viuzf )(,0 yxyxvvuuvu,為常數(shù)，第25頁/共82頁證0),( yxf(常數(shù))；(2) 由

13、 解析，viuzf )(,yxvu ,xyvu ,0 vu由 在 D 內為常數(shù)，| )(|zfavu 22(常數(shù))，兩邊分別對 x , y 求偏導得： 若,0 uvvu 若,0 uvvu方程組(A)只有零解，即得cyxf ),(常數(shù))。,0 yxyxvvuuvu,為常數(shù)，,0 xxvvuu,0 yyvvuu ,0 yxuvuu,0 yxuuuv(A) 第26頁/共82頁 理解復變函數(shù)導數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念; 掌握連續(xù)、可導、解析之間的關系以及求導方法；掌握函數(shù)解析的充要條件并能靈活運用. 注意: 復變函數(shù)的導數(shù)定義與一元實變函數(shù)的導數(shù)定義在形式上完全一樣, 它們的一些求導公式與求導法則也

14、一樣, 然而復變函數(shù)極限存在要求與z 趨于零的方式無關, 這表明它在一點可導的條件比實變函數(shù)嚴格得多.第27頁/共82頁思考題 ? )( 00解析有無區(qū)別解析有無區(qū)別可導與在可導與在在點在點復變函數(shù)復變函數(shù)zzzf1、? ),(),()( 解解析析時時應應注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼條條件件判判斷斷yxivyxuzf 2、第28頁/共82頁2.2 解析函數(shù)與調和函數(shù)一、調和函數(shù)二、共軛調和函數(shù)三、構造解析函數(shù)第29頁/共82頁一、調和函數(shù),02222 yx 則稱 為區(qū)域 D 內的調和函數(shù)。),(yx 若二元實函數(shù) 在區(qū)域 D 內有連續(xù)二階偏導數(shù)，),(yx 定義且滿足拉普拉斯 ( La

15、place ) 方程： P27定義 2.3 P28定理 2.5 第30頁/共82頁二、共軛調和函數(shù)設函數(shù) 及 均為區(qū)域 D 內的調和函數(shù)，),(yxu),(yxv定義函數(shù) 在區(qū)域 D 內解析的充要),(),()(yxviyxuzf 定理條件是：在區(qū)域 D 內，v 是 u 的共軛調和函數(shù)。則稱 v 是 u 的共軛調和函數(shù)。注意 v 是 u 的共軛調和函數(shù) u 是 v 的共軛調和函數(shù)。 且滿足 C R 方程：,yvxu ,xvyu P28定義 2.4 第31頁/共82頁三、構造解析函數(shù)問題已知實部 u，求虛部 v (或者已知虛部 v，求實部 u )，使 解析，且滿足指定的條件。),(),()(yx

16、viyxuzf 注意 必須首先檢驗 u 或 v 是否為調和函數(shù)。方法 偏積分法 全微分法構造解析函數(shù) 的依據(jù)：),(),()(yxviyxuzf 依據(jù) (1) u 和 v 本身必須都是調和函數(shù)； (2) u 和 v 之間必須滿足 C - R 方程。第32頁/共82頁方法 偏積分法三、構造解析函數(shù)( 不妨僅考慮已知實部 u 的情形 )(1) 由 u 及 C R 方程(2) 將 (A) 式的兩邊對變量 y 進行(偏)積分得： yxuyyvyxvdd),(其中， 已知，而 待定。),(yxv)(x (3) 將 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函數(shù). )(x 得到待定函數(shù) v的兩個偏導數(shù)：

17、,xuyv .yuxv (A)(B )cyxv ),(C ), )(x 第33頁/共82頁C方法三、構造解析函數(shù) 全微分法 ( 不妨僅考慮已知實部 u 的情形 )(1) 由 u 及 C R 方程得到待定函數(shù) v 的全微分：(2) 利用第二類曲線積分(與路徑無關) 得到原函數(shù)：.dddddyxuxyuyyvxxvv cyyuxyuyxvyxyx ),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC 其中， 或0CC .21CC 第34頁/共82頁故 是調和函數(shù)。),(yxu,02222 yuxu,222 xu,222 yu由解 (1) 驗證 為調和函數(shù)),(yxu

18、驗證 為調和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實部xyyxu 22.1)(iif 第35頁/共82頁由 ,2)(2xyyuxyxv ,)(xx ,21)(2cxx .21212),(22cxyxyyxv , )(212d)2(2xyxyyyxv ,2yvyxxu 由解 (2) 求虛部 。 ),(yxv方法一： 偏積分法驗證 為調和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實部xyyxu 22.1)(iif 第36頁/共82頁,2xyyuxv ,2yxxuyv 由方法二： 全微分法(利用第二類曲線積分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx ),()0

19、 ,0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy 驗證 為調和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實部xyyxu 22.1)(iif 解 (2) 求虛部 。 ),(yxv第37頁/共82頁,2xyyuxv ,2yxxuyv 由方法三： 全微分法(利用“反微分”法),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx .21212),(22cxyxyyxv , )2/d(d2)2/d(d222yyxxxy , )2/2/2d(22yxxy 驗證 為調和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析

20、函數(shù)使得為實部xyyxu 22.1)(iif 解 (2) 求虛部 。 ),(yxv第38頁/共82頁解 (3) 求確定常數(shù) c根據(jù)條件,1)(iif 將 代入得1,0 yx,21 c. )21212()()(2222cxyxyixyyxzf ,1)21(1ici 即得. )2121212()()(2222 xyxyixyyxzf221122.zzii驗證 為調和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實部xyyxu 22.1)(iif 第39頁/共82頁2.3.1 指數(shù)函數(shù)2.3.2 對數(shù)函數(shù)2.3.3 冪函數(shù)2.3.4 三角函數(shù)與反三角函數(shù)2.3.5 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第40

21、頁/共82頁 復變函數(shù)中的初等函數(shù)是實數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一樣的。2.3 初等函數(shù)的定義方式盡可能保持一致。 本節(jié)主要從下面幾個方面來討論復變函數(shù)中的初等函數(shù)：定義、定義域、運算法則、連續(xù)性、解析性、單值性等等。特別是當自變量取實值時，特別要注意與實初等函數(shù)的區(qū)別。第41頁/共82頁一、指數(shù)函數(shù),yixz )sin(coseyiywx 對于復數(shù)稱定義為指數(shù)函數(shù) ,記為 或zwexp .ezw 注(1) 指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等函數(shù)都通過指數(shù)函數(shù)來定義。(2) 借助歐拉公式，指數(shù)函數(shù)可以這樣來記憶：. )sin(coseeeeeyiywxyixyixz P31定義

22、 2.5 , . (cossin )zxeeyiy (3)(3)沒沒有有冪冪的的意意義義 只只是是一一個個符符號號 代代表表第42頁/共82頁一、指數(shù)函數(shù)性質(1) 是單值函數(shù)。ze事實上，對于給定的復數(shù),yixz 定義中的 均為單值函數(shù)。yyxsin,cos,e事實上，在無窮遠點有(2) 除無窮遠點外，處處有定義。ze當 時， xy,0;e z當 時， xy,0.0ez(3).0e z.0sincos,0e yiyx因為第43頁/共82頁性質(6) 是以 為周期的周期函數(shù)。zeik2一、指數(shù)函數(shù)第44頁/共82頁指數(shù)函數(shù) 的圖形ze第45頁/共82頁二、對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函

23、數(shù)。.Ln zw 記作zwLn zArgiz |ln即zw e)(zfw 滿足方程的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，定義計算 令,|eeArg izirzz ,viuw 由,ezw 有,eee iviur , |lnlnzru .Arg zv 由 z 的模得到 w 的實部 ；由 z 的輻角得到 w 的虛部 。,2arg|lnikziz . ), 2, 1, 0( k P32定義 2.6 第46頁/共82頁二、對數(shù)函數(shù) 顯然對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。主值(枝)zwLn 稱為的主值(枝)，zizwarg|ln .ln zw 記為故有,2lnLnikzz . ), 2, 1, 0( k分支(枝)特別地，當 時, 0 x

24、z的主值 就是實對數(shù)函數(shù)。zLnxzlnln 對于任意一個固定的 k，稱 為 的ikz2ln zLn一個分支(枝)。,2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k第47頁/共82頁二、對數(shù)函數(shù)性質在原點無定義，故它的定義域為zwLn .0 z(1)(2)的各分支在除去原點及負實軸的復平面內連續(xù)；zLnzln在除去原點及負實軸的平面內連續(xù)。特別地，注意到，函數(shù)arg z在原點及負實軸上不連續(xù)。注意到，函數(shù)在原點無定義；arg z0.we或者指數(shù)函數(shù)第48頁/共82頁1dlnd()wwzze由反函數(shù)求導法則可得11.wez進一步有2dLnd(ln)ddzzkizz1dln.dz

25、zz(在集合意義下)二、對數(shù)函數(shù)性質(3)的各分支在除去原點及負實軸的復平面內解析；zLnzln在除去原點及負實軸的平面內解析。特別地，第49頁/共82頁函函數(shù)數(shù)單單值值與與多多值值xlnzLnzln單值多值單值定定義義域域所有正實數(shù)所有非零復數(shù)所有非零復數(shù)注注解解一個單值時，0 xzxln為zln分支為第50頁/共82頁對數(shù)函數(shù)Lnz的圖形第51頁/共82頁主值 .2)(lnii 解ikiiii2)(arg|ln)(Ln (1)iki221ln)( ,22iki ikiiii2)1(arg|1 |ln)1(Ln (2),242ln)(iki 主值 .42ln)1(ln)(ii 第52頁/共8

26、2頁;)12(ik 解iki2)1(arg| 1|ln)1(Ln 主值 .)1(lni iki21ln 求對數(shù) 以及它的主值。)1(Ln 例 可見，在復數(shù)域內，負實數(shù)是可以求對數(shù)的。 第53頁/共82頁三、冪函數(shù)稱為復變量 z 的冪函數(shù)。 還規(guī)定：當 a 為正實數(shù)，且 時， 0 z.0 a az( 為復常數(shù)， )a azw zzLnea aa a 定義 函數(shù) 規(guī)定為0 za a注意上面利用指數(shù)函數(shù)以一種“規(guī)定”的方式定義了冪函數(shù)，但不要將這種“規(guī)定”方式反過來作用于指數(shù)函數(shù)，.eLneLneeezzz ?即 P33定義 2.7 第54頁/共82頁討論此時， 處處解析，且.)(1 a aa aa

27、 azza az當 為正整數(shù)時, a a.lnLneeznznnz (單值)(1)此時， 除原點外處處解析，且.)(1 a aa aa azza az當 為負整數(shù)時, a a.1nnzz (2)(單值)當 時, 0 a a.10 z(3)三、冪函數(shù)第55頁/共82頁討論其中，m 與 n 為互質的整數(shù)，且 .1 n(5) 當 為無理數(shù)或復數(shù)( )時，a a0Im a a當 為有理數(shù)時, a a(4).nmnmzz ( 值)n此時， 除原點與負實軸外處處解析，a az一般為無窮多值。此時， 除原點與負實軸外處處解析。a az.)(1 a aa aa azz且三、冪函數(shù)第56頁/共82頁13z的圖形

28、第57頁/共82頁解iiiiLne )(22eikii . ), 2, 1, 0( k,)(22ek 可見， 是正實數(shù)，ii它的主值是2.e 例求 的值。ii. ), 2, 1, 0( k, )22(sin)22(coskik ik22e )20(02e ki 求 的值。21例1Ln22e1 解 可見，不要想當然地認為11 .a a第58頁/共82頁四、三角函數(shù)啟示 由歐拉公式,sincose ii 有,sincose ii , )(21cosee ii . )(21sinee iii 余弦函數(shù); )(21coseeziziz 正弦函數(shù). )(21sineeziziiz 定義 P34定義 2.

29、8 其它三角函數(shù)第59頁/共82頁四、三角函數(shù)性質 周期性、可導性、奇偶性、零點等與實函數(shù)一樣； 各種三角公式以及求導公式可以照搬； 有界性(即 )不成立。1|cos| ,1|cos| zz(略) 第60頁/共82頁sinz 的圖形第61頁/共82頁cosz 的圖形第62頁/共82頁tanz 的圖形第63頁/共82頁iiiiii2)21sin()21()21(ee .1cos21sin22222eeee i.cosi例 求2coseei ii ii 根據(jù)定義，有解.2ee1 . )21sin(i 例 求根據(jù)定義，有解iii2)1sin1(cos)1sin1(cos22ee 第64頁/共82頁五

30、、反三角函數(shù)記為.cosArczw 如果定義,coszw 則稱 w 為復變量 z 的反余弦函數(shù)，,12e zzwi,012)(ee2 wiwiz ,1Ln)(2 zzwi.1LncosArc)(2 zzizw計算, )(21coseewiwiwz 由 同理可得.Ln2tanArcziziiz ;1LnsinArc)(2zz iiz 第65頁/共82頁反三角函數(shù)Arctanz的圖形第66頁/共82頁六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù);chshthzzz 雙曲正切函數(shù).shchcothzzz 雙曲余切函數(shù); )(21sheezzz 雙曲正弦函數(shù)定義雙曲余弦函數(shù); )(21cheezzz P36定義 2.9

31、第67頁/共82頁雙曲函數(shù)sinhz（或shz）第68頁/共82頁六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲正切函數(shù);11Ln21Arthzzz 反雙曲余弦函數(shù);1LnArch)(2 zzz反雙曲正弦函數(shù)定義;1LnArsh)(2 zzz反雙曲余切函數(shù).11Ln21Arcoth zzzP36 第69頁/共82頁 復變初等函數(shù)是一元實變初等函數(shù)在復數(shù)范圍內的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質, 又有一些與后者不同的特性. 如: 1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性) 2 (i周期為周期為2. 三角正弦與余弦不再具有有界性3. 雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)第70頁/共82頁思考題 實變三角函數(shù)與復變三角函數(shù)在性質上有哪些異同?第71頁/共82頁本章總結1、復變函數(shù)導數(shù)與解析函數(shù)的概念2、函數(shù)可導與解析的判別方法：1）利用定義； 2）利用充（分）要條件3、解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系4、復變初等函數(shù)第72頁/共82頁復變函數(shù)連續(xù)初等解析函數(shù)判別方法可導解析指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪 函 數(shù)解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系第73頁/共82頁第二章 完第74頁/共82頁附：知識廣角 解析函數(shù)的由來 解析函數(shù)的名稱是康道爾西(Condorcet)首先使用的。他的研究報告沒有公開出版，但有很多人知道他的工作。