復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章第1頁(yè)/共82頁(yè)一 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二 解析函數(shù)概念三 柯西-黎曼方程 第2頁(yè)/共82頁(yè)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)zwz 0limzzfzzfz )()(lim000則稱(chēng) 在 處可導(dǎo)，)(zf0z設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，)(zfw 0z定義zz 0是0z, )()(00zfzzfw 的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，如果存在有限的極限值 A，且稱(chēng) A為 在 處的導(dǎo)數(shù)，)(zf0z. )(0zf 記作 如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，)(zf在 D 內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)即得 的導(dǎo)(函)數(shù))(zf. )(zf )(zf則稱(chēng) P22定義 2

2、.1 第3頁(yè)/共82頁(yè).ddzAw 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2. 復(fù)變函數(shù)的微分則稱(chēng) 在 處可微，)(zfz設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，)(zfw zzz z定義是的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若 在區(qū)域 D 內(nèi)處處可微，則稱(chēng) 在 D 內(nèi)可微。)(zf)(zf如果存在 A，使得, ) | ()()(zozAzfzzfw 記作zA .dzAw 為微分，特別地，有.dzz (考慮函數(shù) 即可)( )wf zz 導(dǎo)數(shù)反映的是“變化率”；而微分更能體現(xiàn)“逼近”的思想。 補(bǔ) 第4頁(yè)/共82頁(yè)3. 可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系(1) 可導(dǎo) 可微(2) 可導(dǎo) 連續(xù) 由此可見(jiàn)，上述結(jié)論與一元實(shí)函數(shù)是一樣的。 對(duì)二元實(shí)函數(shù)

3、：偏導(dǎo)數(shù)存在 可微 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第5頁(yè)/共82頁(yè)例1 .)(2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)第6頁(yè)/共82頁(yè)4. 求導(dǎo)法則;)()( )()(zgzfzgzf ; )()()()( )()(zgzfzgzfzgzf ,)()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf . )0)( zg(1) 四則運(yùn)算法則P25 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,

4、并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣, 因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái), 且證明方法也是相同的.第7頁(yè)/共82頁(yè)4. 求導(dǎo)法則(1) 四則運(yùn)算法則. )()()(zgzgfzgf .)(1)(1)()(wfzfwwz (2) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(3) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則其中， 與 是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值)(wz )(zfw .0)( zf函數(shù)，且一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第8頁(yè)/共82頁(yè)二、解析函數(shù)概念則稱(chēng) 在 點(diǎn)解析；)(zf0z(1) 如果函數(shù) 在 點(diǎn)以及 點(diǎn)的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，)(zf0z0z定義(2) 如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)解析，)(zf則稱(chēng))(zf

5、或者稱(chēng) 是 D 內(nèi)的解析函數(shù)。在區(qū)域 D 內(nèi)解析，)(zf P25定義 2.2 (解析函數(shù)的由來(lái))DGz0:, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在區(qū)區(qū)域域閉閉區(qū)區(qū)域域且且則則稱(chēng)稱(chēng)在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上解解析析 記記作作(3)第9頁(yè)/共82頁(yè)(2) 區(qū)域可導(dǎo) 區(qū)域解析。關(guān)系 (1) 點(diǎn)可導(dǎo) 點(diǎn)解析；函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的,要比可導(dǎo)的要求要高得多.說(shuō)明(3) 閉區(qū)域可導(dǎo) 閉區(qū)域解析。奇點(diǎn)000( ) , ( )( ).f zzzzfzzf如如果果函函數(shù)數(shù)在在但但在在 的的任任一一鄰鄰域域, ,那那末末稱(chēng)稱(chēng)為為不不解解析析都都有有的的析析點(diǎn)點(diǎn)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)解解通

6、常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點(diǎn)的。1wz 以z=0為奇點(diǎn)。第10頁(yè)/共82頁(yè)u注解1、“可微”有時(shí)也可以稱(chēng)為“單演”，而“解析”有時(shí)也稱(chēng)為“單值解析”、“全純”、“正則”等；u注解2、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；第11頁(yè)/共82頁(yè)u注解3、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析；u注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；第12頁(yè)/共82頁(yè)性質(zhì)(1) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù) 與 的和、差、積、商(除去分母為零的點(diǎn))在 D 內(nèi)解析。)(zf)(zg(

7、2) 如果函數(shù) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析，)(zg 則復(fù)合函數(shù) 在 D 內(nèi)解析。 )( gfw 函數(shù) 在 平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析， )( fw 且對(duì) D 內(nèi)的每一點(diǎn) z，函數(shù) 的值都屬于 G，)(zg二、解析函數(shù)概念第13頁(yè)/共82頁(yè)極限不存在(見(jiàn)1.3 )討論函數(shù) 的解析性。2|)(zzfw 例zwz 0lim當(dāng) 時(shí)，0 z即,0lim0 zwz;0)0( f當(dāng) 時(shí)，0 zzwz 0lim不存在。因此， 僅在 點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析。0 z2|)(zzfw zzzzzzzz )( )(lim0解,|)(2zzzzfw )(22yx 由有. )(lim0zzzzzz 第14頁(yè)/共82頁(yè)討

8、論函數(shù) 的解析性。yixzfw2)( 例yixyixyyixxyx )2()(2)(lim00解zwz 0lim,2lim00yixyixyx 當(dāng) 時(shí)，0,0 yx,2lim0 zwz當(dāng) 時(shí)，0,0 xy,1lim0 zwz因此， 處處不可導(dǎo)，處處不解析。yixzfw2)( 對(duì)函數(shù) 如何判別其解析性？問(wèn)題, ),(),()(yxviyxuzf 第15頁(yè)/共82頁(yè)尋求研究解析性的更好的方法任務(wù)！用定義討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！第16頁(yè)/共82頁(yè)三、柯西-黎曼方程1. 點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件且滿足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程： 和 在點(diǎn) 處可微，),(yxu),(yxv),(y

9、x(簡(jiǎn)稱(chēng) 方程)RC ,yvxu .xvyu 函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)),(),()(yxviyxuzfw 定理yixz 的充要條件是： P24定理 2.2 第17頁(yè)/共82頁(yè).)(xvixuzf 求導(dǎo)公式三、柯西-黎曼方程1. 點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件)(zf若在 處可導(dǎo)，yixz 則uuixyvuiyy.vviyx(關(guān)于C -R條件)第18頁(yè)/共82頁(yè) ( )( , )( , ) , ( ) : (1) , , ( , , .)2( , ), ( , )( , ) xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiu uvvx yu x yuvuvxyyv x yyxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)

10、域域內(nèi)內(nèi) 則則在在 內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)可可( (微微) )導(dǎo)導(dǎo)的的是是在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) ( ) ( ) 在在點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足C-RC-R條條件件充充分分條條件件第19頁(yè)/共82頁(yè)三、柯西-黎曼方程2. 區(qū)域解析的充要條件和 在區(qū)域 D 內(nèi)可微， 且),(yxu),(yxv函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析的),(),()(yxviyxuzfw 定理充要條件是：滿足 C R 方程。推論在區(qū)域 D 內(nèi)存在且連續(xù)，并滿足 C R 方程，),(),()(yxviyxuzfw 在區(qū)域 D 內(nèi)解析。和 的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)),(yxu),(yxvyxyxvvuu ,則函數(shù) P26定理 2.4 第20頁(yè)/共82頁(yè)可知不滿足 C

11、R 方程，解 由zw ,yix 有,yvxu ,1 yv,0 xv,1 xu,0 yu所以 在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)， 處處不解析。zw 討論函數(shù) 的可導(dǎo)性與解析性。例zw 第21頁(yè)/共82頁(yè), )()(3223yyxiyxx ,3223yyxvyxxu 有,322yxyv ,2yxxv ,322yxxu ,2yxyu ,0 yx由 C R 方程， 所以 僅在 點(diǎn)可導(dǎo)， 處處不解析。zw 2z)0,0(解 由zw 2zzz2| 討論函數(shù) 的可導(dǎo)性與解析性。例2zzw 第22頁(yè)/共82頁(yè),2yyv ,0 xv,2xxu ,0 yu討論函數(shù) 的可導(dǎo)性與解析性。例22)(yixzf ,yx 由 C R

12、方程， 解 由,22yvxu 有處處不解析。所以 僅在直線 上可導(dǎo)， yx 22)(yixzf xyyx 第23頁(yè)/共82頁(yè),2yAxux ,2ByxAuy ,2yxDvy ,2yDxCvx 解 由有,2222yxyDxCvByxyAxu 由 C R 方程可得,22yxDyAx , )2(2yDxCByxA 求解得 .2,1,1,2 DCBA第24頁(yè)/共82頁(yè)即得cyxf ),(常數(shù))。(1) 由 解析，證viuzf )(,yxvu ,xyvu ,)(yxvu ,)(xyvu 由 解析，viuzf )(,0 yxyxvvuuvu,為常數(shù)，第25頁(yè)/共82頁(yè)證0),( yxf(常數(shù))；(2) 由

13、 解析，viuzf )(,yxvu ,xyvu ,0 vu由 在 D 內(nèi)為常數(shù)，| )(|zfavu 22(常數(shù))，兩邊分別對(duì) x , y 求偏導(dǎo)得： 若,0 uvvu 若,0 uvvu方程組(A)只有零解，即得cyxf ),(常數(shù))。,0 yxyxvvuuvu,為常數(shù)，,0 xxvvuu,0 yyvvuu ,0 yxuvuu,0 yxuuuv(A) 第26頁(yè)/共82頁(yè) 理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念; 掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及求導(dǎo)方法；掌握函數(shù)解析的充要條件并能靈活運(yùn)用. 注意: 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣, 它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也

14、一樣, 然而復(fù)變函數(shù)極限存在要求與z 趨于零的方式無(wú)關(guān), 這表明它在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多.第27頁(yè)/共82頁(yè)思考題 ? )( 00解析有無(wú)區(qū)別解析有無(wú)區(qū)別可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在在點(diǎn)在點(diǎn)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zzzf1、? ),(),()( 解解析析時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼條條件件判判斷斷yxivyxuzf 2、第28頁(yè)/共82頁(yè)2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)第29頁(yè)/共82頁(yè)一、調(diào)和函數(shù),02222 yx 則稱(chēng) 為區(qū)域 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。),(yx 若二元實(shí)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，),(yx 定義且滿足拉普拉斯 ( La

15、place ) 方程： P27定義 2.3 P28定理 2.5 第30頁(yè)/共82頁(yè)二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù) 及 均為區(qū)域 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，),(yxu),(yxv定義函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析的充要),(),()(yxviyxuzf 定理?xiàng)l件是：在區(qū)域 D 內(nèi)，v 是 u 的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱(chēng) v 是 u 的共軛調(diào)和函數(shù)。注意 v 是 u 的共軛調(diào)和函數(shù) u 是 v 的共軛調(diào)和函數(shù)。 且滿足 C R 方程：,yvxu ,xvyu P28定義 2.4 第31頁(yè)/共82頁(yè)三、構(gòu)造解析函數(shù)問(wèn)題已知實(shí)部 u，求虛部 v (或者已知虛部 v，求實(shí)部 u )，使 解析，且滿足指定的條件。),(),()(yx

16、viyxuzf 注意 必須首先檢驗(yàn) u 或 v 是否為調(diào)和函數(shù)。方法 偏積分法 全微分法構(gòu)造解析函數(shù) 的依據(jù)：),(),()(yxviyxuzf 依據(jù) (1) u 和 v 本身必須都是調(diào)和函數(shù)； (2) u 和 v 之間必須滿足 C - R 方程。第32頁(yè)/共82頁(yè)方法 偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)( 不妨僅考慮已知實(shí)部 u 的情形 )(1) 由 u 及 C R 方程(2) 將 (A) 式的兩邊對(duì)變量 y 進(jìn)行(偏)積分得： yxuyyvyxvdd),(其中， 已知，而 待定。),(yxv)(x (3) 將 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函數(shù). )(x 得到待定函數(shù) v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：

17、,xuyv .yuxv (A)(B )cyxv ),(C ), )(x 第33頁(yè)/共82頁(yè)C方法三、構(gòu)造解析函數(shù) 全微分法 ( 不妨僅考慮已知實(shí)部 u 的情形 )(1) 由 u 及 C R 方程得到待定函數(shù) v 的全微分：(2) 利用第二類(lèi)曲線積分(與路徑無(wú)關(guān)) 得到原函數(shù)：.dddddyxuxyuyyvxxvv cyyuxyuyxvyxyx ),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC 其中， 或0CC .21CC 第34頁(yè)/共82頁(yè)故 是調(diào)和函數(shù)。),(yxu,02222 yuxu,222 xu,222 yu由解 (1) 驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)),(yxu

18、驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 第35頁(yè)/共82頁(yè)由 ,2)(2xyyuxyxv ,)(xx ,21)(2cxx .21212),(22cxyxyyxv , )(212d)2(2xyxyyyxv ,2yvyxxu 由解 (2) 求虛部 。 ),(yxv方法一： 偏積分法驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 第36頁(yè)/共82頁(yè),2xyyuxv ,2yxxuyv 由方法二： 全微分法(利用第二類(lèi)曲線積分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx ),()0

19、 ,0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy 驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 解 (2) 求虛部 。 ),(yxv第37頁(yè)/共82頁(yè),2xyyuxv ,2yxxuyv 由方法三： 全微分法(利用“反微分”法),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx .21212),(22cxyxyyxv , )2/d(d2)2/d(d222yyxxxy , )2/2/2d(22yxxy 驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析

20、函數(shù)使得為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 解 (2) 求虛部 。 ),(yxv第38頁(yè)/共82頁(yè)解 (3) 求確定常數(shù) c根據(jù)條件,1)(iif 將 代入得1,0 yx,21 c. )21212()()(2222cxyxyixyyxzf ,1)21(1ici 即得. )2121212()()(2222 xyxyixyyxzf221122.zzii驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例, )(zf的解析函數(shù)使得為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 第39頁(yè)/共82頁(yè)2.3.1 指數(shù)函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)2.3.3 冪函數(shù)2.3.4 三角函數(shù)與反三角函數(shù)2.3.5 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第40

21、頁(yè)/共82頁(yè) 復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一樣的。2.3 初等函數(shù)的定義方式盡可能保持一致。 本節(jié)主要從下面幾個(gè)方面來(lái)討論復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)：定義、定義域、運(yùn)算法則、連續(xù)性、解析性、單值性等等。特別是當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí)，特別要注意與實(shí)初等函數(shù)的區(qū)別。第41頁(yè)/共82頁(yè)一、指數(shù)函數(shù),yixz )sin(coseyiywx 對(duì)于復(fù)數(shù)稱(chēng)定義為指數(shù)函數(shù) ,記為 或zwexp .ezw 注(1) 指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等函數(shù)都通過(guò)指數(shù)函數(shù)來(lái)定義。(2) 借助歐拉公式，指數(shù)函數(shù)可以這樣來(lái)記憶：. )sin(coseeeeeyiywxyixyixz P31定義

22、 2.5 , . (cossin )zxeeyiy (3)(3)沒(méi)沒(méi)有有冪冪的的意意義義 只只是是一一個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào) 代代表表第42頁(yè)/共82頁(yè)一、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)(1) 是單值函數(shù)。ze事實(shí)上，對(duì)于給定的復(fù)數(shù),yixz 定義中的 均為單值函數(shù)。yyxsin,cos,e事實(shí)上，在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有(2) 除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，處處有定義。ze當(dāng) 時(shí)， xy,0;e z當(dāng) 時(shí)， xy,0.0ez(3).0e z.0sincos,0e yiyx因?yàn)榈?3頁(yè)/共82頁(yè)性質(zhì)(6) 是以 為周期的周期函數(shù)。zeik2一、指數(shù)函數(shù)第44頁(yè)/共82頁(yè)指數(shù)函數(shù) 的圖形ze第45頁(yè)/共82頁(yè)二、對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函

23、數(shù)。.Ln zw 記作zwLn zArgiz |ln即zw e)(zfw 滿足方程的函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)，定義計(jì)算 令,|eeArg izirzz ,viuw 由,ezw 有,eee iviur , |lnlnzru .Arg zv 由 z 的模得到 w 的實(shí)部 ；由 z 的輻角得到 w 的虛部 。,2arg|lnikziz . ), 2, 1, 0( k P32定義 2.6 第46頁(yè)/共82頁(yè)二、對(duì)數(shù)函數(shù) 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。主值(枝)zwLn 稱(chēng)為的主值(枝)，zizwarg|ln .ln zw 記為故有,2lnLnikzz . ), 2, 1, 0( k分支(枝)特別地，當(dāng) 時(shí), 0 x

24、z的主值 就是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。zLnxzlnln 對(duì)于任意一個(gè)固定的 k，稱(chēng) 為 的ikz2ln zLn一個(gè)分支(枝)。,2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k第47頁(yè)/共82頁(yè)二、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)在原點(diǎn)無(wú)定義，故它的定義域?yàn)閦wLn .0 z(1)(2)的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)連續(xù)；zLnzln在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)連續(xù)。特別地，注意到，函數(shù)arg z在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。注意到，函數(shù)在原點(diǎn)無(wú)定義；arg z0.we或者指數(shù)函數(shù)第48頁(yè)/共82頁(yè)1dlnd()wwzze由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得11.wez進(jìn)一步有2dLnd(ln)ddzzkizz1dln.dz

25、zz(在集合意義下)二、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)(3)的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析；zLnzln在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。特別地，第49頁(yè)/共82頁(yè)函函數(shù)數(shù)單單值值與與多多值值xlnzLnzln單值多值單值定定義義域域所有正實(shí)數(shù)所有非零復(fù)數(shù)所有非零復(fù)數(shù)注注解解一個(gè)單值時(shí)，0 xzxln為zln分支為第50頁(yè)/共82頁(yè)對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的圖形第51頁(yè)/共82頁(yè)主值 .2)(lnii 解ikiiii2)(arg|ln)(Ln (1)iki221ln)( ,22iki ikiiii2)1(arg|1 |ln)1(Ln (2),242ln)(iki 主值 .42ln)1(ln)(ii 第52頁(yè)/共8

26、2頁(yè);)12(ik 解iki2)1(arg| 1|ln)1(Ln 主值 .)1(lni iki21ln 求對(duì)數(shù) 以及它的主值。)1(Ln 例 可見(jiàn)，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是可以求對(duì)數(shù)的。 第53頁(yè)/共82頁(yè)三、冪函數(shù)稱(chēng)為復(fù)變量 z 的冪函數(shù)。 還規(guī)定：當(dāng) a 為正實(shí)數(shù)，且 時(shí)， 0 z.0 a az( 為復(fù)常數(shù)， )a azw zzLnea aa a 定義 函數(shù) 規(guī)定為0 za a注意上面利用指數(shù)函數(shù)以一種“規(guī)定”的方式定義了冪函數(shù)，但不要將這種“規(guī)定”方式反過(guò)來(lái)作用于指數(shù)函數(shù)，.eLneLneeezzz ?即 P33定義 2.7 第54頁(yè)/共82頁(yè)討論此時(shí)， 處處解析，且.)(1 a aa aa

27、 azza az當(dāng) 為正整數(shù)時(shí), a a.lnLneeznznnz (單值)(1)此時(shí)， 除原點(diǎn)外處處解析，且.)(1 a aa aa azza az當(dāng) 為負(fù)整數(shù)時(shí), a a.1nnzz (2)(單值)當(dāng) 時(shí), 0 a a.10 z(3)三、冪函數(shù)第55頁(yè)/共82頁(yè)討論其中，m 與 n 為互質(zhì)的整數(shù)，且 .1 n(5) 當(dāng) 為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)( )時(shí)，a a0Im a a當(dāng) 為有理數(shù)時(shí), a a(4).nmnmzz ( 值)n此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析，a az一般為無(wú)窮多值。此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析。a az.)(1 a aa aa azz且三、冪函數(shù)第56頁(yè)/共82頁(yè)13z的圖形

28、第57頁(yè)/共82頁(yè)解iiiiLne )(22eikii . ), 2, 1, 0( k,)(22ek 可見(jiàn)， 是正實(shí)數(shù)，ii它的主值是2.e 例求 的值。ii. ), 2, 1, 0( k, )22(sin)22(coskik ik22e )20(02e ki 求 的值。21例1Ln22e1 解 可見(jiàn)，不要想當(dāng)然地認(rèn)為11 .a a第58頁(yè)/共82頁(yè)四、三角函數(shù)啟示 由歐拉公式,sincose ii 有,sincose ii , )(21cosee ii . )(21sinee iii 余弦函數(shù); )(21coseeziziz 正弦函數(shù). )(21sineeziziiz 定義 P34定義 2.

29、8 其它三角函數(shù)第59頁(yè)/共82頁(yè)四、三角函數(shù)性質(zhì) 周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣； 各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬； 有界性(即 )不成立。1|cos| ,1|cos| zz(略) 第60頁(yè)/共82頁(yè)sinz 的圖形第61頁(yè)/共82頁(yè)cosz 的圖形第62頁(yè)/共82頁(yè)tanz 的圖形第63頁(yè)/共82頁(yè)iiiiii2)21sin()21()21(ee .1cos21sin22222eeee i.cosi例 求2coseei ii ii 根據(jù)定義，有解.2ee1 . )21sin(i 例 求根據(jù)定義，有解iii2)1sin1(cos)1sin1(cos22ee 第64頁(yè)/共82頁(yè)五

30、、反三角函數(shù)記為.cosArczw 如果定義,coszw 則稱(chēng) w 為復(fù)變量 z 的反余弦函數(shù)，,12e zzwi,012)(ee2 wiwiz ,1Ln)(2 zzwi.1LncosArc)(2 zzizw計(jì)算, )(21coseewiwiwz 由 同理可得.Ln2tanArcziziiz ;1LnsinArc)(2zz iiz 第65頁(yè)/共82頁(yè)反三角函數(shù)Arctanz的圖形第66頁(yè)/共82頁(yè)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù);chshthzzz 雙曲正切函數(shù).shchcothzzz 雙曲余切函數(shù); )(21sheezzz 雙曲正弦函數(shù)定義雙曲余弦函數(shù); )(21cheezzz P36定義 2.9

31、第67頁(yè)/共82頁(yè)雙曲函數(shù)sinhz（或shz）第68頁(yè)/共82頁(yè)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲正切函數(shù);11Ln21Arthzzz 反雙曲余弦函數(shù);1LnArch)(2 zzz反雙曲正弦函數(shù)定義;1LnArsh)(2 zzz反雙曲余切函數(shù).11Ln21Arcoth zzzP36 第69頁(yè)/共82頁(yè) 復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質(zhì), 又有一些與后者不同的特性. 如: 1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性) 2 (i周期為周期為2. 三角正弦與余弦不再具有有界性3. 雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)第70頁(yè)/共82頁(yè)思考題 實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?第71頁(yè)/共82頁(yè)本章總結(jié)1、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的概念2、函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法：1）利用定義； 2）利用充（分）要條件3、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系4、復(fù)變初等函數(shù)第72頁(yè)/共82頁(yè)復(fù)變函數(shù)連續(xù)初等解析函數(shù)判別方法可導(dǎo)解析指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪 函 數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第73頁(yè)/共82頁(yè)第二章 完第74頁(yè)/共82頁(yè)附：知識(shí)廣角 解析函數(shù)的由來(lái) 解析函數(shù)的名稱(chēng)是康道爾西(Condorcet)首先使用的。他的研究報(bào)告沒(méi)有公開(kāi)出版，但有很多人知道他的工作。