數(shù)學(xué)建模第13講 插值

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗 插插 值值實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康膶嶒瀮?nèi)容實驗內(nèi)容1了解插值的基本內(nèi)容了解插值的基本內(nèi)容11一維插值一維插值22二維插二維插值值33實驗作業(yè)實驗作業(yè)拉格朗日插值拉格朗日插值分段線性插值分段線性插值三次樣條插值三次樣條插值一一 維維 插插 值值一、一、插值的定義插值的定義二、插值的方法二、插值的方法三、三、用用MATLAB解插值問題解插值問題返回返回返回返回二維插值二維插值一、一、二維插值定義二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法三、用三、用MATLAB解插值問題解插值問題最鄰近插值最鄰近插值分片線性插值分片線性插值雙線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值網(wǎng)

2、格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值一維插值的定義一維插值的定義已知已知 n+1個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn)(,) (0,1, ,jjxyjn 其中其中jx互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)),10bxxxan求任一插值點(diǎn)求任一插值點(diǎn))(*jxx 處的插值處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點(diǎn)可視為由節(jié)點(diǎn)可視為由)(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生,g表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜,或無封閉形式或無封閉形式,或未知或未知.*x*y 構(gòu)造一個構(gòu)造一個(相對簡單的相對簡單的)函數(shù)函數(shù)),(xfy 通過全部節(jié)點(diǎn)通過全部節(jié)點(diǎn), 即即()(0,1,)jjfxyjn再用再用)(xf計算插值，即計算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y

3、1y*x*y返回返回 稱為拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)0( )( )nniiiP xL xy 已知函數(shù)f(x)在n+1個點(diǎn)x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 求一n次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如下其中Li(x) 為n次多項式：01110111()()()()()( )()()()()()iiniiiiiiiinxxxxxxxxxxL xxxxxxxxxxx拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值特別地特別地:兩點(diǎn)一次兩點(diǎn)一次(線性線性)插值多項式插

4、值多項式: 101001011yxxxxyxxxxxL三點(diǎn)二次三點(diǎn)二次(拋物拋物)插值多項式插值多項式: 2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL ,.nLx直接驗證可知滿足插值條件 拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象現(xiàn)象55,11)(2xxxg 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點(diǎn)n+1個，其中n為插值多項式的次數(shù)，當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結(jié)果圖形.例例返回返回To MATLABTo MATLABlch(larg1)lch(larg1)分段線性插值分段線性插值0111111()(),(),0,

5、nnjjjjjjjjjjjjjjLxy lxxxxxxxxxxlxxxxxx其 他計算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.nnnxxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxyTo MATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回返回66,11)(2xxxg例例用分段線性插值法求插值用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差并觀察插值誤差.1.在在-6,6中平均選取中平均選取5個點(diǎn)作插值個點(diǎn)作插值(xch11)4.在在-6,6中平均選取中平均選取41個點(diǎn)作插值個點(diǎn)作插值(xch14)2.在在-6,6中平均選取中平均選取11個點(diǎn)作插值個點(diǎn)作插值(xch12)3.在在-6,6

6、中平均選取中平均選取21個點(diǎn)作插值個點(diǎn)作插值(xch13)比分段線性插值更光滑比分段線性插值更光滑xyxi-1 xiab 在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性 光滑性的階次越高，則越光滑是否存在較低次的分段多項式達(dá)到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子三次樣條插值三次樣條插值 三次樣條插值1( ) ( ),1, iiiS xs x xxxin 32201)( )(1,)2)()(0,1,)3)( ),iiiiiiinsxa xb xc xdinS xyinS xCxx) 1, 1()()(),()(),()(111 nixsx

7、sxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiiig(x)為被插值函數(shù)為被插值函數(shù))()(limxgxSn例例66,11)(2xxxg用三次樣條插值選取用三次樣條插值選取11個基點(diǎn)計算插值個基點(diǎn)計算插值(ych)返回返回To MATLAB ych(larg1)用用MATLAB作插值計算作插值計算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點(diǎn)被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xi處的處的插值結(jié)果插值結(jié)果nearest 最鄰近插值；最鄰近插值；linear 線性插值；線性插值；s

8、pline 三次樣條插值；三次樣條插值；cubic 立方插值；立方插值； 缺省時缺省時 分段線性插值分段線性插值 注意：所有的插值方法注意：所有的插值方法都要求都要求x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xi不不能夠超過能夠超過x的范圍的范圍 例：從例：從1 1點(diǎn)點(diǎn)1212點(diǎn)點(diǎn)的的1111小時內(nèi)，每隔小時內(nèi)，每隔1 1小時測量一小時測量一次溫度，測得的溫度的數(shù)值依次為：次溫度，測得的溫度的數(shù)值依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424試估計每隔試估計每隔1/101/10小時的溫度值小時的溫度值To MATLAB (temp)

9、hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)xy機(jī)翼下輪廓線例例 已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變每改變0.1時的時的y值值To MATLAB(plane)返回返回二維插值的定義二維插值的定義 xyO第一種（網(wǎng)格

10、節(jié)點(diǎn)）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）： 已知已知 m n個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn) (,) (1,2,.,;1,2, )ijijxyzim jn其中其中jiyx ,互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)bxxxam 21dyyycn 21 構(gòu)造一個二元函數(shù)構(gòu)造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點(diǎn)通過全部已知節(jié)點(diǎn),即即再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz (,)(0,1,;0,1,)ijijfxyzimjn第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）：第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）： yxO已知已知n個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn)),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 構(gòu)造一個二元函數(shù)構(gòu)造一個二元函

11、數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點(diǎn)通過全部已知節(jié)點(diǎn),即即),1 ,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz 返回返回 注意：注意：最鄰近插值一般不連續(xù)具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值最鄰近插值最鄰近插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求返回返回 將四個插值點(diǎn)（矩形的四個頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次簡記為： 分片線性插值分片線性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)Of (xi, yj)=f

12、1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4插值函數(shù)為：11()jjijiiyyyxxyxx12132( , )()()()()ijf x yfffxxffyy第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足11()jjiiiiyyyxxyxx插值函數(shù)為：14134( , )()()()()jif x yfffyyffxx注意注意：(x, y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū)域內(nèi)顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足返回返回 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成雙線性插值函數(shù)的形式

13、如下：( , )()()f x yaxb cyd其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)雙線性插值雙線性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O返回返回 要求要求x0, ,y0單調(diào)；單調(diào)；x，y可取可取為矩陣，或為矩陣，或x取行向量，取行向量，y取為列向量，取為列向量，x,y的值分別不能的值分別不能超出超出x0, ,y0 0的范圍的范圍z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點(diǎn)插值方法用用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值near

14、est 最鄰近插值；最鄰近插值；linear 雙線性插值；雙線性插值；cubic 雙三次插值；雙三次插值；缺省時缺省時 雙線性插值雙線性插值. .例：測得平板表面例：測得平板表面3 35 5網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為：網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 8484 84 82 85 86 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面試作出平板表面的溫度分布曲面z= =f( (x, ,y) )的圖形的圖形輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79

15、63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲線圖.2以平滑數(shù)據(jù),在 x、y方向上每隔0.2個單位的地方進(jìn)行插值.再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. To MATLAB (wendu) 通過此例對最近鄰點(diǎn)插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進(jìn)行比較To MATLAB (moutain)返回返回 插值函數(shù)插值函數(shù)griddata格式為格式為: cz =

16、griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計算作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計算 要求要求cx取行向量，取行向量，cy取為列向量取為列向量被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearest最鄰近插值最鄰近插值linear 雙線性插值雙線性插值cubic 雙三次插值雙三次插值v4- MATLAB提供的插值方法提供的插值方法缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值 例例 在某海域測得一些點(diǎn)在某海域測得一些點(diǎn)( (x, ,y) )處的水深處的水深z由下表由下表給出，船的吃水深度為給出，船的吃水深度為5 5英尺，在矩形區(qū)域（英尺，在矩形區(qū)域（7575，200200）（-50-50，150150）里的哪些地方船要避免進(jìn)）里的哪些地方船要避免進(jìn)入入 2.75,20050,