幾何分布的期望與方差總結(jié)

1、 幾何分布的期望與方差幾何分布的期望與方差 幾何分布，（1）Ep1，（2）Dpp12 （1）由Pkqpk()1，知 Eppqq pkqpqqkqpkk231232121() 下面用倍差法（也稱為錯(cuò)位相減法）求上式括號(hào)內(nèi)的值。記 Sqqkqkk12321 qSqqkqkqkkk2121() 兩式相減，得 ()1121q Sqqqkqkkk Sqqkqqkkk1112(), 由01p，知01q，則limkkq 0，故 1231112122pqkqSqpkkklim() 從而Ep1 也可用無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式Saqq111(| |)，推導(dǎo)如下： 記Sqqkqk12321 qSqqkqk2121()

2、 相減， ()111121q Sqqqqk 則Sqp11122() 還可用導(dǎo)數(shù)公式()xnxnn1，推導(dǎo)如下： 12321xxkxk 2323n ()n ()n()n()nkkxxxxxxxx 22(1)()1()n1(1)(1)xxxxxx 上式中令xq，則得 1231112122qqkqqpk() （2）為簡(jiǎn)化運(yùn)算，利用性質(zhì)DEE22()來推導(dǎo),可見關(guān)鍵是求E2。 Epqpq pk qpk22222123 pqqk qk()12322221 對(duì)于上式括號(hào)中的式子，利用導(dǎo)數(shù)，關(guān)于 q 求導(dǎo)：k qkqkk21 ()，并用倍差法求和，有 12322221qqk qk ()qqqkqk2323

3、2224433(1)2(1)112n(1)(1)(1)(1)qqq qqqpqqqqp 則Eppppp23222()，因此DEEppppp22222211()() 利用上述兩個(gè)結(jié)論，可以簡(jiǎn)化幾何分布一類的計(jì)算問題。 例例 1. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有 5 個(gè)白球和 2 個(gè)黑球，現(xiàn)從中每次摸取一個(gè)球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球。求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望E與方差D。 解：每次從袋內(nèi)取出白球的概率p 57，取出黑球的概率q 27。的取值為 1，2，3，有無窮多個(gè)。我們用 k表示前 k1 次均取到黑球，而第 k 次取到白球，因此 Pkqpkkk()( )( )(, , ,)11275712 3 。可見服從

4、幾何分布。所以 Ep175 Dpp115757142522( ) 例例 2. 某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為 p（0p1）。他有 10 發(fā)子彈，現(xiàn)對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他擊中目標(biāo)的期望。 解：射手射擊次數(shù)的可能取值為 1，2，9，10。 若k k(, , )129，則表明他前k 1次均沒擊中目標(biāo)，而第 k 次擊中目標(biāo)；若 k10，則表明他前 9 次都沒擊中目標(biāo)，而第 10 次可能擊中也可能沒擊中目標(biāo)。因此的分布列為Pk()()(, , )() ()112911019pp kpkk Eppp pppp 112191101089()()()() ()() ()12 19 110189pppp 用倍差法，可求得 12 19 18()()pp 11119 111119 1929929()()()()()()pppppppp 所以Epppppppp()()()()119 110 111929910 說明：本例的試驗(yàn)是有限次的，并且Pp