[理學(xué)]結(jié)構(gòu)力學(xué)ppt課件

1、第五章第五章 虛功原理與構(gòu)造位移計算虛功原理與構(gòu)造位移計算 1 1 運用虛力原理求剛體體系的位移運用虛力原理求剛體體系的位移 2 2 構(gòu)造位移計算的普通公式構(gòu)造位移計算的普通公式 3 3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算 4 4 荷載作用下的位移計算舉例荷載作用下的位移計算舉例 5 5 圖乘法圖乘法 6 6 溫度作用時的位移計算溫度作用時的位移計算 7 7 互等定理互等定理1 運用虛力原理求剛體體系的位運用虛力原理求剛體體系的位移移1.1.構(gòu)造位移計算概述構(gòu)造位移計算概述 2.2.虛功原理的另一種運用方式虛功原理的另一種運用方式-虛力原理虛力原理3.3.支座挪動時靜定構(gòu)造的位移計算支座

2、挪動時靜定構(gòu)造的位移計算1.構(gòu)造位移計算概述構(gòu)造位移計算概述n位移的概念：構(gòu)造在荷載、溫度變化和資料膨脹、支座沉降和制位移的概念：構(gòu)造在荷載、溫度變化和資料膨脹、支座沉降和制造誤差等各種要素作用下發(fā)生變形，因此構(gòu)造上個點的位置會有造誤差等各種要素作用下發(fā)生變形，因此構(gòu)造上個點的位置會有變動。這種位置的變動稱為位移。變動。這種位置的變動稱為位移。 n構(gòu)造的位移通常有兩種：截面的挪動構(gòu)造的位移通常有兩種：截面的挪動-線位移；截面的轉(zhuǎn)動線位移；截面的轉(zhuǎn)動-角位移。角位移。DC CDDCFP AAAPAxAy鐵路工程技術(shù)鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定規(guī)范規(guī)定:構(gòu)造位移計算的目的：構(gòu)造位移計算的目的：(1) 剛度

3、要求剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。最大層間位移高度。最大層間位移 1/800 層高。層高。(2) 超靜定、動力和穩(wěn)定計算超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3施工要求施工要求為超靜定構(gòu)造的內(nèi)力分析如第為超靜定構(gòu)造的內(nèi)力分析如第6章力法等打好根底利章力法等打好根底利用位移條件建立補充方程。用位移條件建立補充方程。2.虛功原理的另一種運用方式虛功原理的另一種運用方式-虛力原理虛力

4、原理 虛功原理的關(guān)鍵是位移與力系是獨立無關(guān)的。因此，可以把位虛功原理的關(guān)鍵是位移與力系是獨立無關(guān)的。因此，可以把位移看成是虛設(shè)的，也可以把力系看成是虛設(shè)的，本部分正是把移看成是虛設(shè)的，也可以把力系看成是虛設(shè)的，本部分正是把力系看作是虛設(shè)的，求剛體體系的位移。力系看作是虛設(shè)的，求剛體體系的位移。步驟：步驟：1.在擬求位移的方向上虛設(shè)單位荷載，利用平衡條件求支反在擬求位移的方向上虛設(shè)單位荷載，利用平衡條件求支反力。力。2.利用虛力原理列出虛力方程進展求解，由于是在所求位移利用虛力原理列出虛力方程進展求解，由于是在所求位移處設(shè)置單位荷載，因此，這種解法又稱單位荷載法。處設(shè)置單位荷載，因此，這種解法又

5、稱單位荷載法。abABC1c?P=1ABCab1R知知1c求求虛功方程虛功方程設(shè)虛力形狀設(shè)虛力形狀abR0bPaR110cR1111cab小結(jié)：小結(jié)： 1方式是虛功方程，本質(zhì)是幾何方程；方式是虛功方程，本質(zhì)是幾何方程；2在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與知位移相在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與知位移相 應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個平衡力系；應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個平衡力系；3特點是用靜力平衡條件處理幾何問題。特點是用靜力平衡條件處理幾何問題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。單位位移法的虛功方程單位位移法的虛功方程 平衡方程平衡方程單位荷載法的虛

6、功方程單位荷載法的虛功方程 幾何方程幾何方程 第一種本書稱為第一種本書稱為“虛位移原理，而將第二虛位移原理，而將第二種運用稱為種運用稱為“虛力原理。更確切的說法為，兩虛力原理。更確切的說法為，兩種運用的根據(jù)是上述兩原理的必要性命題。上述種運用的根據(jù)是上述兩原理的必要性命題。上述兩原理都是充分、必要性命題。兩原理都是充分、必要性命題。 虛位移原理虛位移原理:一個力系平衡的充分必要條件是一個力系平衡的充分必要條件是:對對 恣意協(xié)調(diào)位移恣意協(xié)調(diào)位移,虛功方程成立虛功方程成立. 虛力原理虛力原理:一個位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是一個位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是:對對 恣意平衡力系恣意平衡力系,虛功方程成立

7、。虛功方程成立。3.支座位移時靜定構(gòu)造的位移計算支座位移時靜定構(gòu)造的位移計算1C點的豎向位移點的豎向位移c2桿桿CD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角l3l 23lABCDABCD13143ABCD1l 21l2l 23知位移知位移Ac求求:cAc 11 103cAc Acc31 02112AclAcl 21 所得正號闡明位移方所得正號闡明位移方向與假設(shè)的單位力方向向與假設(shè)的單位力方向一致。一致。求解步求解步驟驟1沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；3解方程得解方程得kkcR 定出方向。定出方向。2建立虛功方程建立虛功方程01kkcR2 構(gòu)造位移計算的普通公式構(gòu)造位移計算的普通公

8、式 1.部分變形時靜定構(gòu)造的位移計算舉例部分變形時靜定構(gòu)造的位移計算舉例2.部分變形時的位移公式部分變形時的位移公式3.構(gòu)造位移計算的普通公式構(gòu)造位移計算的普通公式4.位移計算的普通步驟位移計算的普通步驟 5.廣義位移和虛設(shè)形狀廣義位移和虛設(shè)形狀dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虛功方程：虛功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQsin1Q01dQQdQQ 1. 例例1、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種緣處由于某種緣由產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角由產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角d，試求，試求A點在點在ii方方向的位移向的位移 。m 例例2、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種緣由處由于某種緣由

9、產(chǎn)生相對剪位移產(chǎn)生相對剪位移d，試求，試求A點在點在ii方方向的位移向的位移 。Q 例例3、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種緣由產(chǎn)生軸向位移處由于某種緣由產(chǎn)生軸向位移d 試求試求A點在點在方向的位移方向的位移 。NBABAii NNBA 1NN由平衡條件：由平衡條件：cos1N虛功方程：虛功方程：01dNNdNN 當(dāng)截面當(dāng)截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在同時產(chǎn)生三種相對位移時，在ii方向所產(chǎn)生的位移方向所產(chǎn)生的位移 ，即是三者的疊加，有：即是三者的疊加，有：dNdQdMNQMd由剛體虛功原理來推導(dǎo)部分到整體。由剛體虛功原理來推導(dǎo)部分到整體。2.部分變形時的位移計算公式部分變形時的位移計算

10、公式根本思緒：根本思緒：dsdddRii ddsddsddRdsR11三種變形：三種變形：在剛性桿中，取微段在剛性桿中，取微段ds設(shè)為變形體，分析部分變形設(shè)為變形體，分析部分變形所引起的位移。所引起的位移。dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1Q,N,M2微段兩端相對位移：微段兩端相對位移：續(xù)根本思緒：設(shè)續(xù)根本思緒：設(shè),0ds 微段的變形以截面微段的變形以截面B左右兩端的相對位移的左右兩端的相對位移的方式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。方式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。3運用剛體虛功原理求位移運用剛體虛功原理求位移d 即前例的結(jié)

11、論。即前例的結(jié)論。dQdNdMdQNM或或ds)QNM(d3.構(gòu)造位移計算的普通公式構(gòu)造位移計算的普通公式iids)QNM(d根據(jù)疊加原理，一根桿件各個微段變形引起的位移總和：根據(jù)疊加原理，一根桿件各個微段變形引起的位移總和：()dMNQds 假設(shè)構(gòu)造由多個桿件組成，那么整個構(gòu)造變形引起某點的位移為：假設(shè)構(gòu)造由多個桿件組成，那么整個構(gòu)造變形引起某點的位移為：ds)QNM(假設(shè)構(gòu)造的支座還有位移，那么總的位移為：假設(shè)構(gòu)造的支座還有位移，那么總的位移為：kkcRds)QNM(這里的積分號表示沿桿件長度積分，總和號表示對構(gòu)造中各桿求和。其中最后一項表示給定支座位移Ck的影響。構(gòu)造位移計算的普通公式還

12、可用變形體的虛功原理導(dǎo)出：外虛功內(nèi)虛功，kkcRds)QNM(適用范圍與特點：適用范圍與特點：2 方式上是虛功方程，本質(zhì)是幾何方程。方式上是虛功方程，本質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：關(guān)于公式普遍性的討論：1變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。2變形緣由：荷載與非荷載。變形緣由：荷載與非荷載。3構(gòu)造類型：各種桿件構(gòu)造。構(gòu)造類型：各種桿件構(gòu)造。4資料種類：各種變形固體資料。資料種類：各種變形固體資料。1 適于小變形，可用疊加原理。適于小變形，可用疊加原理。位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。kkc

13、Rds)QNM(1c2cdsds1t2tKK 11R2RdsddsdddsdsdsMdsNdsQ外虛功：外虛功：kkecR1W內(nèi)虛功：內(nèi)虛功：dsQNMWi變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和Wi ，等于荷載在，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We 。即：。即：dsQNMcRkk14.位移計算的普通步驟位移計算的普通步驟:1c2c1t2tKK 11R2R實踐變外形狀虛力形狀kkcRds)QNM(1) 建立虛力形狀：在待求位移方向上加單位荷載；建立虛力形狀：在待求

14、位移方向上加單位荷載；(2) 求虛力形狀的單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出一切求虛力形狀的單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出一切的內(nèi)力及反力的內(nèi)力及反力(3) 用位移公式計算所求位移，留意正負號問題。力與變形方向用位移公式計算所求位移，留意正負號問題。力與變形方向一致時乘積取正，否那么為負。計算出的位移結(jié)果為正值時，一致時乘積取正，否那么為負。計算出的位移結(jié)果為正值時，那么闡明所求位移與單位荷載方向一致，負值時那么闡明實踐那么闡明所求位移與單位荷載方向一致，負值時那么闡明實踐位移與單位荷載方向相反。位移與單位荷載方向相反。 kR.Q.N.M5.5.廣義位移的計算廣義位移的計算 本章所討論的位

15、移可以引申為廣義位移：它既可以是某點沿某一方向的線位移或某一截面的角位移，也可以是某兩個截面的相對位移等。為了可以運用位移計算的普通公式，虛設(shè)單位荷載必需與所求位移產(chǎn)生虛功，因此，虛設(shè)單位荷載應(yīng)與廣義位移相一致。如P162表5-1廣義位移和廣義單位荷載例如所示。作功的兩方面要素：力、位移。與力相應(yīng)的因子，稱為廣義力作功的兩方面要素：力、位移。與力相應(yīng)的因子，稱為廣義力F；與位移相應(yīng)的因子，稱為廣義位移與位移相應(yīng)的因子，稱為廣義位移。廣義力與廣義位移的共軛關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：廣義力與廣義位移的共軛關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：W=F1廣義力是單個力廣義力是單個力P，那么廣義位移是該力的

16、作用點的全位移在，那么廣義位移是該力的作用點的全位移在力的方向上的分量。力的方向上的分量。Pm2廣義力是一個力偶，那么廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角廣義力是一個力偶，那么廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角。3假設(shè)廣義力是等值、反向的一對力假設(shè)廣義力是等值、反向的一對力PPPttABBAW=PA+PB=P A+B=P這里這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。 表示AB兩點間距的改動，即AB兩 點的相對位移。4假設(shè)廣義力是一對等值、反向的力偶mABmmABW=mA+mB=m A+ B=m這里這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。兩截面的

17、相對轉(zhuǎn)角。廣義位移的計算廣義位移的計算 ()ABABWFFF 廣義力是等值、反廣義力是等值、反向的一對力向的一對力F桁架構(gòu)造，桁架構(gòu)造，在在C、D上作上作用與桿垂直的用與桿垂直的等值反向的兩等值反向的兩個力個力F()CDCDCDWFFFFdd CDEDECd 廣義力為力偶廣義力為力偶M，廣義位移為，廣義位移為CD桿的轉(zhuǎn)角桿的轉(zhuǎn)角WMMF d5兩種情況的功兩種情況的功3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算 1.1.計算步驟計算步驟2.2.各類構(gòu)造的位移公式各類構(gòu)造的位移公式 3.3.截面平均切應(yīng)變截面平均切應(yīng)變 和系數(shù)和系數(shù)k k 0研討對象：靜定構(gòu)造、線性彈性資料。研討對象：靜定構(gòu)造、線

18、性彈性資料。ds)QNM(重點在于處理荷載作用下應(yīng)變重點在于處理荷載作用下應(yīng)變 的表達式。的表達式。、2由上面的內(nèi)力計算應(yīng)變，其表達式由資料力學(xué)知由上面的內(nèi)力計算應(yīng)變，其表達式由資料力學(xué)知PPPMNEIEAQkGAk-為截面外形系數(shù)為截面外形系數(shù)1.29101AA( 3 ) 荷載作用下的位移計算公式荷載作用下的位移計算公式PPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGA 1 1、計算步驟、計算步驟1在荷載作用下建立在荷載作用下建立 的方程，可經(jīng)由荷載的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變 過程推導(dǎo)應(yīng)變表達式。過程推導(dǎo)應(yīng)變表達式。.PPPMN Q2 2、各類構(gòu)造的位移計算公式、各類構(gòu)造的位移計算

19、公式1 1梁與剛架：由于梁和剛架是以彎曲為主要變形，因此位梁與剛架：由于梁和剛架是以彎曲為主要變形，因此位移計算可簡化為移計算可簡化為 PMMdsEI 2 2桁架：桁架中桿件只受軸力作用，且每根桿件的截面面桁架：桁架中桿件只受軸力作用，且每根桿件的截面面積、軸力均為常數(shù)，故位移計算可簡化為積、軸力均為常數(shù)，故位移計算可簡化為 PPPNNNNNN ldsdsEAEAEA 4 4拱：對于拱構(gòu)造，當(dāng)壓力線與拱軸線相近時，應(yīng)思索拱：對于拱構(gòu)造，當(dāng)壓力線與拱軸線相近時，應(yīng)思索彎曲變形和軸向變形，即彎曲變形和軸向變形，即 PPMMNNdsdsEIEA 3 3組合構(gòu)造：桁梁混合構(gòu)造中，一些桿件以彎曲為主，一

20、組合構(gòu)造：桁梁混合構(gòu)造中，一些桿件以彎曲為主，一些桿件只受軸力，故位移計算可簡化為些桿件只受軸力，故位移計算可簡化為 PPMMNN ldsEIEA 3 3、截面平均切應(yīng)變、截面平均切應(yīng)變 和系數(shù)和系數(shù)k k 0根據(jù)截面切應(yīng)變的分布函數(shù) ，運用虛功原理推得截面平均切應(yīng)變?yōu)椋焊鶕?jù)荷載引起的剪力求出切應(yīng)變，代入上式可進一步推倒出截面外形系數(shù)k的公式，根據(jù)不同的截面外形，系數(shù)k可做如下取值：矩形 6/5圓形 10/9薄壁圓環(huán)形 2工字形或箱形 A/A(腹板)( )y01ASdAIbPQ SGGIbPQ SIb222AASkdAIbPQkGA2AIy dAASydAQPdWQds4 荷載作用下的位移計算

21、舉例荷載作用下的位移計算舉例1.1.梁的位移計算梁的位移計算2.2.曲桿的位移計算曲桿的位移計算q2l2lACB(a) 實踐形狀實踐形狀xP=1ACB2l2l(b) 虛設(shè)形狀虛設(shè)形狀A(yù)C段段2lx00NP0MP0QP0NxM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Qx1. 1. 梁的位移計算。試計算懸臂梁梁的位移計算。試計算懸臂梁A A點的豎向位移點的豎向位移1列出兩種形狀的內(nèi)力方程：列出兩種形狀的內(nèi)力方程：,EICAC段段2lx00NP0MP0QP0N xM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Q2) 將上面各式代入位移公式分段積分計算將

22、上面各式代入位移公式分段積分計算AC段段2lx0在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零。在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零。CB段段lx2lllPP2l2ldxGAQQkdxEIMMl2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44PPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGA CB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Ql2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44 l2lPQ2l2lGA20ql3GAdx2lxq12 . 1dxGAQQkGA20ql3EI384ql724QM設(shè)為矩形截

23、面設(shè)為矩形截面 k=1.23討論：討論： 比較剪切變形與彎曲變形對位移的影響。比較剪切變形與彎曲變形對位移的影響。GAqlEIqlQM20338472424223. 83847203GAlEIEIqlGAqlMQ設(shè)資料的泊松比設(shè)資料的泊松比 , 由資料力學(xué)公式由資料力學(xué)公式 。 313812GE設(shè)矩形截面的寬度為設(shè)矩形截面的寬度為b、高度為、高度為h，那么有，那么有,12bhI ,bhA3代入上式代入上式22283. 11213823. 823. 8lhlhGAlEIMQ%32. 7,51%;83. 1,101MQMQlhlh時當(dāng)時當(dāng)對于普通的梁可以忽略剪切變形對位移的影響，但對于深梁那么不可

24、。對于普通的梁可以忽略剪切變形對位移的影響，但對于深梁那么不可。PP=12.2.曲桿的位移計算：求圖示曲桿曲桿的位移計算：求圖示曲桿1/41/4圓弧頂點的豎向位移圓弧頂點的豎向位移。解：解：1虛擬單位荷載虛擬單位荷載虛擬荷載虛擬荷載3位移公式為位移公式為ds=Rddds鋼筋混凝土構(gòu)造鋼筋混凝土構(gòu)造G0.4E矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2=MNARI2412=MQRhGAREIk 可見剪切變形和軸向變形可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不起的位移相比可以忽略不計。但對于深梁剪切變形計。但對于深梁剪切

25、變形引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略.2實踐荷載實踐荷載h101R如如2121RhsinPRMPcosPQPsinPNPsinRMsinN cosQdsGAQkQdsEANNdsEIMMPPP2022023cossindGAkPRdEAPREIPRGAkPREAPREIPR4443QNMPl/2l/2EIABx1x2例：求圖示等截面梁例：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。端轉(zhuǎn)角。m=1積分?？捎脠D形相乘來替代2MP 須分段寫須分段寫)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2

26、EIPl162解：解：1虛擬單位荷載虛擬單位荷載普通公式普通公式荷載位移公式荷載位移公式kkcRds)QNM(PPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGA 5 圖乘法圖乘法 1.圖乘法及其運用條件圖乘法及其運用條件 2.幾種常見圖形的面積和形心位置幾種常見圖形的面積和形心位置 3.運用圖乘法時的幾個詳細問題運用圖乘法時的幾個詳細問題 kidsEIMMkiCEIdxMMEI1yEIC1APEIydxEIMMCAxtgEI01ABAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直線kidxEIMM直桿MiMi=xtgyxMkdxxyCx0Ayc=x0tg為防止微分運算，以下引見一種計算方法為防

27、止微分運算，以下引見一種計算方法-圖乘法。以下圖為某圖乘法。以下圖為某直桿段直桿段 AB AB 的兩個彎矩圖，其中有一個圖形為直線的兩個彎矩圖，其中有一個圖形為直線, ,假設(shè)抗彎剛度假設(shè)抗彎剛度 EI EI 為常數(shù)，那么可進展以下計算：為常數(shù)，那么可進展以下計算： 面積面積A A與豎標(biāo)與豎標(biāo)yCyC在桿的同側(cè)，在桿的同側(cè)，AyCAyC取正號，否那么取負號。取正號，否那么取負號。注：注：當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處置方法：當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處置方法：a)a)曲桿或曲桿或EI=EIEI=EIx x時，只能用積分法求位移；時，只能用積分法求位移； 表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。表示對

28、各桿和各桿段分別圖乘再相加。 圖乘法的運用條件：圖乘法的運用條件：a aEI=EI=常數(shù)；等截面直桿；常數(shù)；等截面直桿； b b 兩個彎矩圖至少有一個是直線。兩個彎矩圖至少有一個是直線。 c c豎標(biāo)豎標(biāo)yCyC應(yīng)取自直線圖應(yīng)取自直線圖中，對應(yīng)另一圖形的形心處。中，對應(yīng)另一圖形的形心處。b)b)當(dāng)當(dāng)EIEI分段為常數(shù)或分段為常數(shù)或M M、MpMp均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。加。(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線二次拋物線A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線二次拋物線A=hl/3二次拋物線二次拋物線A=2hl/3

29、4l/5l/5hh三次拋物線三次拋物線A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線次拋物線A=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點2.2.幾種常見圖形的面積和形心位置確實定方法幾種常見圖形的面積和形心位置確實定方法 P175P175圖圖5-175-173.3.運用圖乘法時的幾個詳細問題運用圖乘法時的幾個詳細問題1.假設(shè)兩個圖形都是直線圖形假設(shè)兩個圖形都是直線圖形,那么標(biāo)距可任取自那么標(biāo)距可任取自其中一個圖形。其中一個圖形。3.3.如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形. .2,2,假設(shè)一個圖形為曲線，另一個圖形為折線，那假設(shè)一個圖形為

30、曲線，另一個圖形為折線，那么應(yīng)分段思索。么應(yīng)分段思索。(1) 曲曲-折組合折組合1 1223 3diKjjMMxAyA yA yA y1A2A3A1A2A3A單位荷載彎矩圖由假設(shè)干直線段組成時，單位荷載彎矩圖由假設(shè)干直線段組成時，就應(yīng)該分段圖乘。就應(yīng)該分段圖乘。(2) 梯梯-梯同側(cè)組合梯同側(cè)組合1A1 12 2diKMM xAyAy3)2(3)2(21dcydcy2A兩個梯形相乘時，不用找出梯形的形心，兩個梯形相乘時，不用找出梯形的形心，而將一個梯形分解為兩個三角形，然后而將一個梯形分解為兩個三角形，然后分別與另一梯形圖乘。分別與另一梯形圖乘。(3) 梯梯-梯異側(cè)組合梯異側(cè)組合1A1y2A2y

31、ABCDabcdKM圖圖M圖圖b c取取負負值值1 12 2diKMM xAyAy3)2(3)2(21dcydcy兩個圖形都呈直線變化，但均含有不兩個圖形都呈直線變化，但均含有不同符號的兩部分，圖乘時也將其中一同符號的兩部分，圖乘時也將其中一圖形分解為三角形。圖形分解為三角形。(4) 階梯形截面桿階梯形截面桿331 1221 12 23 3djjiKjjA yM MA yAyA yxEIEIE IE IE II I1 1I I2 2I I3 31A2A2A當(dāng)當(dāng)EIEI分段為常數(shù)時，應(yīng)分段圖乘再疊加分段為常數(shù)時，應(yīng)分段圖乘再疊加=+拋物線非規(guī)范圖形的分解拋物線非規(guī)范圖形的分解 MAMBqa2/8

32、MAMBdxqa2/8ABMAMBaqABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+(5)均布荷載作用區(qū)均布荷載作用區(qū)段的彎矩圖與直線段的彎矩圖與直線段圖乘。段圖乘。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4M3243122223 2222324aaPa aaaPaEIPaEI （）a/2a/2PaaaEI343211？結(jié)果中的正號表示的實踐方向與結(jié)果中的正號表示的實踐方向與P的方向一樣，即豎直向下。的方向一樣，即豎直向下。Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123PlEIC212EIPl4853Pl65l

33、lEIyC22210w5Pl/6？（）例例. 設(shè)設(shè) EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求 和和 。Cy B 2l2l解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖BAq281qlPM圖圖CABFP=1M圖圖4l)(38452)485()81232(142EIqllqllEICy 對嗎？對嗎？CABM圖圖121EIqlqllEIB3224121)8132(1 BAq281qlPM圖圖結(jié)果中的負號結(jié)果中的負號表示表示B 的實踐方的實踐方向與的方向向與的方向相反，即逆時針方相反，即逆時針方向。向。例例. 知知 EI 為常數(shù)，求剛架為常數(shù)，求剛架C、D兩點間隔兩點間隔的改動的改動 。CD 解：

34、作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖231238()12cC DA yqllhE IE IqhlE I hyc2A例例. 知知 EI 為常數(shù)，求剛架為常數(shù)，求剛架A點的豎向位點的豎向位移移 ，并繪出剛架的變形曲線。，并繪出剛架的變形曲線。Ay FP解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖在在 圖求面積，在圖求面積，在 圖取豎標(biāo)，有：圖取豎標(biāo)，有：MPMPP3P11322224()16cAyAyF lF lllllEIEIEIF lEI M圖圖EI2EIPM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPlFP繪制變形圖時，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判別桿件

35、的繪制變形圖時，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判別桿件的凹凸方向，留意反彎點的利用。如：凹凸方向，留意反彎點的利用。如：PM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例例. 知知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy ABCq2l2l解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖A12lM圖圖解法一：解法一：24111()3222()24CyqlllEIqlEI A22qlB結(jié)果正確否？結(jié)果正確否？?A22ql82qlBCPM圖圖A12lM圖圖解法二：解法二：)(1285)128364(1)2438323121282(144422EIqlqlqlEIlqlllqllEICy

36、A22ql82qlBC結(jié)果正確否？結(jié)果正確否？?解法三：解法三：A12lM圖圖A82ql22ql322ql)(38417)432232()68221()32221(14222EIqllqlllqlllqllEICy 22ql82ql結(jié)果正確否？結(jié)果正確否？解法四：解法四：A22ql82qlBCPM圖圖A12lM圖圖22411()324117()( )3288384CyqlllEIlqllqlEI 結(jié)果正確否？結(jié)果正確否？例：試求圖示伸臂梁例：試求圖示伸臂梁A A端的角位移端的角位移AA及及C C端的端的豎向位移豎向位移CVCV。解：做出解：做出MPMP圖和圖和 圖分圖分別如圖別如圖b b、c

37、c所示。所示。M425 10EIKN m 將圖將圖b b與圖與圖c c相乘那么得相乘那么得411148 615 1023A 49.6 10rad 結(jié)果中的負號表示結(jié)果中的負號表示A 的實踐方向與的實踐方向與的方向相反，即逆的方向相反，即逆時針方向。時針方向。332.88 100.6525 1033.5325 10 m33.5 103.5( )mmmBC段在均布荷載和集段在均布荷載和集中荷載作用下，其彎矩圖中荷載作用下，其彎矩圖不是規(guī)范的拋物線圖形。不是規(guī)范的拋物線圖形。求cv作 圖并相乘那么得M=+=+均布荷載按簡支梁進展疊加均布荷載按簡支梁進展疊加 。集中荷載、均布荷載分別做集中荷載、均布荷

38、載分別做彎矩圖，然后進展疊加彎矩圖，然后進展疊加 。例例. 知：知： E、I、A為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy ABCFP2l2laD解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖03PPPPd21211()2243422484lPPCyMMNN lsEIEAF lFF lF allaEIEAEIEAABCFP2laD4PlFPM2PNFFP2lABC12laD4lM21NF2l例例. 知知 CD、BD桿的桿的 和和AC桿的桿的 為常數(shù)，為常數(shù)，求求 。Dy 11AE22IEFPABCD11AE11AE22IEaaaPP112211232PPPP2211221(2)(2)2(1

39、22)412()()233cPDyAyNN lFaFaE AE IE AF aF aF aaF aaE IE AE I 2+11aFP+ FPP2FFP a解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖例例. 知知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy 解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖)(1284)832(3)821(83)2831(14222EIqlllqlllqlllqlEICy MPM分解分解6溫度作用時的位移計算溫度作用時的位移計算 一、關(guān)于溫度變化的假定一、關(guān)于溫度變化的假定第一，溫度沿桿件長度均勻分布；第一，溫度沿桿件長度均勻分布； 第二，溫度沿截面

40、高度直線變化。第二，溫度沿截面高度直線變化。 二、靜定構(gòu)造溫度變形的特征二、靜定構(gòu)造溫度變形的特征 靜定構(gòu)造當(dāng)溫度發(fā)生變化時，各桿件均能自在變形靜定構(gòu)造當(dāng)溫度發(fā)生變化時，各桿件均能自在變形但不產(chǎn)生內(nèi)力，同樣可采用單位荷載法。由于上但不產(chǎn)生內(nèi)力，同樣可采用單位荷載法。由于上述第一點假設(shè)，溫度沿桿長度均勻分布，桿件不能夠述第一點假設(shè)，溫度沿桿長度均勻分布，桿件不能夠出現(xiàn)剪切變形即微段出現(xiàn)剪切變形即微段d=0，同時留意到實踐形狀，同時留意到實踐形狀的支座位移為零。的支座位移為零。ddPPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGAMN u 因此，位移公式可進一步簡化為因此，位移公式可進一步簡化為 式中，

41、式中，dq 和和du為實踐溫度形狀下，因資料為實踐溫度形狀下，因資料熱脹冷縮所引起的各微段的彎曲變形和軸熱脹冷縮所引起的各微段的彎曲變形和軸向變形。只需能求出向變形。只需能求出dq 和和du的表達式，即的表達式，即可利用上式求得構(gòu)造的位移。可利用上式求得構(gòu)造的位移。三、關(guān)于三、關(guān)于du的計算表達式的計算表達式截取一微段截取一微段ds ,截截面變形之后仍堅持面變形之后仍堅持為平面。其上側(cè)、為平面。其上側(cè)、下側(cè)形心軸處纖維下側(cè)形心軸處纖維伸長分別為伸長分別為du1 = at1dsdu2 = at2dsdu = at0ds式中，式中，a為資料的溫為資料的溫度線膨脹系數(shù)。度線膨脹系數(shù)。圖示構(gòu)造，設(shè)外側(cè)

42、溫度升高圖示構(gòu)造，設(shè)外側(cè)溫度升高 ，內(nèi)側(cè)溫度升高，內(nèi)側(cè)溫度升高2t1t按幾何關(guān)系可得中性軸按幾何關(guān)系可得中性軸溫度的變化為溫度的變化為hththtthhtt211212110 )(當(dāng)截面對稱于形心軸，即當(dāng)截面對稱于形心軸，即 時，那時，那么么221hhh2210ttt于是，溫度變化引起的于是，溫度變化引起的微段軸向變形微段軸向變形studd0四、關(guān)于四、關(guān)于dq 的計算表達式的計算表達式2121ddd()dtst shttsh假設(shè)令上下邊緣溫差為假設(shè)令上下邊緣溫差為12tttt1t2dsduhh1h21ds1ds2ds2ds0ds0dsdq形心軸形心軸那么溫度引起的微段彎曲變形可表達為那么溫度

43、引起的微段彎曲變形可表達為hstdd 圖面積M00()ddddPPPKytMMNNkQQdsdsdsEIEAGAt sN tsMhM stN sth 對等對等 截截 面面 直直 桿桿0NMtt AAh 圖面積N將溫度引起的變形代入公式，可得將溫度引起的變形代入公式，可得五、靜定構(gòu)造由于溫度變化引起的位移計算公式五、靜定構(gòu)造由于溫度變化引起的位移計算公式式中的正、負號：式中的正、負號：溫度以升高為正，軸力以拉為正；溫度以升高為正，軸力以拉為正；假設(shè)假設(shè) 和和 使桿件的同一邊產(chǎn)生拉使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。伸變形，其乘積為正。 Mt 對梁和剛架：對梁和剛架：對對 桁桁 架：架：0NM

44、tt AAh 0t Nl 幾種情況：幾種情況：溫度引起的軸向溫度引起的軸向變形影響不能少。變形影響不能少。例：例： 剛架施工時溫度為剛架施工時溫度為20 ，試求冬季，試求冬季外側(cè)溫度為外側(cè)溫度為 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為，內(nèi)側(cè)溫度為 0 時時A點的豎向位移點的豎向位移 。知。知 l=4 m, ,各各桿均為矩形截面桿，高度桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 實踐形狀實踐形狀解：解：構(gòu)造構(gòu)造虛擬虛擬形狀形狀虛擬形狀虛擬形狀0120021( 1020)(020)25,2220( 30)10tttCtttC 單位荷載內(nèi)力圖為：單位荷載內(nèi)力圖為：M圖圖N圖圖022252510()

45、( 25)( 1)21515 1042525 1040.40.005()AyNMtt AAhlllhllhm 虛擬形狀虛擬形狀六、靜定構(gòu)造由于制造誤差引起的位移計算六、靜定構(gòu)造由于制造誤差引起的位移計算 對于桁架，在溫度變化時，其位移計算公式為對于桁架，在溫度變化時，其位移計算公式為0tNl當(dāng)桁架的桿件長度因制造誤差而與設(shè)計長度不符時，當(dāng)桁架的桿件長度因制造誤差而與設(shè)計長度不符時，由此引起的位移計算與溫度變化時相類似。設(shè)各桿長由此引起的位移計算與溫度變化時相類似。設(shè)各桿長度的誤差為度的誤差為Dl伸長為正，縮短為負，那么位移計伸長為正，縮短為負，那么位移計算公式為算公式為 N l21CC【例】如

46、下圖構(gòu)造桿【例】如下圖構(gòu)造桿DE由于制造誤差過長由于制造誤差過長Dl=2cm，試求鉸，試求鉸C左右兩側(cè)截面左右兩側(cè)截面C1、C2的相對轉(zhuǎn)角的相對轉(zhuǎn)角 。 解：解： 1210.02m0.012mC CDENl( )ABCDEFGABCDEFG21CCC1 C2D1E1F1G12m2m2m2m2m1112mDEN7 靜定構(gòu)造支座挪動時的位移計算靜定構(gòu)造支座挪動時的位移計算 1c2c3cKKKC實踐位移形狀實踐位移形狀虛擬力形狀虛擬力形狀1K1RF2RF3RF 靜定構(gòu)造當(dāng)支座發(fā)生位移時，并不產(chǎn)生內(nèi)力，也不產(chǎn)生靜定構(gòu)造當(dāng)支座發(fā)生位移時，并不產(chǎn)生內(nèi)力，也不產(chǎn)生微段變形，而只發(fā)生剛體位移。這時，平面桿系構(gòu)

47、造位移微段變形，而只發(fā)生剛體位移。這時，平面桿系構(gòu)造位移計算的普通公式計算的普通公式kkR c 式中，式中， 為虛擬形狀中由單位荷載引起的與支座位移相為虛擬形狀中由單位荷載引起的與支座位移相應(yīng)的支座反力，應(yīng)的支座反力，c為實踐形狀中與相應(yīng)的知的支座位移。為實踐形狀中與相應(yīng)的知的支座位移。為反力虛功總和，當(dāng)與為反力虛功總和，當(dāng)與c方向一致時，其乘積取正；相反方向一致時，其乘積取正；相反時，取負。須留意，式中時，取負。須留意，式中S前面的負號，系原來推導(dǎo)公式前面的負號，系原來推導(dǎo)公式時所得，不可漏掉。時所得，不可漏掉。 R()kkMNQdsR c 可簡化為可簡化為例例1：求：求?CxCBAFP=1

48、1AxF1CyF1AyF虛擬力形狀虛擬力形狀解：構(gòu)造虛設(shè)力形狀解：構(gòu)造虛設(shè)力形狀1c2c3c實踐位移形狀實踐位移形狀CBAll)()111 (321321CCCCCCCx解：構(gòu)造虛設(shè)力形狀解：構(gòu)造虛設(shè)力形狀11() 0.0075 rad2Ak kByBxRclh ( )RAyRAx例例 2：知：知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求求溫度溫度支座支座()kkMNQdsR c 多要素下的位移計算普通公式多要素下的位移計算普通公式0ddd PPPk kNMPCtNNkQQMMsssEAGAEItR ct AAh 例例 3：知：知Fp作用于作用于B

49、C中點，原室溫中點，原室溫0，后內(nèi)側(cè)增溫。，后內(nèi)側(cè)增溫。求求?Cx 1c2c3c實踐位移形狀實踐位移形狀CBAllFP=1C010解：構(gòu)造虛設(shè)力形狀解：構(gòu)造虛設(shè)力形狀03P123()10(1)16PCxkkNMMMtdsR ct AAEIhF llCCClEIh CBA1AxF1CyF1AyF虛擬力形狀虛擬力形狀FP=1同時思索荷載、溫度和支座位移的影響同時思索荷載、溫度和支座位移的影響剛體體系處于平衡的必要和充分條件是，對于符合約束條剛體體系處于平衡的必要和充分條件是，對于符合約束條件的恣意微小虛位移，剛體體系上一切外力所做的虛功總件的恣意微小虛位移，剛體體系上一切外力所做的虛功總和等于零和

50、等于零 。 8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 關(guān)于變形體虛功原理的表述關(guān)于變形體虛功原理的表述變形體系處于平衡的必要及充分條件是，對于符合約束條變形體系處于平衡的必要及充分條件是，對于符合約束條件的恣意微小虛位移，變形體系上一切外力在虛位移上所件的恣意微小虛位移，變形體系上一切外力在虛位移上所做虛功總和等于各微段上內(nèi)力在其變形虛位移上所做虛功做虛功總和等于各微段上內(nèi)力在其變形虛位移上所做虛功總和?；蛘吆唵蔚卣f，外力虛功等于變形虛功數(shù)量上等總和。或者簡單地說，外力虛功等于變形虛功數(shù)量上等于虛變形能。于虛變形能。WW外變微段總的虛功微段總的虛功 dW總總=dW剛剛+dW變變FPFR1FR2FR

51、3Mqdsdsdsdsdsdsds0000dddqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQAABCDA1B1C1D1C2D2力形狀力形狀位移形狀位移形狀對微段的虛位移那么區(qū)分為剛體虛位移和變形虛位移兩對微段的虛位移那么區(qū)分為剛體虛位移和變形虛位移兩類類 變形體虛功原理的的證明變形體虛功原理的的證明dW總總=dW剛剛+dW變變由剛體虛功原理，可知由剛體虛功原理，可知 dW剛剛=0于是，微段上總的虛功于是，微段上總的虛功 dW總總=dW變變 對于全構(gòu)造，有對于全構(gòu)造，有 變總WWdd因此，有因此，有 W總總=W變變 (b)由于微段上彎矩、軸力和剪力的增量由于微段上彎矩、軸力和剪力的增量dM、dF

52、N和和dFQ以及分布荷載以及分布荷載q在這些變形上所做虛功為高階微量而可在這些變形上所做虛功為高階微量而可略去，因此微段上各力在其變形上所做的虛功為略去，因此微段上各力在其變形上所做的虛功為 dWMdNdQdPdddF MNQ平衡力系平衡力系位移形狀位移形狀對于全構(gòu)造，有對于全構(gòu)造，有 關(guān)于原理的闡明關(guān)于原理的闡明1虛功方程既可以用來替代平衡方程，也可以用來替代幾何虛功方程既可以用來替代平衡方程，也可以用來替代幾何方程即協(xié)調(diào)方程。方程即協(xié)調(diào)方程。 2虛功方程是個虛功方程是個“兩用方程，詳細運用時可有兩種方式。兩用方程，詳細運用時可有兩種方式。鑒于力系與變形彼此是獨立無關(guān)的，因此，假設(shè)力系是給定

53、的，鑒于力系與變形彼此是獨立無關(guān)的，因此，假設(shè)力系是給定的，那么可虛設(shè)位移，稱為變形體系的虛位移方程，它代表力系的那么可虛設(shè)位移，稱為變形體系的虛位移方程，它代表力系的平衡方程，?？捎糜谇罅ο抵械哪澄粗Γ患僭O(shè)位移是實有的，平衡方程，?？捎糜谇罅ο抵械哪澄粗Γ患僭O(shè)位移是實有的，那么可虛設(shè)力系，稱為變形體系的虛力方程，它代表幾何協(xié)調(diào)那么可虛設(shè)力系，稱為變形體系的虛力方程，它代表幾何協(xié)調(diào)方程，?？捎糜趧?wù)虛際位移形狀中某個未知位移。本章即主要方程，?？捎糜趧?wù)虛際位移形狀中某個未知位移。本章即主要引見虛力方程及其運用。引見虛力方程及其運用。 3在推證時，沒有涉及到資料性質(zhì)。因此變形體系的虛功在推證時

54、，沒有涉及到資料性質(zhì)。因此變形體系的虛功方程是一個普遍方程，既適用于彈性問題，也適用于非彈方程是一個普遍方程，既適用于彈性問題，也適用于非彈性問題。性問題。 4變形體系的虛功原理同樣適用于剛體體系。由于剛體體變形體系的虛功原理同樣適用于剛體體系。由于剛體體系發(fā)生虛位移時，各微段不產(chǎn)生任何變形位移，故變形虛系發(fā)生虛位移時，各微段不產(chǎn)生任何變形位移，故變形虛功功W變變=0，于是，于是W=0 剛體體系的虛功原理只是變形體系虛功原理的一個特例。剛體體系的虛功原理只是變形體系虛功原理的一個特例。 8 8 互等定理互等定理 功的互等定理 位移互等定理 反力互等定理 本節(jié)討論的四個普遍定理本節(jié)討論的四個普遍

55、定理互等定理，是采用小變形和線互等定理，是采用小變形和線彈性的假定，并根據(jù)虛功原理導(dǎo)出的。其中，最根本的是虛彈性的假定，并根據(jù)虛功原理導(dǎo)出的。其中，最根本的是虛功互等定理亦簡稱功的互等定理；其它三個定理：位移功互等定理亦簡稱功的互等定理；其它三個定理：位移互等定理、反力互等定理、反力與位移互等定理，那么是運互等定理、反力互等定理、反力與位移互等定理，那么是運用虛功互等定理的三個特例。這些定理在以后有關(guān)章節(jié)的實用虛功互等定理的三個特例。這些定理在以后有關(guān)章節(jié)的實際推導(dǎo)和簡化計算中，都有重要作用。際推導(dǎo)和簡化計算中，都有重要作用。 一、功的互等定理一、功的互等定理(虛功互等定理虛功互等定理)表述表

56、述: 一個彈性構(gòu)造，第一形狀的外力在第二形狀的一個彈性構(gòu)造，第一形狀的外力在第二形狀的位移上所做的外力虛功位移上所做的外力虛功W12，等于第二形狀的外，等于第二形狀的外力在第一形狀的位移上所做的外力虛功力在第一形狀的位移上所做的外力虛功W21。即。即: 1221WW外虛功有兩個下標(biāo)，第一個表示受力形狀，第二個表示外虛功有兩個下標(biāo)，第一個表示受力形狀，第二個表示位移形狀位移形狀 。證明證明:設(shè)有兩組外力設(shè)有兩組外力FP1和和FP2分別作用于同一線彈性構(gòu)造上，如分別作用于同一線彈性構(gòu)造上，如下圖，分別稱為構(gòu)造的第一形狀和構(gòu)造的第二形狀。下圖，分別稱為構(gòu)造的第一形狀和構(gòu)造的第二形狀。第一形狀的力在第二形狀的位移上做虛功，那么根據(jù)虛功第一形狀的力在第二形狀的位移上做虛功，那么根據(jù)虛功方程方程W外外=W變，可得變，可得 222P112111dddMNQF MsNsQsEIEAGAa FP1FP2121221211122第一形狀第一形狀第二形狀第二形狀位移也有兩個下標(biāo)，第一個表示位移的位置，第二個表示引起位移的力形狀位移也有兩個下標(biāo)，第一個表示位移的位置，第二個表示引起位移的力形狀第二形狀的力在第一形狀的位移上做虛功，可得第二形狀的力在第一形狀的位移上做