圓錐曲線的性質(zhì)

1、2.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)設(shè)橢圓設(shè)橢圓 =1(ab0)=1(ab0)上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)P(x,y),P(x,y),則當(dāng)則當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí),|OP|,|OP|有最有最小值小值_,_,這時(shí)這時(shí),P,P在短軸端點(diǎn)處在短軸端點(diǎn)處; ;當(dāng)當(dāng)x=x=a a時(shí)時(shí),|OP|,|OP|有最大值有最大值_,_,這時(shí)這時(shí),P,P在在長軸端點(diǎn)處長軸端點(diǎn)處. .(2)(2)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形, ,其中其中a a是斜邊長是斜邊長,a,a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .(3)(3)已知過焦

2、點(diǎn)已知過焦點(diǎn)F F1 1的弦的弦AB,AB,則則ABFABF2 2的周長為的周長為_._.(4)(4)若若P P為橢圓上任一點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn),F,F為其焦點(diǎn)為其焦點(diǎn), ,則則a-c|PF|a+c.a-c|PF|a+c.2222xyabb ba a4a4a二、橢圓二、橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax1、范圍：、范圍：, 122 ax得：得：122 by -axa, -byb 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab2.(20142.(2014福州模擬福州模擬) )若點(diǎn)若點(diǎn)O O和點(diǎn)和點(diǎn)F F分別為橢圓分別為橢圓 的中心的中心

3、和左焦點(diǎn)，點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 的最大值為的最大值為 ( ) ( )A.2 B.3 C.6 D.8A.2 B.3 C.6 D.822xy143OP FP 【解析】【解析】選選C.C.由橢圓方程得由橢圓方程得F(-1,0)F(-1,0)，設(shè)，設(shè)P(xP(x0 0，y y0 0) )，則則 =(x=(x0 0，y y0 0)(x)(x0 0+1+1，y y0 0)=x)=x0 02 2+x+x0 0+y+y0 02 2. .因?yàn)橐驗(yàn)镻 P為橢圓上一點(diǎn)，所以為橢圓上一點(diǎn)，所以所以所以= =因?yàn)橐驗(yàn)?2x-2x0 022，所以所以 的最大值在的最大值在x x

4、0 0=2=2時(shí)取得，且最大值等于時(shí)取得，且最大值等于6.6.OP FP 2200 xy1.4322000 xOPFP xx3(1)4 22000 x1x3x22.44 OP FP 4、橢圓的離心率橢圓的離心率ace 離心率：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就就越小，橢圓就越扁越扁因?yàn)橐驗(yàn)?a c 0，所以，所以0ebabceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,

5、0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前2.2.求橢圓離心率的方法求橢圓離心率的方法(1)(1)直接求出直接求出a a，c c的值，利用離心率公式直接求解的值，利用離心率公式直接求解. .(2)(2)列出含有列出含有a a，b b，c c的齊次方程的齊次方程( (或不等式或不等式) )，借助于，借助于b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b b，轉(zhuǎn)化為含有，轉(zhuǎn)化為含有e e的方程的方程( (或不等式或不等式) )求解求解. .提醒提醒: :當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為 (m(m0,n0,n0,0,mn)mn)

6、，也可設(shè)為，也可設(shè)為AxAx2 2+By+By2 2=1(A=1(A0,B0,B0,0,且且AB).AB).22xy1mn【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】如圖如圖, ,橢圓橢圓C: (ab0)C: (ab0)的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為F F1 1, ,上頂點(diǎn)上頂點(diǎn)為為B B2 2, ,右頂點(diǎn)為右頂點(diǎn)為A A2 2, ,過點(diǎn)過點(diǎn)A A2 2作作x x軸的垂線交直線軸的垂線交直線F F1 1B B2 2于點(diǎn)于點(diǎn)P,P,若若|PA|PA2 2|=3b,|=3b,則則橢圓橢圓C C的離心率為的離心率為. .2222xy1ab【解析】【解析】由題意知由題意知答案答案: :21212BOFObc11,e.PAFA3ba

7、 c32，所以所以125、離心率、離心率雙曲線的叫做的比雙曲線的焦距與實(shí)軸長,ace 離心率。ca0e 1e是表示雙曲線開口大小的一個(gè)量,e越大開口越大（1）定義：）定義：（2）e e的范圍的范圍：（3）e e的含義：的含義：也增大增大且時(shí)，當(dāng)abeabe,), 0(), 1 (的夾角增大增大時(shí)，漸近線與實(shí)軸e22222221ababaace6 6已知焦點(diǎn)在已知焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線的漸近線方程是軸上的雙曲線的漸近線方程是y y4x4x，則該，則該雙曲線的離心率為雙曲線的離心率為_【解析】【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在因?yàn)榻裹c(diǎn)在x x軸上的雙曲線的漸近線方程是軸上的雙曲線的漸近線方程是y y4x4x，所

8、以所以b b4a4a，c c2 217a17a2 2，答案：答案：e17.172.(20142.(2014長春模擬長春模擬) )過雙曲線過雙曲線 的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn)F(F(c,0)(cc,0)(c0)0)作圓作圓 的切線，切點(diǎn)為的切線，切點(diǎn)為E E，延長，延長FEFE交交雙曲線右支于點(diǎn)雙曲線右支于點(diǎn)P P，若，若 則雙曲線的離心率為則雙曲線的離心率為( )( )2222xy1(a 0 b 0)ab ， 222axy4 OF OP 2OE ，1010A. 2 B. C. D. 1052【解析】【解析】選選C.C.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為A A，則，則 故故 即即|OE|OE| |AP|

9、.|AP|.所以所以E E是是PFPF的中點(diǎn)，所的中點(diǎn)，所以以|AP|AP|2|OE|2|OE| 所以所以|PF|PF|3a.3a.在在RtRtAPFAPF中，中，a a2 2(3a)(3a)2 2(2c)(2c)2 2，即，即10a10a2 24c4c2 2，所以，所以 即離心率為即離心率為 選選C.C.OFOA ，OF OP OP OA AP 2OE ，12a2a.2 25e2 ，5e 2102，【易錯(cuò)誤區(qū)【易錯(cuò)誤區(qū)2020】求雙曲線離心率的易錯(cuò)點(diǎn)求雙曲線離心率的易錯(cuò)點(diǎn)【典例】【典例】(2014(2014天津模擬天津模擬) )已知雙曲線已知雙曲線的一條漸近線方程為的一條漸近線方程為 則該雙

10、曲線的離心率為則該雙曲線的離心率為_. . 22xy1(mn 0)mn 4yx3，【類題試解】【類題試解】雙曲線的兩條漸近線的夾角為雙曲線的兩條漸近線的夾角為6060，則雙曲線的，則雙曲線的離心率為離心率為_._.【解析】【解析】漸近線斜率是漸近線斜率是 而夾角是而夾角是6060. .因?yàn)閮芍本€關(guān)于因?yàn)閮芍本€關(guān)于x x軸對稱，所以和軸對稱，所以和x x軸夾角是軸夾角是3030或或6060. .即即 或或 若若 若若 b b2 2=3a=3a2 2，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=4a=4a2 2，e e2 2=4=4，e=2.e=2.答案：答案：2 2或或ba ，b3tan 30a3

11、，btan 603a，222222b3a3bcab4ba3，222c42 3ee.a33，b3a，2 33【解析】【解析】答案：答案：【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】【規(guī)避策略】【規(guī)避策略】小小 結(jié)結(jié)xyoax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中關(guān)于關(guān)于坐標(biāo)坐標(biāo)軸和軸和原點(diǎn)原點(diǎn)都對都對稱稱性性質(zhì)質(zhì)雙曲線雙曲線) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范圍范圍對稱對稱 性性 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 漸近漸近 線線離心離心 率率圖象圖象 xyo2 2(2014(2014煙臺模擬煙臺模擬) )已知雙曲線已知雙曲線 的左頂點(diǎn)為的左頂點(diǎn)為A

12、 A1 1，右，右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為F F2 2，P P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則為雙曲線右支上一點(diǎn)，則 的最小值為的最小值為( )( )A A2 B2 B C C1 D1 D0 022yx13 12PA PF 8116【解析】【解析】選選A.A.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(xP(x，y)y)，其中，其中x1.x1.依題意得依題意得A A1 1( (1,0)1,0)，F(xiàn) F2 2(2,0)(2,0)，則有，則有 y y2 23(x3(x2 21)1)， ( (1 1x x，y)(2y)(2x x，y)y)(x(x1)(x1)(x2)2)y y2 2x x2 23(x3(x2 21)1)x x2 24x4x2 2x x5

13、 5 其中其中x1.x1.因此，當(dāng)因此，當(dāng)x x1 1時(shí)，時(shí)， 取得最小值取得最小值2 2，選，選A.A.22yx13 ，12PA PF 21814(x)816 ，12PA PF 2.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)雙曲線為等軸雙曲線雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率雙曲線的離心率e=_e=_雙曲線的兩條漸雙曲線的兩條漸近線互相近線互相_._.(2)(2)漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置的關(guān)系漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置的關(guān)系: :當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x x軸上時(shí)軸上時(shí), ,漸近漸近線斜率為線斜率為 , ,當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y y軸上時(shí)軸上時(shí), ,漸近線斜率為漸近線斜率為

14、 . .(3)(3)漸近線與離心率：漸近線與離心率： =1(a0,b0)=1(a0,b0)的一條漸近線的斜率為的一條漸近線的斜率為 =_.=_.(4)(4)若若P P為雙曲線上一點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn),F,F為其對應(yīng)焦點(diǎn)為其對應(yīng)焦點(diǎn), ,則則|PF|_c-a.|PF|_c-a.2垂直垂直baab2222xyabba2e1例題例題1:求雙曲線求雙曲線14416922xy的實(shí)半軸長的實(shí)半軸長,虛半軸長虛半軸長,焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo),離心率離心率,漸近線方程。漸近線方程。漸近線方程有兩種形式漸近線方程有兩種形式,xy34:故所求漸近線方程為說明說明:求漸近線方程最簡捷的辦法求漸近線方程最簡捷的辦法是令常數(shù)項(xiàng)為

15、零再分解因式是令常數(shù)項(xiàng)為零再分解因式解解:0)43)(43 (016922xyxyyx得令5 5(2014(2014天津模擬天津模擬) )雙曲線雙曲線 的漸近線方程為的漸近線方程為_._.【解析】【解析】因?yàn)殡p曲線方程為：因?yàn)殡p曲線方程為： 所以其漸近線方程所以其漸近線方程為：為： 即即4x+3y=04x+3y=0或或4x-3y=0.4x-3y=0.答案：答案：4x+3y=04x+3y=0或或4x-3y=04x-3y=022xy191622xy1,9164yx,3雙曲線的方程的設(shè)法雙曲線的方程的設(shè)法(1)(1)當(dāng)已知雙曲線的焦點(diǎn)不明確而又無法確定時(shí)，其方程可設(shè)當(dāng)已知雙曲線的焦點(diǎn)不明確而又無法確

16、定時(shí)，其方程可設(shè)為為AxAx2 2+By+By2 2=1(AB=1(AB0),0),這種形式在解題時(shí)更簡便這種形式在解題時(shí)更簡便. .(2)(2)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程bxbxay=0,ay=0,求雙曲線方程時(shí)，可求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為b b2 2x x2 2-a-a2 2y y2 2=(0).=(0).(3)(3)與雙曲線與雙曲線 有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為2222xy1ab2222xy0 .ab 【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2014(2014寶雞模擬寶雞模擬) )雙曲線雙曲線mxmx2 2y y2 21

17、1的虛軸長是的虛軸長是實(shí)軸長的實(shí)軸長的2 2倍，則倍，則m m等于等于( )( )【解析】【解析】選選A.A.雙曲線方程雙曲線方程mxmx2 2y y2 21 1化為標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式 則有則有a a2 21 1，b b2 2所以所以2a2a2,2b2,2b所以所以2 22 2 所以所以11A B4 C 4 D.4422xy11m，1.m12m ，12m ，1m.4【通關(guān)題組】【通關(guān)題組】1.(20141.(2014遵義模擬遵義模擬) )與曲線與曲線 共焦點(diǎn)，且與曲線共焦點(diǎn)，且與曲線 共漸近線的雙曲線方程為共漸近線的雙曲線方程為( )( )22xy1244922xy1366422222222

18、yxxyA.1 B.1169169yxxyC.1 D.1916916【解析】【解析】選選A.A.因?yàn)橐驗(yàn)?的焦點(diǎn)坐標(biāo)為的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0(0，5),5),又雙曲線與曲線又雙曲線與曲線 共漸近線，共漸近線，所以設(shè)雙曲線方程為所以設(shè)雙曲線方程為且有且有64+36=564+36=52 2，所以，所以 即所求雙曲線方程為即所求雙曲線方程為22xy1244922xy1366422yx0 ,64 36 1,422yx1.1692.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)設(shè)ABAB是過拋物線是過拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦

19、點(diǎn)焦點(diǎn)F F的弦的弦, ,若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則則(1)x(1)x1 1x x2 2=_,y=_,y1 1y y2 2=_.=_.(2)(2)弦長弦長|AB|=_= (|AB|=_= (為弦為弦ABAB的傾斜角的傾斜角).).(3)(3)以弦以弦ABAB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. .(4)(4)通徑通徑: :過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦, ,長等于長等于2p.2p.2p4-p-p2 2x x1 1+x+x2 2+p+p22psin (2014(2014天津模擬天津模擬) )設(shè)拋物線設(shè)拋物線x x2

20、2=4y=4y的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F F，經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P(1,4)P(1,4)的直線的直線l與拋物線相交于與拋物線相交于A A，B B兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P P為線段為線段ABAB的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則 的值為的值為_._.|AF| |BF| 【解析】【解析】如圖，設(shè)如圖，設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2),),則則=|AA=|AA1 1|+|BB|+|BB1 1| |=y=y1 1+1+y+1+y2 2+1+1=y=y1 1+y+y2 2+2=8+2=10.+2=8+2=10.答案：答案：1010|AF| |BF| 2.(20142.(2014濰坊模擬濰坊模

21、擬) )已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y y軸，軸，拋物線上一點(diǎn)拋物線上一點(diǎn)Q(-3Q(-3，m)m)到焦點(diǎn)的距離是到焦點(diǎn)的距離是5 5，則拋物線的方程為，則拋物線的方程為_._.【解析】【解析】設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為x x2 2=ay(a0)=ay(a0)，則準(zhǔn)線為，則準(zhǔn)線為因?yàn)橐驗(yàn)镼(-3,m)Q(-3,m)在拋物線上，所以在拋物線上，所以9=am.9=am.而點(diǎn)而點(diǎn)Q Q到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)Q Q到準(zhǔn)線的距離，到準(zhǔn)線的距離，所以所以 將將 代入，得代入，得 解得解得,a=,a=2 2，或或a=a=1818，所以所求拋物線的方程為所以

22、所求拋物線的方程為x x2 2= =2y2y，或，或x x2 2= =18y.18y.答案：答案：x x2 2= =2y2y或或x x2 2= =18y18yay.4a|m ()| 5.4 9ma9a| 5a4 ，【通關(guān)題組】【通關(guān)題組】1.(20141.(2014杭州模擬杭州模擬) )如圖所示，過拋物線如圖所示，過拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F F的直線的直線l交拋物線于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)A A，B B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C C，若，若|BC|=2|BF|BC|=2|BF|，|AF|=3|AF|=3，則此拋物線的方程為，則此拋物線的方程為( )( )A.

23、 B.yA. B.y2 2=9x=9xC. D.yC. D.y2 2=3x=3x23yx229yx2【解析】【解析】選選D.D.如圖所示，分別過點(diǎn)如圖所示，分別過點(diǎn)A A，B B作作AAAA1 1，BBBB1 1與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為A A1 1,B,B1 1，由已知條件，由已知條件|BC|=2|BF|BC|=2|BF|，得，得|BC|=2|BB|BC|=2|BB1 1| |，所以，所以BCBBCB1 1=30=30，于，于是可得直線是可得直線ABAB的傾斜角為的傾斜角為6060. .方法一：又由方法一：又由|AF|=3|AF|=3得得|AF|=|AA|AF|=|AA1 1|=3= |=3= 于是可得于是可得|CF|=|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3|AC|-|AF|=6-3=3，所以，所以|BF|= =1|BF|= =1，所以，所以|AB|=4.|AB|=4.直線直線ABAB的方程為的方程為 代入代入y y2 2=2px=2px得得 因?yàn)橐驗(yàn)閨AB|=|AF|+|BF|=|AA|AB|=|AF|+|BF|=|AA1 1|+|BB|+|BB1 1|=|= 所以所以 即得拋物線方程為即得拋物線方程為y y2