工學(xué)復(fù)變函數(shù)PPT課件

1、1一、復(fù)數(shù)的概念1. 虛數(shù)單位:.,稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i.1 :2在實(shí)數(shù)集中無解在實(shí)數(shù)集中無解方程方程實(shí)例實(shí)例 x對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定: :; 1)1(2 i.)2(四則運(yùn)算四則運(yùn)算樣的法則進(jìn)行樣的法則進(jìn)行可以與實(shí)數(shù)在一起按同可以與實(shí)數(shù)在一起按同i第1頁/共140頁2虛數(shù)單位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii則則是正整數(shù)是正整數(shù)一般地，如果一般地，如果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 第2頁/共140頁

2、32.復(fù)數(shù):. , 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)或或我們稱我們稱對(duì)于任意兩實(shí)數(shù)對(duì)于任意兩實(shí)數(shù)iyxzyixzyx , , 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別稱為分別稱為其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 記作記作 ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 第3頁/共140頁4 兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等. 復(fù)數(shù) z 等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說明說明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小, 也就是說, 復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小.

3、第4頁/共140頁5二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)1. 兩復(fù)數(shù)的和:).()(212121yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 兩復(fù)數(shù)的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 第5頁/共140頁64. 共軛復(fù)數(shù): 實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). . , zz 共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與. , iyxziyxz 則則若若例例1 1.的積的積與與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixyix 解解

4、)(yixyix 22)(yix .22yx .,的積是一個(gè)實(shí)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)zz結(jié)論：第6頁/共140頁75. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略.第7頁/共140頁8例例2 解解,131 iiiz 設(shè)設(shè).)Im(),Re(zzzz 與與求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 第8頁/共14

5、0頁9例例3 解解.)2(;125)1( iii 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) ,125)1(iyxi ,2)(12522xyiyxi 122, 522xyyx, 2, 3 yx ).23(125ii 第9頁/共140頁10,)2(yixi ,2121 ii,2121 ii. 2 ii 12, 022xyyx,21 yx第10頁/共140頁11三、小結(jié)與思考 本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算. 重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算, 它是本節(jié)課的重點(diǎn).第11頁/共140頁12思考題思考題復(fù)數(shù)為什么不能比較大小？第12頁/共140頁13思考題答案思考題答案 0, 和和觀察復(fù)數(shù)觀察復(fù)數(shù) i , 0 i由復(fù)數(shù)的定義可知由復(fù)數(shù)的定義

6、可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 則則 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 則則 . , 01 矛盾矛盾同樣有同樣有 由此可見, 在復(fù)數(shù)中無法定義大小關(guān)系無法定義大小關(guān)系.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .第13頁/共140頁第二節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考第14頁/共140頁15一、復(fù)平面1. 復(fù)平面的定義. . , , , . ),( 面面面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來表示復(fù)數(shù)的平這種用來表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來表示復(fù)數(shù)用來表示復(fù)數(shù)的平面可以的平面可以一個(gè)建

7、立了直角坐標(biāo)系一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系因此因此對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對(duì)與有序?qū)崝?shù)對(duì)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 第15頁/共140頁162. 復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值) , 的?；蚪^對(duì)值的模或絕對(duì)值向量的長(zhǎng)度稱為向量的長(zhǎng)度稱為 z , 表示表示可以用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz . 22yxrz 記為記為xyxyoiyxz Pr顯然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 第16頁/共140頁173. 復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 zzOP

8、zz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在說明說明,0有無窮多個(gè)輻角有無窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 1是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角如果如果 ).( 2Arg1為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z輻角不確定.第17頁/共140頁18輻角主值的定義:.arg , Arg , )0( 000zzz 記作記作的主值的主值稱為稱為的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中輻角的主值輻

9、角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,第18頁/共140頁194. 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致加減法運(yùn)算一致. .第19頁/共140頁205. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì);)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之間的距離之間的距離和和表示點(diǎn)表示點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閦zzz 1z2z21zz xyo1z2z. 實(shí)軸對(duì)稱的實(shí)軸對(duì)稱的復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于復(fù)平面內(nèi)的位置是

10、關(guān)于在在和和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)zzxyoiyxz iyxz 第20頁/共140頁21利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式,sincos iei 復(fù)數(shù)可以表示成 irez 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式6.6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示第21頁/共140頁22例例1 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第

11、三象限因?yàn)橐驗(yàn)?z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式為,65sin65cos4 iz第22頁/共140頁23指數(shù)表示式為.465iez 5cos5sin)2( iz, 1 zr顯然顯然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式為,103sin103cos iz指數(shù)表示式為.103iez 第23頁/共140頁24.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz ,5sin5cos 5 iei 因?yàn)橐驗(yàn)?3sin()3(cos3sin3cos ii,3 ie 32)3sin3(cos)5sin5(cos ii所以所

12、以3325)()(iiee ,19 ie 故三角表示式為,19sin19cos iz 指數(shù)表示式為.19 iez 第24頁/共140頁25例例5 5. , :133221232221321zzzzzzzzzzzz 點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)的充要條件是成為等邊三角形頂成為等邊三角形頂三個(gè)復(fù)數(shù)三個(gè)復(fù)數(shù)證明證明證證 :321件為件為是等邊三角形的充要條是等邊三角形的充要條zzz , 3 3 31121zzzzz即得向量即得向量或或旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞向量向量 1z2z3z,)( 31213iezzzz 即即,2321 1213izzzz 或或第25頁/共140頁26,2321 1213izzzz 兩邊平方, 并化簡(jiǎn)

13、得.133221232221zzzzzzzzz 下面例子表明, 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.第26頁/共140頁27例例6 6. 222111表示表示線用復(fù)數(shù)形式的方程來線用復(fù)數(shù)形式的方程來的直的直與與將通過兩點(diǎn)將通過兩點(diǎn)iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的直線的方程的直線的方程與與通過兩點(diǎn)通過兩點(diǎn)yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t參數(shù)參數(shù)所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為)(121zztzz ),( t參數(shù)參數(shù)第27頁/共140頁28 ,21的直線段的參數(shù)方程為的直

14、線段的參數(shù)方程為到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為得線段得線段zz.221zzz 第28頁/共140頁29例例7 7.1,1 . , , ) , 10( 2212221002121kzzkkzkzzzzzzkkzzzz 且且半徑為半徑為其圓心為其圓心為平面上的一個(gè)圓周平面上的一個(gè)圓周表示表示證明方程證明方程證證 , 0 zz圓周圓周 , 0代入代入和和將將 z 22211)(kzzkzz2211kzzk ,)(21221zzkzzkzz 第29頁/共140頁30 , 2zz 兩邊同除以兩邊同除以,121221 zzzzkkzzzz

15、, 21zzzzw 令令,12 wkkw兩邊同時(shí)平方,12222 wkkw, 22kw 于是于是,kw . 21kzzzz 故故第30頁/共140頁31例例8 8求下列方程所表示的曲線:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡為為距離距離表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn)方程方程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓方程圓方程第31頁/共140頁3222)2( ziz.22距離相等的點(diǎn)的軌跡距離相等的點(diǎn)的軌跡和和表示所有與點(diǎn)表示所有與

16、點(diǎn) i. 22段的垂直平分線段的垂直平分線的線的線和和連接點(diǎn)連接點(diǎn)故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡(jiǎn)后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲線方程為所求曲線方程為第32頁/共140頁33二、復(fù)球面1. 南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原取一個(gè)與復(fù)平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過 . , 為南極為南極為北極為北極我們

17、稱我們稱SNxyPNOS第33頁/共140頁34 球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作. 因而球面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示. 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義第34頁/共140頁353. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, , 或

18、簡(jiǎn)稱復(fù)平面. .對(duì)于復(fù)數(shù)來說, 實(shí)部,虛部,輻角等概念均無意義, 它的模規(guī)定為正無窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來.第35頁/共140頁36 : 的四則運(yùn)算規(guī)定如下的四則運(yùn)算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 減法減法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法第36頁/共140頁37三、小結(jié)與思考 學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的各種表示法. 并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面. 注意注意：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大這個(gè)復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng), 所謂無窮大是指模為正無窮大（

19、輻角無意義）的唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的無窮大或正、負(fù)無窮大混為一談第37頁/共140頁38思考題思考題是否任意復(fù)數(shù)都有輻角?第38頁/共140頁39思考題答案思考題答案否否. . , 0 的情況特殊的情況特殊唯有唯有 z它的模為零而輻角不確定.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .第39頁/共140頁第三節(jié) 復(fù)數(shù)的乘冪與方根一、乘積與商二、冪與根三、小結(jié)與思考第40頁/共140頁41一、乘積與商定理一定理一 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積乘積; 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和和.的三角形式分別為的三角形

20、式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,sin(cos1111） irz ,sin(cos2222） irz )sin(cos)sin(cos22211121 irirzz 則則)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121 irr證證第41頁/共140頁42)sin()cos(21212121 irrzz兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, , 輻角相加輻角相加. . , 2倍倍再把它的模擴(kuò)大到再把它的模擴(kuò)大到 r從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為 , ,21zz , 21 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角旋轉(zhuǎn)一個(gè)角按逆時(shí)針方向按逆時(shí)針方向先把先把 z . 21zzz 就表

21、示積就表示積所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z.ArgArg)(Arg2121zzzz 證畢第42頁/共140頁43說明說明由于輻角的多值性, 2121ArgArg)(Argzzzz 兩端都是無窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集.對(duì)于左端的任一值, 右端必有值與它相對(duì)應(yīng).例如，, 1 21izz 設(shè)設(shè), 21izz 則則), 2, 1, 0(,2Arg1 nnz), 2, 1, 0(,22Arg2 mmz), 2, 1, 0(,22)Arg(21 kkzz. 1,22)(223 nmkknm只須只須故故, 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或則則第43頁/共140頁44的

22、指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,111 ierz .)(212121 ierrzz則則,222 ierz 由此可將結(jié)論推廣到 n 個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:nzzz 21), 2 , 1(,)sin(cos nkerirzkikkkkk 設(shè)設(shè))sin()cos(212121nnnirrr .)(2121ninerrr 第44頁/共140頁45定理二定理二 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差差.證證按照商的定義, , 0 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,1122zzzz ,11

23、22zzzz ,ArgArgArg1122zzzz , 1212zzzz 于是于是.ArgArgArg1212zzzz 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz則則,222 ierz 證畢第45頁/共140頁46例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因?yàn)橐驗(yàn)?6sin6cos2 iz 63sin63cos 21izz所以所以, i 63sin63cos 21izz.2123i . 2121zzzz和和求求 第46頁/共140頁47例例2 2解解. ,2 1 21求它

24、的另一個(gè)頂點(diǎn)求它的另一個(gè)頂點(diǎn)和和點(diǎn)為點(diǎn)為已知正三角形的兩個(gè)頂已知正三角形的兩個(gè)頂izz ). ( ,)3(3 33112zzzzz 或或它的終點(diǎn)即為所求頂點(diǎn)它的終點(diǎn)即為所求頂點(diǎn)到另一個(gè)向量到另一個(gè)向量就得就得或或旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞的向量的向量將表示將表示如圖所示, oxy11 ziz 223z3z 3 ,3 1, 3 轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為的模為的模為因?yàn)閺?fù)數(shù)因?yàn)閺?fù)數(shù)ie第47頁/共140頁48)(12313zzezzi oxy11 ziz 223z3z 3 )1(2321ii i 23212321,231233 3iz 所以所以.231233 3iz 第48頁/共140頁49二、冪與根1. n次冪:, ,

25、nznzzn記作記作次冪次冪的的的乘積稱為的乘積稱為個(gè)相同復(fù)數(shù)個(gè)相同復(fù)數(shù). 個(gè)個(gè)nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有對(duì)于任何正整數(shù)對(duì)于任何正整數(shù). , ,1 上式仍成立上式仍成立為負(fù)整數(shù)時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)那么當(dāng)那么當(dāng)如果我們定義如果我們定義nzznn 第49頁/共140頁50,sincos , 1 izrz 即即的模的模當(dāng)當(dāng).sincos)sin(cos ninin 棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛介紹棣莫佛介紹 . , . 3為已知復(fù)數(shù)為已知復(fù)數(shù)其中其中的根的根方程方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk推導(dǎo)過程如下:2.2.棣

26、莫佛公式棣莫佛公式第50頁/共140頁51),sin(cos irz 設(shè)設(shè)),sin(cos iw 根據(jù)棣莫佛公式, )sin(cos ninwnn ),sin(cos ir , rn 于是于是,coscos n,sinsin n ,2 kn 顯然顯然), 2, 1, 0( k,2, 1nkrn 故故 nkinkrzwnn2sin2cos1 第51頁/共140頁52 , 1, 2 , 1 , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nk :個(gè)相異的根個(gè)相異的根得到得到 n,sincos10 ninrwn ,2sin2cos11 ninrwn ,.)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn 當(dāng)k以其他整數(shù)值代入

27、時(shí), 這些根又重復(fù)出現(xiàn). 第52頁/共140頁53 , 時(shí)時(shí)例如例如nk nninnrwnn2sin2cos1 ninrn sincos1.0w 從幾何上看, , 個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心的的nzn . 1個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)邊形的邊形的為半徑的圓的內(nèi)接正為半徑的圓的內(nèi)接正nnrn第53頁/共140頁54例例3 3解解.)1()1( nnii 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) ii212121 4sin4cos2i ii212121 4sin4cos2i第54頁/共140頁55 nnii)1()1(nni 4sin4cos)2(nni 4sin4cos)2( 4sin4cos4sin4cos)2(ninnin

28、n.4cos222 nn第55頁/共140頁56例例4 4 . 1 3的值的值計(jì)算計(jì)算i 解解 ii212121 4sin4cos2i31i 324sin324cos26kik).2 , 1 , 0( k第56頁/共140頁57,12sin12cos260 iw,127sin127cos261 iw.45sin45cos262 iw即第57頁/共140頁58例例5 5 . 1 4的值的值計(jì)算計(jì)算i 解解 4sin4cos21ii 424sin424cos2184kiki).3 , 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即,169sin169cos281 iw第58頁/共14

29、0頁59,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的的心在原點(diǎn)半徑為心在原點(diǎn)半徑為這四個(gè)根是內(nèi)接于中這四個(gè)根是內(nèi)接于中oxy1w2w3w0w第59頁/共140頁60例例6 6解解.)1()1( 55zz 解方程解方程 , 1 z直接驗(yàn)證可知方程的根直接驗(yàn)證可知方程的根故原方程可寫成, 1115 zz ,11 zzw 令令 , 1 5 w則則. 4 , 3 , 2 , 1 , 0,52 kewik , 1 0 w故故,521iew ,542iew ,563iew .584iew 第60頁/共140頁611

30、1 wwz因?yàn)橐驗(yàn)?1 iiee1sincos1sincos ii 2sin2cos2cos22cos2sin2sin2 ii,2tan i 故原方程的根為, 00 z,5tan1 iz,52tan2 iz,53tan3 iz.54tan4 iz第61頁/共140頁62例例7 7. 34 : ,)31( , 111 nnnnnnnnyxyxiiyxn求證求證且且為自然數(shù)為自然數(shù)若若證證nnniiyx)31( nni 3sin3cos2 3sin3cos2ninn利用復(fù)數(shù)相等可知:,3cos2 nxnn,3sin2 nynn第62頁/共140頁63 11nnnnyxyx3)1(sin23cos2

31、3sin23)1(cos211 nnnnnnnn 3)1(3sin212nnn23212 n. 341 n等式得證.第63頁/共140頁64三、小結(jié)與思考 應(yīng)熟練掌握復(fù)數(shù)乘積與商的運(yùn)算. 在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便: 棣莫佛( (de Moivre)公式)(212121 ierrzz)(121212 ierrzz nininsincos)sin(cos 放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .第64頁/共140頁第四節(jié) 區(qū) 域一、區(qū)域的概念二、單連通域與多連通域三、典型例題四、小結(jié)與思考第65頁/共140頁66一、區(qū)域的概念1. 鄰域:. : )( , 000的鄰域的鄰

32、域內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz 說明說明. , 0 , 點(diǎn)的鄰域點(diǎn)的鄰域稱為無窮遠(yuǎn)稱為無窮遠(yuǎn)其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù)所有點(diǎn)的集合所有點(diǎn)的集合的的且滿足且滿足包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi) MMz第66頁/共140頁672.去心鄰域:. 0 00的去心鄰域的去心鄰域集合為集合為所確定的點(diǎn)的所確定的點(diǎn)的稱由不等式稱由不等式zzz 說明說明. . , , zMMz可以表示為可以表示為域域稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合僅滿足僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在第67

33、頁/共140頁683.內(nèi)點(diǎn):. , , . , 000的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域存在存在如果如果中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn)為為為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集設(shè)設(shè)GzGzGzG4.開集: 如果如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末那末G 稱稱為開集為開集. .第68頁/共140頁695.區(qū)域: 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, ,則稱則稱它為一個(gè)區(qū)域它為一個(gè)區(qū)域. .(1) D是一個(gè)是一個(gè)開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于完全屬

34、于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.6.邊界點(diǎn)、邊界: 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, ,如果點(diǎn)如果點(diǎn) P P 不不屬于屬于D, 但在但在 P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的中的點(diǎn)點(diǎn),這樣的這樣的 P P 點(diǎn)我們稱為點(diǎn)我們稱為D的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn).第69頁/共140頁70D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成D的的邊界邊界. .說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的. (2) 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C第70頁/共140頁71以上基本概念的圖示1z 2z 區(qū)域 0z 鄰域P 邊界點(diǎn)

35、邊界7.有界區(qū)域和無界區(qū)域:. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點(diǎn)都滿足點(diǎn)都滿足使區(qū)域的每一個(gè)使區(qū)域的每一個(gè)即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點(diǎn)點(diǎn)可以被包含在一個(gè)以原可以被包含在一個(gè)以原如果一個(gè)區(qū)域如果一個(gè)區(qū)域DMzMD 第71頁/共140頁72(1) 圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面:; 0Im z(3) 角形域:;arg0 z(4) 帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界; (2) (3) (4)無界.xyo第72頁/共140頁73二、單連通域與多連通域1. 連續(xù)曲線:. , )

36、( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線表一條平面曲線表一條平面曲線代代那末方程組那末方程組是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲線的復(fù)數(shù)表示:)().()()(btatiytxtzz 第73頁/共140頁742. 光滑曲線:.0, )( )( , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的每一個(gè)值的每一個(gè)值且對(duì)于且對(duì)于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. .x

37、yoxyo第74頁/共140頁753. 簡(jiǎn)單曲線:. )( )( , )()( :的起點(diǎn)和終點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重點(diǎn)的重點(diǎn)稱為曲線稱為曲線點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)而有而有當(dāng)當(dāng)與與的的對(duì)于滿足對(duì)于滿足Ctztztzttttbtabta 沒有重點(diǎn)的曲線沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡(jiǎn)單曲線稱為簡(jiǎn)單曲線( (或若或若爾當(dāng)曲線爾當(dāng)曲線).).第75頁/共140頁76. , )( )( , 為簡(jiǎn)單閉曲線為簡(jiǎn)單閉曲線那末稱那末稱即即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡(jiǎn)單曲線如果簡(jiǎn)單曲線CbzazC 換句

38、話說, 簡(jiǎn)單曲線自身不相交簡(jiǎn)單曲線自身不相交. 簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.xyo內(nèi)部外部邊界第76頁/共140頁774. 單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B, 如果在其中任作如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱就稱為單連通域?yàn)閱芜B通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱就稱為多連通域?yàn)槎噙B通域.單連通域多連通域第77頁/共140頁第五節(jié) 復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義二、映射的概念三、典型例題四、小結(jié)與思考第78頁/共140頁79一

39、、復(fù)變函數(shù)的定義).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 記作記作復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱的函數(shù)的函數(shù)是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng)與與就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)中的中的對(duì)于集合對(duì)于集合按這個(gè)法則按這個(gè)法則個(gè)確定的法則存在個(gè)確定的法則存在如果有一如果有一的集合的集合是一個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)1.復(fù)變函數(shù)的定義:第79頁/共140頁802.單(多)值函數(shù)的定義:. )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)那末那末的值的值的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我們稱函

40、數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值兩個(gè)以上兩個(gè)以上的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或如果如果zfwz3.定義集合和函數(shù)值集合: ; )( )( 定義域定義域的定義集合的定義集合稱為稱為集合集合zfG. , * 稱為函數(shù)值集合稱為函數(shù)值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于GwzG第80頁/共140頁814. 復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系: )( 相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式之間的關(guān)系之間的關(guān)系自變量自變量與與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)和和它們確定了自變量為它們確定了自變量為yx例如, , , 2zw

41、 函數(shù)函數(shù), ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 則則,222xyiyx : 2數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函于是函數(shù)于是函數(shù)zw ,22yxu .2xyv 第81頁/共140頁82二、映射的概念1. 引入:. , , , , 的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系上上必須看成是兩個(gè)復(fù)平面必須看成是兩個(gè)復(fù)平面的幾何圖形表示出來的幾何圖形表示出來因而無法用同一平面內(nèi)因而無法用同一平面內(nèi)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和和由于它反映了兩對(duì)變量由于它反映了兩對(duì)變量對(duì)于復(fù)變函數(shù)對(duì)于復(fù)變函數(shù)yxvu第82頁/共140頁832.映射的定義:).()( * )( )( , , 或變換或變

42、換的映射的映射函數(shù)值集合函數(shù)值集合平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集變到變到定義集合定義集合平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集是把是把在幾何上就可以看作在幾何上就可以看作那末函數(shù)那末函數(shù)值值的的平面上的點(diǎn)表示函數(shù)平面上的點(diǎn)表示函數(shù)而用另一個(gè)平面而用另一個(gè)平面的值的值平面上的點(diǎn)表示自變量平面上的點(diǎn)表示自變量如果用如果用GwGzzfwwwzz 第83頁/共140頁84. ),( , * )( 的原象的原象稱為稱為而而映象映象的象的象稱為稱為那末那末中的點(diǎn)中的點(diǎn)映射成映射成被映射被映射中的點(diǎn)中的點(diǎn)如果如果wzzwwGzfwzG . )( 所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由這個(gè)映射通常簡(jiǎn)

43、稱為由zfw 第84頁/共140頁85 . )1(構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC 3. 兩個(gè)特殊的映射:. ibawwibazz 的點(diǎn)的點(diǎn)平面上平面上映射成映射成平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)將將第85頁/共140頁86xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . , 映射映射是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對(duì)稱是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對(duì)稱不難看出不難看出重疊在一起重疊在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z

44、 2z 且是全同圖形.第86頁/共140頁87 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw . 1 ,43, 1 1,21, 321321 wiwwwzizizz平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)映射成映射成平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)顯然將顯然將xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z第87頁/共140頁88 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw 根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知, . 2的輻角增大一倍的輻角增大一倍將將映射映射zzw xyouvo 2 . 2 的角形域的角形域平面上與實(shí)軸交角為平面上與實(shí)軸交角為的角形域映射成的角形域映射成平面上與實(shí)軸交角為平面上與實(shí)軸交角為將將 wz第88頁/共140頁89

45、 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw : 2數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函函數(shù)函數(shù)zw .2,22xyvyxu ,2, 2122cxycyxxyz 曲線曲線標(biāo)軸為漸近線的等軸雙標(biāo)軸為漸近線的等軸雙和坐和坐線線平面上的兩族分別以直平面上的兩族分別以直它把它把(如下頁圖)., 21cvcuw 平面上的兩族平行直線平面上的兩族平行直線分別映射成分別映射成第89頁/共140頁90 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw 將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長(zhǎng)方形.xyoxyo第90頁/共140頁91 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw : 的象的參數(shù)方程為

46、的象的參數(shù)方程為直線直線 x ) (.2,22為參數(shù)為參數(shù)yyvyu : 得得消去參數(shù)消去參數(shù) y),(4222uv 以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口向左的拋物線.(圖中紅色曲線) : 的象為的象為同理直線同理直線 y),(4222uv 以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口向右的拋物線.(圖中藍(lán)色曲線)第91頁/共140頁924. 反函數(shù)的定義: .)( * , * , )( 點(diǎn)點(diǎn)或幾個(gè)或幾個(gè)中的一個(gè)中的一個(gè)必將對(duì)應(yīng)著必將對(duì)應(yīng)著每一個(gè)點(diǎn)每一個(gè)點(diǎn)中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為平面上的集合平面上的集合的定義集合為的定義集合為設(shè)設(shè)GwGGwGzzfw . )( , )( , )( )( * 的逆映

47、射的逆映射為映射為映射也稱也稱的反函數(shù)的反函數(shù)它稱為函數(shù)它稱為函數(shù)函數(shù)函數(shù)或多值或多值上就確定了一個(gè)單值上就確定了一個(gè)單值于是在于是在zfwzfwwzG 第92頁/共140頁93根據(jù)反函數(shù)的定義,*,Gw ),(wfw 當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí), .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的合合與集與集也可稱集合也可稱集合是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的射射映映那末稱函數(shù)那末稱函數(shù)都是單值的都是單值的逆映射逆映射與它的反函數(shù)與它的反函數(shù)映射映射如果函數(shù)如果函數(shù)GGzfwwzzfw 今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.第93頁/共140頁94四、小結(jié)與思考 復(fù)變函數(shù)以及

48、映射的概念是本章的一個(gè)重點(diǎn).注意：注意：復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的定義完全一樣,只要將后者定義中的“實(shí)數(shù)”換為“復(fù)數(shù)”就行了.第94頁/共140頁95思考題思考題“函數(shù)”、“映射”、“變換”等名詞有無區(qū)別？第95頁/共140頁96思考題答案思考題答案 在復(fù)變函數(shù)中, 對(duì)“函數(shù)”、“映射”、“變換”等名詞的使用, 沒有本質(zhì)上的區(qū)別沒有本質(zhì)上的區(qū)別. 只是函數(shù)一般是就數(shù)的對(duì)應(yīng)而言, 而映射與變換一般是就點(diǎn)的對(duì)應(yīng)而言的.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .第96頁/共140頁第六節(jié) 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性三、小結(jié)與思考第97頁/共140頁98一、函數(shù)的極限1

49、.函數(shù)極限的定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時(shí)的極限時(shí)的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)為為那末稱那末稱有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中zz 第98頁/共140頁992. 極限計(jì)算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 0000000

50、00000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設(shè)設(shè)證證 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根據(jù)極限的定義 , )()(0 00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性.第99頁/共140頁100 , )()(0 2020時(shí)時(shí)或當(dāng)或當(dāng) yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時(shí)時(shí)那么當(dāng)那么當(dāng) yy

51、xx(2) 充分性.,2 ,2 00 vvuu有有第100頁/共140頁101 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以證畢說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變的極限問題的極限問題該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 第101頁/共140頁102定理二定理二).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfAB

52、zgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末設(shè)設(shè)與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.第102頁/共140頁103例例1 1證證 (一一). 0 )Re()( 不存在不存在時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 則則, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 第103頁/共140頁104)1(lim220kxxx ,112k , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所

53、以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根據(jù)定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz證證 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 則則,cos 第104頁/共140頁105 , arg 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿不同的射線沿不同的射線當(dāng)當(dāng) zz .)(趨于不同的值趨于不同的值z(mì)f , 0arg 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿正實(shí)軸沿正實(shí)軸例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿沿 z, 0)(zf . )(lim 0不存在不存在故故zfz第105頁/共140頁106二、函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)的定義: . )( , )( . )( ),()(lim 0

54、00內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在我們說我們說內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果處連續(xù)處連續(xù)在在那末我們就說那末我們就說如果如果DzfDzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù)第106頁/共140頁107定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處yx

55、yxu , ),(22在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)yxyxv . ),( 處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處故故yxf第107頁/共140頁108定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 第108頁/共140頁109特殊的:,)(2210nnzazazaazPw (1)

56、有理整函數(shù)(多項(xiàng)式) ; 都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn)對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn) z(2) 有理分式函數(shù),)()(zQzPw , )( )( 都是多項(xiàng)式都是多項(xiàng)式和和其中其中zQzP在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.第109頁/共140頁110例例3 3. )( , )( :00也連續(xù)也連續(xù)在在那末那末連續(xù)連續(xù)在在如果如果證明證明zzfzzf證證 ),(),()( yxivyxuzf 設(shè)設(shè) ),(),()( yxivyxuzf 則則 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00處都連續(xù)處都連續(xù)在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00處連續(xù)處連續(xù)

57、也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0連續(xù)連續(xù)在在故故zzf第110頁/共140頁111三、小結(jié)與思考 通過本課的學(xué)習(xí), 熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì). 注意注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同, 但在實(shí)質(zhì)上有很大的差異, 它較之后者的要求苛刻得多.第111頁/共140頁112思考題思考題?)( , )( 00有無關(guān)系有無關(guān)系徑徑選取的路選取的路所采取的方式所采取的方式趨于趨于此極限值與此極限值與時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在當(dāng)當(dāng)設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)zzzzzf第112頁/共140頁113思考題答案思考題答案沒有關(guān)系沒有關(guān)系. , 0zz以任何方

58、式趨于以任何方式趨于極限值都是相同的.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .第113頁/共140頁114第二章 解析函數(shù)2.1 解析函數(shù)的概念;),(Dzzfw函數(shù)1 1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義：Dzzz00,zwz0lim極限zzfzzfz)()(lim000存在, 則就說f (z)在 z0可導(dǎo), 此極限值就稱為f (z)在 z0 的導(dǎo)數(shù)，記作00().zzdwfzdz或應(yīng)該注意：上述定義中 的方式是任意的。0z 第114頁/共140頁115容易證明：可導(dǎo) 可微 ；可導(dǎo) 連續(xù)。如果 f (z) 在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo), 就說 f (z) 在內(nèi)可導(dǎo).例1 求 f (z) = z2 的導(dǎo)數(shù)

59、。解 因?yàn)?( )( )limzf zzf zz220( )limzzzzz0lim(2 )2 .zzzz所以f (z) = 2z .復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有與實(shí)函數(shù)同樣的求導(dǎo)法則 。（即f (z) = z2 在復(fù)平面處處可導(dǎo)。）第115頁/共140頁116例2 問 f (z) = x +2yi 是否可導(dǎo)?解 這里0()( )limzf zzf zz 0()2()2limzxxyy ixyixyi 02limzxyixyi 0,zx 取002limlim1.zzxyixxyix 0,zi y 取0022limlim2.zzxyiyxyiy 所以 f (z) = x + 2yi 的導(dǎo)數(shù)不存在.（即 f

60、 (z) = x + 2yi 在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo).）第116頁/共140頁117例3 討論2)(zzfw的可導(dǎo)性。zzfzzfzw)()(解：zzzz22zzzzzzz)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw所以2)(zzfw在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。第117頁/共140頁1182. 解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)解析在該點(diǎn)可導(dǎo)。 反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：解析可導(dǎo).例如 f (z) = z2 在整個(gè)復(fù)平面上解析；2)(zzfw僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個(gè)復(fù)平面上不解析。定義解析：在0)(zzf0(