高考文科數(shù)學(xué)遼寧卷word解析版

1、2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(遼寧卷)第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1(2013遼寧，文1)已知集合A0,1,2,3,4，Bx|x|2，則AB()A0 B0,1C0,2 D0,1,2答案：B解析：|x|2，x(2,2)，即Bx|2x2AB0,1，故選B.2(2013遼寧，文2)復(fù)數(shù)的模為()A B C D2答案：B解析：，|z|，故選B.3(2013遼寧，文3)已知點A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A BC D答案：A解析：與向量同方向的單位向量為，故選A.4(2013遼寧，文

2、4)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列其中的真命題為()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4答案：D解析：如數(shù)列2，1,0,1,2，則1×a12×a2，排除p2，如數(shù)列1,2,3，則1，排除p3，故選D.5(2013遼寧，文5)某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A45 B50 C55 D60答案：B解析：根

3、據(jù)頻率分布直方圖，低于60分的人所占頻率為：(0.0050.01)×200.3，故該班的學(xué)生數(shù)為50，故選B.6(2013遼寧，文6)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asin Bcos Ccsin Bcos A，且ab，則B()A B C D答案：A解析：根據(jù)正弦定理asin Bcos Ccsin Bcos A等價于sin Acos Csin Ccos A，即sin(AC).又ab，所以AC，所以.故選A.7(2013遼寧，文7)已知函數(shù)f(x)，則()A1 B0 C1 D2答案：D解析：f(x)，f(x)，f(x)f(x)ln 1112，又lg 2，2，故選D.

4、8(2013遼寧，文8)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n8，則輸出S()A B C D答案：A解析：當n8時，輸出的，故選A.9(2013遼寧，文9)已知點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB為直角三角形，則必有()Aba3BCD答案：C解析：若OBA為直角，則，即a2(a3b)·a30，又a0，故；若OAB為直角時，即b(a3b)0，得ba3；若AOB為直角，則不可能所以ba30或ba30，故選C.10(2013遼寧，文10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A BC D答案：C解析：過C

5、，B分別作AB，AC的平行線交于點D，過C1，B1分別作A1B1，A1C1的平行線交于D1，連接DD1，則ABCDA1B1C1D1恰為該球的內(nèi)接長方體，故該球的半徑r，故選C.11(2013遼寧，文11)已知橢圓C：(ab0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，則C的離心率為()A B C D答案：B解析：如圖所示，根據(jù)余弦定理，|AF|2|BF|2|AB|22|BF|AB|cosABF，即|AF|6，又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cosABF，即|OF|5.又根據(jù)橢圓的對稱性，|AF|BF|2a14，a7

6、，|OF|5c，所以離心率為，故選B.12(2013遼寧，文12)已知函數(shù)f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.設(shè)H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的較大值，minp，q表示p，q中的較小值)記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則AB()Aa22a16 Ba22a16C16 D16答案：C解析：f(x)g(x)2x24ax2a282x(a2)x(a2)，可求得H1(x)的最小值A(chǔ)f(a2)4a4，H2(x)的最大值Bg(a2)4a12，AB16.故選C.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題

7、第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13(2013遼寧，文13)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_答案：1616解析：由幾何體的三視圖可得該幾何體是一個底面半徑為2的圓柱體，中間挖去一個底面棱長為2的正四棱柱，故體積為·22·42×2×41616.14(2013遼寧，文14)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項和若a1，a3是方程x25x40的兩個根，則S6_.答案：63解析：x25x40的兩根為1和4，又數(shù)列遞增，所以a11，a34，q2.所

8、以S663.15(2013遼寧，文15)已知F為雙曲線C：的左焦點，P，Q為C上的點若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為_答案：44解析：如圖所示，設(shè)雙曲線右焦點為F1，則F1與A重合，坐標為(5,0)，則|PF|PF1|2a，|QF|QF1|2a，所以|PF|QF|PQ|4a4b4a28，PQF周長為284b44.16(2013遼寧，文16)為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_答案：10解析：設(shè)5個班級的人數(shù)分別為

9、x1，x2，x3，x4，x5，則，4，即5個整數(shù)平方和為20，最大的數(shù)比7大不能超過3，否則方差超過4，故最大值為10，最小值為4.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17(2013遼寧，文17)(本小題滿分12分)設(shè)向量a(，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)a·b，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x.所以.(2)f(x)a·b·cos xsin2x.當時，取最大值1.所以

10、f(x)的最大值為.18(2013遼寧，文18)(本小題滿分12分)如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(1)求證：BC平面PAC；(2)設(shè)Q為PA的中點，G為AOC的重心，求證：QG平面PBC.證明：(1)由AB是圓O的直徑，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)連OG并延長交AC于M，連接QM，QO，由G為AOC的重心，得M為AC中點由Q為PA中點，得QMPC.又O為AB中點，得OMBC.因為QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面P

11、BC，所以平面QMO平面PBC.因為QG平面QMO，所以QG平面PBC.19(2013遼寧，文19)(本小題滿分12分)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答試求：(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2)所取的2道題不是同一類題的概率解：(1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題，基本事件為：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，

12、2,3，2,4，3,4，共6個，所以P(A).(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8個，所以P(B).20(2013遼寧，文20)(本小題滿分12分)如圖，拋物線C1：x24y，C2：x22py(p0)點M(x0，y0)在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B(M為原點O時，A，B重合于O)當x0時，切線MA的斜率為.(1)求p的值；(2)當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(A，B重合于O時，中點為O)解：(1)因為拋物線C1：x24y上任意一點(x，y)的切線斜率為，

13、且切線MA的斜率為，所以A點坐標為，故切線MA的方程為.因為點M(，y0)在切線MA及拋物線C2上，于是，.由得p2.(2)設(shè)N(x，y)，A，B，x1x2，由N為線段AB中點知，.切線MA，MB的方程為，由得MA，MB的交點M(x0，y0)的坐標為，.因為點M(x0，y0)在C2上，即4y0，所以.由得，x0.當x1x2時，A，B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足.因此AB中點N的軌跡方程為.21(2013遼寧，文21)(本小題滿分12分)(1)證明：當x0,1時，sin xx；(2)若不等式axx22(x2)cos x4對x0,1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(1)證明：記F(x)，則F(

14、x).當時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在上是增函數(shù)；當時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在上是減函數(shù)又F(0)0，F(xiàn)(1)0，所以當x0,1時，F(xiàn)(x)0，即sin x.記H(x)sin xx，則當x(0,1)時，H(x)cos x10，所以，H(x)在0,1上是減函數(shù)，則H(x)H(0)0，即sin xx.綜上，sin xx，x0,1(2)解法一：因為當x0,1時，axx22(x2)cos x4(a2)xx2(a2)xx2(a2)x.所以，當a2時，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1恒成立下面證明，當a2時，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1不恒成立因為當x0,1時，axx22(x2

15、)cos x4(a2)xx2(a2)xx2(a2)xx2(a2)x.所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的較小值)滿足2(x02)cos x040，即當a2時，不等式axx22(x2)cos x40對x0,1不恒成立綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，2解法二：記f(x)axx22(x2)cos x4，則f(x)a2x2cos x2(x2)sin x.記G(x)f(x)，則G(x)23x4sin x2(x2)cos x.當x(0,1)時，cos x，因此G(x)23x4·x(x2).于是f(x)在0,1上是減函數(shù)，因此，當x(0,1)時，f(x)f(0)a2，故當a2時，f(x)0，從而f

16、(x)在0,1上是減函數(shù)，所以f(x)f(0)0，即當a2時，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1恒成立下面證明，當a2時，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1不恒成立由于f(x)在0,1上是減函數(shù)，且f(0)a20，f(1)a2cos 16sin 1.當a6sin 12cos 1時，f(1)0，所以當x(0,1)時，f(x)0，因此f(x)在0,1上是增函數(shù)，故f(1)f(0)0；當2a6sin 12cos 1時，f(1)0，又f(0)0，故存在x0(0,1)使f(x0)0，則當0xx0時，f(x)f(x0)0.所以f(x)在0，x0上是增函數(shù)，所以當x(0，x0)時，f

17、(x)f(0)0.所以，當a2時，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1不恒成立綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，2請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑。22(2013遼寧，文22)(本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖，AB為O直徑，直線CD與O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD·BC.證明：(1)由直線CD與O相切，得CEBEAB.由AB為O的直徑，得AEEB，從而EABEBF；又EF

18、AB，得FEBEBF，從而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，F(xiàn)EBCEB，BE是公共邊，得RtBCERtBFE，所以BCBF.類似可證：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AF·BF，所以EF2AD·BC.23(2013遼寧，文23)(本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為4sin ，.(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值解：(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為，.注：極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標方程為xy20.由參數(shù)方程可得.所以解得a1，b2.24(2013遼寧，文