第六講空間桿系分析

1、1第六講第六講 空間桿系結(jié)構(gòu)有限元分析空間桿系結(jié)構(gòu)有限元分析 桿系結(jié)構(gòu)定義：桿系結(jié)構(gòu)定義： 由桿件組成的空間結(jié)構(gòu)稱(chēng)桿系結(jié)構(gòu)。 桿件指細(xì)長(zhǎng)的構(gòu)件，構(gòu)件的幾何特征是一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)方向的尺寸。 桿系結(jié)構(gòu)根據(jù)桿件兩端與其它構(gòu)件連接方式的不同，可以分為桁架和剛架。桁架(桿)由兩端鉸接的桿件構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu)。剛架(梁)亦稱(chēng)為框架，指由兩端固接的桿件構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu)。26-1 空間桁架結(jié)構(gòu)有限元分析（桁架單元）空間桁架結(jié)構(gòu)有限元分析（桁架單元）eiueivejuejvejweiweiqejqijYxXZ xu 由于兩端鉸接，不能承受力矩，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)自由度，在整體參考系有： jjjiiiewv

2、uwvu 為方便研究，在單元上取一個(gè)局部參考系，以 為原點(diǎn)，由 點(diǎn)指向 點(diǎn)為 軸的正向。iijx在局部參考系中有： ejeieqqq一、桁架單元?jiǎng)偠染仃囈?、桁架單元?jiǎng)偠染仃?ijx xu在單元中假定：bxaxu)( 利用節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件可以解出 和 ，代回原式有： eejeieeqNqqLxLxxu 1ab其中單元長(zhǎng)度為：222ijijijeZZYYXXLeeeeqLxLxxqNxxxu1)(ejeiejeieeqqBqqLL1,1eiqejq4 dxBDBAdvBDBkeeLTeTve11111,111eeeeeeeeeeLEALLLLELA其中 為單元截面積， 為單元材料楊氏模量。e

3、AeE 需要指出，以上單元?jiǎng)偠仁腔诰植繀⒖枷档玫降?，由于不同的單元，其局部參考系的方位各不相同。因而，局部參考系中的單元?jié)點(diǎn)位移向量的方向也各不相同，局部參考系中的剛度矩陣不具有可累加性。 這就要求我們將局部參考系下的單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q到整體參考系中。5二、坐標(biāo)變換矩陣二、坐標(biāo)變換矩陣局部參考系與整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量的變換關(guān)系為：ewejeiejeieieieiwnvmulqwnvmulq寫(xiě)成矩陣形式為：jjjiiuejeiwvuwvunmlnmlqq000000簡(jiǎn)記為： eeq其中：eijLXXleijLYYmeijLZZn6單元彈性應(yīng)變能在整體參考系中的表達(dá)式為： eeTeeK21

4、單元彈性應(yīng)變能在局部參考系中的表達(dá)式為： eeTeeqkq21 eeq將： 代入上式有： eeTTeeeTeekqkq2121將該式與整體參考系中的單元彈性應(yīng)變能對(duì)比可知： eTekK7三、等效單元體力載荷向量三、等效單元體力載荷向量桁架單元的等效體力載荷向量可以簡(jiǎn)單地表示為： ),(),(),(10001000110001000121cccbzcccbycccbxeeebZYXFZYXFZYXFLAPcccZYX,其中： 為單元形心坐標(biāo) ，可以由下式給出： jicXXX21jicYYY21jicZZZ218四、單元應(yīng)力計(jì)算四、單元應(yīng)力計(jì)算 eeeeeBEqBEE96-2 平面剛架（框架）結(jié)構(gòu)

5、有限元分析平面剛架（框架）結(jié)構(gòu)有限元分析一、平面剛架單元受力分析與變形分解一、平面剛架單元受力分析與變形分解XYjiyxeiueieivejejvejueq1eq3eq2eq5eq4eq6 該單元可以承受 和 方向的力以及繞 軸方向的力矩。XYZ 在整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量為： ejejejeieieievuvu 為方便研究，在單元上取一個(gè)局部參考系，以 為原點(diǎn)，由 點(diǎn)指向 點(diǎn)為 軸的正象。iijx10yxeq1eq3eq2eq5eq4eq6)(xv)(xu 在局部參考系中單元所受載荷可以分解為：1）軸向拉壓，主要引起單元的軸向變形。2）橫向載荷及繞平面法向的彎矩，主要引起單元的彎曲。 為

6、研究方便，我們?cè)谧鰟偧芙Y(jié)構(gòu)有限元分析時(shí)，也將單元變形分解為軸向變形與彎曲變形兩部分，分別進(jìn)行研究。 在小變形條件下，可以認(rèn)為單元的軸向變形與彎曲變形是相互獨(dú)立的并符合迭加原理迭加原理。因此，我們可以分別計(jì)算兩種基本變形的剛度，在進(jìn)行迭加。 剛架結(jié)構(gòu)的有限元分析在研究彎曲變形時(shí)采用了材料力學(xué)梁的基本假定，因此，有時(shí)也將剛架單元稱(chēng)為梁?jiǎn)卧?11）單元軸向變形剛度矩陣）單元軸向變形剛度矩陣yxeiqejq)(xu 與軸向變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有 和 ，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移為：eiqejqexejeeeqNqqLxLxxu11)(與軸向變形對(duì)應(yīng)的剛度矩陣為： 1111eeee

7、xLEAkeiqeiqejqejqji二、平面剛架單元兩種基本變形的的剛度矩陣二、平面剛架單元兩種基本變形的的剛度矩陣122）單元彎曲變形剛度）單元彎曲變形剛度yxeieivejvej)(xv 與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有 、 、 和 。eiv假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：中性層上的362543)(xxxxv根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：6 , 5 , 4 , 3,ii解出 ， 代回?fù)隙群瘮?shù)經(jīng)整理可得：在 點(diǎn)：eivv)0(jiji撓度的導(dǎo)數(shù)eixxv00 x在 點(diǎn)：ejevLv)(ejLxexveLx 小變性、中心平面、eiejvej13撓度函數(shù)為：其中：?jiǎn)卧行詫油馊我?/p>

8、點(diǎn)沿局部參考系 方向得位移可以表示為：x與假定坐標(biāo)方向相隔轉(zhuǎn)角方向xxvyyxu)(),(yx),(yx),(yxuxy exyNxv)( 4321NNNNN 223432332223233231/32/2/32LLxxxNLLxxxNLxLLxxxNLLLxxxN ejejeieiexyvv14 xyxxBxxvyxu22單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系 方向得應(yīng)變可以表示為：x ByLxLLxxLLxLyB26612466123 222232046266126122646612612LLLLLLLLLLLLLEIDEDdAydxBBEdVBDBkxxALTTVexye彈性矩陣在這里其中：在局

9、部參考系中單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员硎緸槠渲校篸AyIAzz2繞 軸截面彎曲慣性矩yejejve3eiveive3ejvej15將軸向變形與彎曲變形的剛度迭加，可以得到平面剛架單元的剛度矩陣。 LEILEILEILEILEILEILEILEILEALEALEILEILEILEILEILEILEILEILEALEAkzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzze460260612061200000260460612061200000222323222323eiueieivejuejvejeiueieivejuejvej166-3 空間剛架（框架）結(jié)構(gòu)有限元分析空間剛架（框架）結(jié)構(gòu)有限

10、元分析XYjiZeQ1eQ3eQ2eQ6eQ5eQ4eQ7eQ8eQ9eQ10eQ11eQ12一、空間剛架單元受力分析與變形分解一、空間剛架單元受力分析與變形分解 該單元可以承受三個(gè)方向的力以及繞三個(gè)軸的力矩。 在整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：eeeeeQQQQQ12321 為方便研究，在單元上取一個(gè)局部參考系，以 為原點(diǎn)，由 點(diǎn)指向 點(diǎn)為 軸。以截面的兩個(gè)慣性主軸分別為局部參考系的 軸和 軸。iijxyz17xyjizeq7eq9eq8eq12eq11eq10eq1eq2eq3eq4eq5eq61) 在軸向載荷的作用下，將產(chǎn)生軸向拉壓變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為： eeexqqq712)

11、 在繞軸向載荷（扭矩）的作用下，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為： eeetqqq1043) 在 向載荷及繞軸 力矩的作用下，將產(chǎn)生 平面內(nèi)的彎曲變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：zxy eeeeexyqqqqq12862y4) 在 向載荷及繞軸 力矩的作用下，將產(chǎn)生 平面內(nèi)的彎曲變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：yxzz eeeeexzqqqqq1195318二、空間剛架單元四種基本變形的剛度矩陣二、空間剛架單元四種基本變形的剛度矩陣1）單元軸向變形剛度矩陣）單元軸向變形剛度矩陣yxeq1eq7)(xu 與軸向變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有 和 ，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移為

12、：eq1eq7 exeeeeqNqqLxLxxu711)(與軸向變形對(duì)應(yīng)的剛度矩陣為： 1111eeeexLEAKeq1eq1eq7eq7ji192）繞單元軸向扭轉(zhuǎn)變形剛度矩陣）繞單元軸向扭轉(zhuǎn)變形剛度矩陣yxeq4eq10)(x 與扭轉(zhuǎn)變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有 和 ，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)角為：eq4eq10 eteeeeqNqqLxLxx1041)(ji在單元中假定：bxax)(在 點(diǎn)：eq4)0(ji0 x在 點(diǎn)：eeqL10)(eLx 解出 和 代回插值函數(shù)有：ab eeeexqqLrLrdxdr104 eeLrLrB對(duì)于圓形截面有：其幾何矩陣為：20與軸向變形對(duì)應(yīng)

13、的剛度矩陣為： eq4eq4eq10eq10 xxG GD dArdxLLLLGdVBDBkALeeeeTVete201111 1111eetLGJk根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以得到則扭轉(zhuǎn)變形剛度矩陣為：dArJA2令：圓形截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩。說(shuō)明：說(shuō)明： 對(duì)于非圓截面前面的應(yīng)變位移關(guān)系及扭轉(zhuǎn)慣性矩算式 不成立，但剛度矩陣是普遍適用的，只是扭轉(zhuǎn)慣性矩需要用其它方法獲得，如：近似公式計(jì)算、實(shí)驗(yàn)等。213）單元）單元 平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣yxeq6eq2eq8eq12)(xv 與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有 、 、 和 。eq6eq2eq8eq12假定在橫向載荷和彎矩作用下單元內(nèi)單元

14、內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：362543)(xxxxv根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：6 , 5 , 4 , 3,ii解出 ， 代回?fù)隙群瘮?shù)經(jīng)整理可得：在 點(diǎn)：eqv2)0(jijiexqxv600 x在 點(diǎn)：eeqLv8)(eLxqxve12eLx xy22撓度函數(shù)為：其中：?jiǎn)卧行詫油馊我恻c(diǎn)沿局部參考系 方向得位移可以表示為：xxxvyyxuxy)(),(yx),(yx),(yxuxy 223432332223232231/32/2/32LLxxxNLLxxxNLxLLxxxNLLLxxxN eeeeexyqqqqq12862 4321NNNNN exyqNxv)(23 xyxyxxqBxxvyxyx

15、u22,單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系 方向得應(yīng)變可以表示為：x ByLxLLxxLLxLyB26612466123 222232046266126122646612612LLLLLLLLLLLLLEIdAydxBBEdVBDBkxxALTTVexye其中：在局部參考系中單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员硎緸槠渲校篸AyIAzz2繞 軸截面慣性矩yeq12eq8eq6eq2eq6eq8eq12eq2244）單元）單元 平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣zxeq5eq3eq9eq11)(xw 與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有 、 、 和 。eq5eq3eq9eq11假定在單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：31

16、02987)(xxxxw根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：在 點(diǎn)：eqv3)0(jijiexqxv500 x在 點(diǎn)：eeqLv9)(eLxqxve11eLx xz 2222346266126122646612612LLLLLLLLLLLLLEIkyyexz其中：dAzIAyy2繞 軸截面慣性矩y對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋篹q5eq3eq9eq11eq5eq3eq9eq11其他過(guò)程與 平面內(nèi)的彎曲相同，不再xy25 LEILEILEILEILEILEILEILEILGJLGJLEILEILEILEILEALEALEILEILEILEILGJLEILEILEAkzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyzz

17、zzzzzzyyyyyyzze400060200060406000206000000000012000001200120000012000000400060406000001200120033333333333333對(duì)稱(chēng)空間剛架單元在局部參考系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?6三、空間剛架單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q關(guān)系三、空間剛架單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q關(guān)系整體參考系1）空間剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移向量局部參考系eeeeeQQQQQ12321 eeeeeqqqqq123212）空間剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移向量的變換關(guān)系 eeQq 坐標(biāo)變換矩陣，具體形式如下：27 1212000000000000 333222111nmlnmln

18、ml222nml111nml333nml其中：局部參考系 軸關(guān)于整體參考系的方向余弦局部參考系 軸關(guān)于整體參考系的方向余弦局部參考系 軸關(guān)于整體參考系的方向余弦xyz 因?yàn)榭臻g剛架單元的局部參考系有三個(gè)坐標(biāo)軸，根據(jù)單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)只能確定其中一個(gè)坐標(biāo)軸的方向，為確定其它兩個(gè)坐標(biāo)軸的方向，還需要因入一個(gè)輔助量，可以是一個(gè)節(jié)點(diǎn)或一個(gè)參考方向。28四、空間剛架單元局部參考系確定方法（參考點(diǎn)法）四、空間剛架單元局部參考系確定方法（參考點(diǎn)法）jzxyikz 所謂參考點(diǎn)法，是在單元截面主軸平面內(nèi)找一個(gè)輔助點(diǎn) （稱(chēng)參考點(diǎn)），用以幫助確定單元局部參考系。k首先由 點(diǎn)到 點(diǎn)作一個(gè)向量 AijTzyxAAAA,ijzijy