《scut三重積分》ppt課件

1、上一頁下一頁第三節(jié)第三節(jié) 三重積分三重積分一、引例一、引例二、在直角坐標(biāo)系下計算三重積分二、在直角坐標(biāo)系下計算三重積分二、在柱面坐標(biāo)系下計算三重積分二、在柱面坐標(biāo)系下計算三重積分三、在球面坐標(biāo)系下計算三重積分三、在球面坐標(biāo)系下計算三重積分四、小結(jié)四、小結(jié)五、作業(yè)五、作業(yè)上一頁下一頁一、引例一、引例 空間物體的質(zhì)量空間物體的質(zhì)量二、三重積分的定義與性質(zhì)二、三重積分的定義與性質(zhì)即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的的平平面面來來劃劃分分用用平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，如如果果.lkjizyxv 則則三三重重

2、積積記記為為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .積元素積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體叫做直角坐標(biāo)系中的體其中其中dxdydz直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分三、在直角坐標(biāo)系下計算三重積三、在直角坐標(biāo)系下計算三重積分分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過過點點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz,看作定值看作定值先將

3、先將yx ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型),(yxF再計算再計算zzyxf只只看看作作將將),(的函數(shù)的函數(shù),上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間 Dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd那么那么xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx vzyxfd),( 軸軸且且穿穿過過閉閉區(qū)區(qū)域域這這是是平平行行于于 z當(dāng)

4、當(dāng)D為為Y型閉域時型閉域時, ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf baxd注注S的邊界曲面的邊界曲面內(nèi)部的直線與閉區(qū)域內(nèi)部的直線與閉區(qū)域 相交不多兩點情形相交不多兩點情形.d21( )( )yxyxy vzyxfd),( ),(),(21d),(yxzyxzzzyxfdcdy d21( )( )xyxyx 所以所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積三重積分可以化為六種不同次序的三次積分分(累次積分累次積分).和積分域和積分域選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)展計算選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)展計算.解題時解題時, 要根據(jù)詳細(xì)的被積函數(shù)要根據(jù)詳細(xì)的被積函數(shù)),(zyxf同樣同樣,也可以把積分域也可以把

5、積分域向向yOz、zOx面投影面投影.例例 1 1 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfI),(為為三三次次積積分分，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域 為為由由曲曲面面 222yxz 及及22xz 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI例例d d d ,21Ix x y zxyz 求求其其中中 是是三三坐坐面面和和平平面面所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. .1:0,012xyxDyx 解：解：d d dIx x y

6、z d dxyDx y 120dxyx z 1-1200ddxx xy 120dxyz :012 ,( , )xyzxyx yD 1-1200d(12 )dxx xxyy 123011(2)d.448xxxx 思索：思索：, ,z x y1.1.按按次次序序的的三三次次積積分分是是怎怎樣樣的的? ?, , (, , )y x zy x z2.2.按按或或次次序序的的三三次次積積分分是是怎怎樣樣的的? ?注：熟練后直接寫出三次積分，不用先注：熟練后直接寫出三次積分，不用先“一后一后“二！二！例例2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積

7、分區(qū)域 為由曲面為由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所圍所圍成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，:xzD 122 zx,先先對對y積積分分，再再求求xzD上上二二重重積積分分,解解如圖如圖, 112221zxDdydxdzxyxz原原式式dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 練習(xí)練習(xí) 求求 zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解解2ye 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不

8、是初等函數(shù),應(yīng)先應(yīng)先x x對積分對積分 zyx10d 10d)1(yy21541 一定要交換積分次序一定要交換積分次序. I 10d)1(yy1 zyxxyzO 10d)1(yy yzyzye102)1()1(d2 yzyzzye10)1(d)1(2d21(1)0yy zez 541 xyz1D： 1002yxz2D： 11222yxzxzx 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.解解(3) 計算二重積分計算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù))(zF；(4)最后計算單積分最后計算單積分 21)(cc

9、dzzF即得三重積分值即得三重積分值.sw下次從此開場例例 4 4 計計算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由

10、 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czaczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1( .1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式小結(jié)：小結(jié)：zfzD當(dāng)當(dāng) 僅僅為為 的的函函數(shù)數(shù)，且且的的面面積積容容易易計計算算時時，用用截截面面法法簡簡單單. .變式：變式：22fyx如如果果 或或, , 如如何何計計算算相相應(yīng)應(yīng)的的積積分分？三重積分的定義和計算直角坐標(biāo)系下三重

11、積分的定義和計算直角坐標(biāo)系下計算方法：投影法、截面法計算方法：投影法、截面法小結(jié)小結(jié):思索題思索題 為六個平面為六個平面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍成的區(qū)域，圍成的區(qū)域，),(zyxf在在 上連續(xù)，上連續(xù)，則累次積分則累次積分_ dvzyxf),(.選擇題選擇題:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD,0 r,20 . z四、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分四、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫

12、叫點點個個數(shù)數(shù)，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點點，并并設(shè)設(shè)點點設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的

13、體積元素為,dzrdrddv 問題：問題：如何將柱面坐標(biāo)系下的三重積分化成三次積分？如何將柱面坐標(biāo)系下的三重積分化成三次積分？方法：方法：三重積分的投影法三重積分的投影法+二重積分的極坐標(biāo)法二重積分的極坐標(biāo)法例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI .413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)區(qū)域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計算計算 dxdyd

14、zyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， 類似課本P.110例6:2D, 422 yx.222020:22 zrr :1D,1622 yx,824020:21 zrr 所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22

15、222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd方法二：截面法即課本P.111方法三五、利用球面坐標(biāo)計算三重積分五、利用球面坐標(biāo)計算三重積分的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點就叫做點，個數(shù)個數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點點為為的角，這里的角，這里段段逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點點點為原為原來確定，其中來確定，其中，三個有次序的數(shù)三個有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一

16、點，則點為空間內(nèi)一點，則點設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0. 20 , 0規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸軸上上的的投投影影為為在在點點，面面上上的的投投影影為為在在設(shè)設(shè)點點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrd

17、rrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，例例 3 3 計算計算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是是錐面錐面222zyx ， 與與平面平面az )0( a所圍的立體所圍的立體.解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar 222zyx ,4 ,20, 40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403 .105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo) ,:222ayxD dxdydzyxI)

18、(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2 54254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍 成成的的立立體體體體積積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2 da.)12(343a 補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算運(yùn)用對稱性時

19、應(yīng)留意：運(yùn)用對稱性時應(yīng)留意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的的 一一般般地地，當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域 關(guān)關(guān)于于xoy平平面面對對稱稱，且且被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為零零，若若被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為 在在xoy平平面面上上方方的的半半個個閉閉區(qū)區(qū)域域的的三三重重積積分分的的兩兩倍倍.奇偶性奇偶性例例利利用用對對稱稱性性簡簡化化計計算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域1| ),(222 zyxzyx.解解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的奇函數(shù)的奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 計算計算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由拋物是由拋物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所圍成的空所圍成的空間閉區(qū)域間閉區(qū)域.其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面