第5章--留數(shù)理論及應(yīng)用1

1、2021/2/611.1.解析函數(shù)的孤立奇點解析函數(shù)的孤立奇點: :設(shè)函數(shù)f(z)在去掉圓心的圓盤)0(|0:0RRzzB內(nèi)確定并且解析,那么我們稱 為f(z)的孤立奇點。在D內(nèi),f(z)有洛朗展式0z,)()(0nnnzzzf其中,.)2, 1, 0( ,)()(2110Cnnndzfi 是圓).0(|0RzzC的非孤立奇點為的點，則稱以外的不可導(dǎo)總可以找到除的無論多么小的鄰域內(nèi)若在)(000zfzzz2021/2/62孤立奇點的分類孤立奇點的分類可去奇點可去奇點: :一般地,對于上述函數(shù)f(z),按照它的洛朗展式含負數(shù)冪的情況,可以把孤立奇點分類如下:（1）、如果當時n=-1,-2,-3,

2、0n那么我們說 是f(z)的可去奇點,或者說f(z)在 有可去奇點。0z0z這是因為令 ，就得到在整個圓盤 內(nèi)的解析函數(shù)f(z)。00)(zfRzz|0的可去奇點是例如：zzzsin02021/2/63孤立奇點的分類孤立奇點的分類- -極點極點: :（2）如果只有有限個（至少一個）負整數(shù)n,使得, 0n那么我們說 是f(z)的極點。0z設(shè)對于正整數(shù)m, 0m而當n1,我們也稱 是f(z)的單極點或m重極點。0z0z)(lim)(00zfzfzzz的極點，則：為如果2021/2/64孤立奇點的分類孤立奇點的分類本性奇點本性奇點: :（3）如果有無限個整數(shù)n0,使得0n那么我們說 是f(z)的本性

3、奇點。0z是函數(shù)的一級極點。是函數(shù)的一個三級極點來說，例如：有理分式函數(shù)izzzzzzf1) 1)(1(2)(322021/2/65總結(jié)以上論述: 0分別是zezzzz12,sin,sin的可去奇點、單極點及本性奇點。2021/2/662.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系級零點。的稱為為一正整數(shù)，那么處解析，且在其中如果能表示成：不恒等于零的解析函數(shù)mzfzmzzzzzzzfzfm)(, 0)()()()()()(0000的一級和三級零點。分別是函數(shù)和例如：3) 1()(10zzzfzz0)(, ) 1.2 , 1 , 0(, 0)()()(0)(0)(00zfmnzfmzfzzzfmn是：級零點的充分

4、必要條件的為處解析，那么在結(jié)論：如果級零點。反之亦然的就是級極點，則的是定理：如果mzfzmzfz)(1)(00方法極點提供了一個簡便的這個定理為判斷函數(shù)的2021/2/675.函數(shù)在無窮遠處的形態(tài)的孤立奇點。為那么稱點內(nèi)解析，的去心鄰域在無窮遠點如果函數(shù))()(zfzRzzf的變換去心鄰域平面原點的到的去心鄰域平面上則實現(xiàn)了作變換RttzRzzt10,1)()1()(ttfzf的孤立奇點。是內(nèi)是解析的，所以在去心鄰域顯然，)(010)(ttRtt級極點或本性奇點。的可去奇點，是就稱么級極點或本性奇點，那的可去奇點，是我們規(guī)定：如果mzfzmtt)()(02021/2/685.2 留數(shù)定理 2

5、021/2/691.留數(shù)的定義及留數(shù)定理2021/2/610)()()()()()(Re0)()()()()()(0000000lim0zQzPzQzPzzzsfzPzQzzzPzQzPzfzz羅畢達法則則：，從而是的一階極點，的一階零點。是點解析，和都在的形式，其中可以表示為若（6）留數(shù)的計算. 22021/2/611121200010100( )()()()();(0)()mmmmmaaaf zzzzzzzaaa zzazz（2）m階極點情況2021/2/612解:11111(1)11limlimlim1(1)nnnzzzzzzznzn洛必達法則1( )(1)nf zz11Re( )zsf

6、 zn說明z1是的一階極點,且留數(shù)2021/2/613znsinz( )f z()1Res ( )limlim( 1)sin(sin )cosnz nznznznznf zzzn 解:是的一階零點（注）,是的一階極點,有2021/2/614解:5333221( )4(2 )(2 )(2 )zizif zzzzzi zizzi2zi( )f z332221Res (2 )limlim(2 )8ziziziifizziz（1）是的一階極點:0z ( )f z（2）是的三階極點:2021/2/615232303001Res (0)lim2!(2 )1112lim ()lim2!22(2 )8zzzdzfdz zziizizi 方法2根據(jù)公式（8）,m3有2021/2/6163.在無窮遠點的留數(shù)l定理二:( )f z( )f z 若在復(fù)平面上有孤立奇點，則的所有奇點（包括無限遠點）留數(shù)之和為零。 0 ,1)1(Re),(Re)3(2zzfszfscdzzfizfs)(21),(Re證明：dfiredr