數學培優(yōu)---壓軸題

1、壓軸題 (3)班級姓名學號1 已知數列 an的前n項和為 Sn , a11, Sn 14an1, 設 bnan 12an .（ I ）證明數列 bn 是等比數列；（ II ）數列c 滿足ncnlog 21bn3(nN*),設Tc cc cc ccnc ,n1若對一切nN* 不等式 4mTn( n2)cn 恒成立，求實數m 的取值范圍.2已知函數 f ( x)ln xa(a1) .x1（ I ）若函數 f ( x)在(0,) 上為單調增函數，求a 的取值范圍；（ II ）設 m, nR ,且 mn, 求證 :mnm n .ln mln n23已知點 A（ 1，1）是橢圓 x2y21(a b 0)

2、 上一點， 教育博客 F1， F2 是橢圓的兩焦點，a2b 2且滿足 |AF1|AF2| 4.（ 1）求橢圓的兩焦點坐標；（ 2）設點 B 是橢圓上任意一點， 教育博客 如果 |AB|最大時， 教育博客 求證 A、B 兩點關于原點 O 不對稱；（ 3）設點 C、 D 是橢圓上兩點，直線 AC、 AD 的傾斜角互補， 教育博客 試判斷直線 CD 的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由。4已知函數 f ( x)1xln x，其中 a 為大于零的常數教育博客ax（ 1）若函數 f(x) 在 1,) 上單調遞增，求 a 的取值范圍；教育博客（ 2）求函數 f (x) 在區(qū)間 1,2

3、 上的最小值；（ 3）求證：對于任意的 nN * 且 n 1時，都有 ln n111 成立23n5.頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過A0(1,1)，過 A0 作拋物線的切線交x 軸于 B1，過B1 點作 x 軸的垂線交拋物線于A1，過 A1 作拋物線的切線交x 軸于 B2， ，過 An(xn， yn)作拋物線的切線交x 軸于 Bn 1(xn1,0)(1)求 xn ， yn 的通項公式；(2)設 an1111 x，數列 an 的前 n 項和為 Tn.求證： Tn>2n .1 x2nn1(3)設 bn 1 log2 yn，若對任意正整數 n，不等式 (1 1)(1 1) (11) a2n

4、 3成立，求b1b2bn正數 a 的取值范圍 .6.已知函數 f (x)( x2) 2 ( x 0) ，設正項數列 a 的首項a2 ，前 n 項和 S滿足n1nSn f ( Sn 1 ) （ n1 ，且 nN* ）。（1）求 an 的表達式；（ 2）在平面直角坐標系內，直線l n 的斜率為 an ，且 ln 與曲線y x2 相切， ln 又與 y 軸交于點Dn (0, bn ) ，當 n*11 ，若 Cndn21dn2Cn ，N 時，記 dnDn 1Dn，設 Tn C1 C2 C342dn 1dn求 Tn 。壓軸題 (3)參考答案1（ I）證明：由于 Sn 14an 1,當 n2時, Sn4a

5、n 11.得 an 14an4an 1. 所以 an 12an2(an2an 1 ).又 bn an 12an ,所以 a 3a 1 4.因為 a11, 且a1a24a1 1,21所以 bn2bna2 2a1 2.1.所以 b1故數列 bn 是首項為2，公比為2 的等比數列 .（ II ）由（ I ）可知 bn2n ,則 cnlog 211( nN*).bn 3n3Tnc1 c2c2 c3c3 c4cn cn 111114 55 66 7(n 3)( n 4)114n4n=.4( n4)由 4mT n( n2) cn ,得mnn2 .n4n3即 m( n4)( n2) .n ( n3)所以 m

6、n 26 n8 .n 23 n所以 m3n813813nn3n2.n23n設 f ( x )38, x 1.13x 23 xx可知 f ( x) 在 1,)為減函數, 又 f(1)=15 ,N * 時 , 有 f(n)4則當 nf(1).所以 m15 .4故當 m15 時, 4mTn(n2)cn 恒成立 .42解：（ I） f (x)1 a(x1)a( x1)x( x1)2( x1)22axx2(22a)x1x( x1)2x( x1)2.因為 f ( x)在(0,) 上為單調增函數，所以f ( x) 0在 (0,) 上恒成立 .2(22 a ) x10在 (0,) 上恒成立.即 x當 x(0,

7、) 時 ,由 x 2(22 a ) x1 0,得 2 a2x1 .x設 g ( x )x1(0,)., xxg ( x )x12x12.xx所以當且僅當x1即x時, g ( x )有最小值2.,1x所以 2a22.所以 a2.所以 a 的取值范圍是 (,2.（ II ）不妨設 mn0, 則 m1.n要證mnmn ,ln mln n2m1m1nn只需證,m2lnnm2( m1)即證 lnn.nm1nm2( m1)只需證 lnn0.nm1n設 h( x)ln x2( x1).x1m由（ I）知 h( x)在(1,) 上是單調增函數，又1 ，nm)h (1)0.所以 h (nm1)m2(n0成立 .

8、即 lnmn1n所以mnmn .ln mln n23解：（ I）由橢圓定義知： 2a4 ，a2,x2y214b2把（ 1，1）代入得 111b24 ，則橢圓方程為x2y 21，4b23443c2a2b244 8 ，c2 6333故兩焦點坐標2626,0)為 (3,0), (3教育博客（ II ）用反證法：假設A 、教育博客 B 兩點關于原點 O 對稱， 教育博客 則 B 點坐標為（1，1），此時|AB|22取橢圓上一點 M (2,0) ，則|AM |10.|AM | |AB|.教育博客從而此時 |AB| 不是最大，這與 |AB|最大矛盾，教育博客所以命題成立。yk ( x 1) 1（ III

9、）設 AC 方程為： yk( x1)1聯立x23 y 21教育博客44消去 y 得 (1 3k2 )x26 (k1)x3k26k1 0k點 A（1，1）在橢圓上xC3k 26k13k21直線 AC、AD 傾斜角互補 AD 的方程為 yk( x1)13k26k1同理 xD3k 2教育博客1又 yck( xC1)1， yDk (xD1) 1 ， yCyDk (xCxD ) 2k所以 kCDyCyD1xCxD3教育博客即直線 CD 的斜率為定值134解：ax1ax( x0)f (x)21（ 1）由已知，得f ( x)0在1,) 上恒成立，即 a在 1,) 上恒成立x又當 x1,時， 11，a1 ，即

10、 a 的取值范圍為 1,)x（ 2）當 a1時，f( x)0在（ 1，2）上恒成立，這時 f ( x) 在 1 ，2 上為增函數，f ( x)minf (1) 0.當 0a1，f( x)0 在（ 1， 2）上恒成立，這時f ( x) 在 1 ，2 上為減函數 ,21 .f (x) minf ( 2)ln 2當 12a1a1時，令 f(x)0 ，得 x(1,2).2a又對于 x1, 1) 有 f(x)0 ，對于 x( 1 ,2 有 f( x) 0，aaf ( x)minf ( 1 )ln 111 .aaa綜上， f ( x) 在 1， 2 上的最小值為 :當0a1 時，f (x)minln 21

11、 ；當1時，f (x) min1122aa1ln1.22a當 a1時， f ( x) min0 .（ 3）由（ 1），知函數 f ( x)11ln x 在 1,) 上為增函數，nxn當 n1時，1，f () f (1) ，n1n1即 ln nln( n1)1 ，對于 nN *,且 n 1 恒成立 ,nln nln nln( n1)ln( n1) ln( n2)ln 3 ln 2 ln 2ln 111111 .nn32對于 nN *，且 n1時， ln n111恒成立.23n5.解： (1) 由已知得拋物線方程為y x2， y 2x，則設過點 An n， yn)的切線為 y xn2 2xnn(

12、x(x x ).xnxn11令 y 0， x，故 xn 1.又 x0 1，xnn， ynn.21224n(2) 證明：由 (1) 知 xn (2)，2n1所以 an112n2n1 11 n1 n 12n11 (2)1 (2)2n 1 12n 1 1 11112 (11).2n 1 112n 12n 12n 1 12n 12n1 1111>11111，由<n，2n11得< n2n 1 22n 12n 12n11 22n1所以 an 2 (1 n1111)，n1)>2 ( n n2 12 122 111111)從而 Tn a1 a2 an>2 ( 2) 2( 23)2

13、(nn 12222221111111111.2n (2) (23) (n n1) 2n ( n1)>2 n，即 Tn>2 n222222 22 221(3) 由于 yn4n，故 bn 2n1，111對任意正整數n，不等式(1 b1)(1 b2) (1 bn) a2n3成立，a1(1 1)(1 1) (11)恒成立 .2n3b1b2bn設 f(n)1111)，(1)(1) (1bn2n 3b1b2f(n 1)11111(1 b1)(1 b2) (1 bn)(1)，2n 5bn 1f(n 1)2n 31 )2n 3 2n 42n 44n2 16n 16·(1·>1，f(n)2n 5bn12n 5 2n 32n 5· 2n 34n 16n 152f(n 1)> f(n)，故 f(n) 為遞增， f(n) min f(1) 144545.·，0<a1553156 解：（ 1） )由 Sn( Sn 12)2 得：SnSn 12 ，所以數列 Sn 是以2 為公差的等差數列。 Sn2n ，Sn=2n2，an=SnSn-1=4n2（n2），又 a1=2。an=4n2（2）設 ln :