數(shù)列求和和綜合應用

1、數(shù)列求和及其綜合應用1. 掌握數(shù)列的求和方法 (1) 直接利用等差、 等比數(shù)列求和公式； (2) 通過適當變形 (構造 )將未知數(shù)列轉化為等差、等比數(shù)列，再用公式求和；(3) 根據(jù)數(shù)列特征，采用累加、累乘、錯位相減、逆序相加等方法求和；(4) 通過分組、拆項、裂項等手段分別求和；(5) 在證明有關數(shù)列和的不等式時要能用放縮的思想來解題(如 n(n 1)<n 2<n(n 1)，能用函數(shù)的單調(diào)性(定義法 )來求數(shù)列和的最值問題及恒成立問題2. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，這部分容中蘊含的數(shù)學思想方法有：函數(shù)與方程思想、分類討論思想、化歸轉化思想、 數(shù)形結合思想等，高考題中所涉及的知識綜合性很強，

2、既有較繁的運算又有一定的技巧，在解題時要注意從整體去把握1、 若數(shù)列 a 的通項公式是a ( 1)n 1 2)，則 a a a _.·(3nnn1210An7n 572.已知兩個等差數(shù)列a n 和b n 的前 n 項和分別為 A n 和 Bn，且，則a _Bnn 37ba23.若數(shù)列 a n 滿足 n 2 1 p(p 為正常數(shù)， n N* )，則稱 a n 為“等方比數(shù)列”則“數(shù)列 a n an是等方比數(shù)列”是“數(shù)列a n 是等比數(shù)列”的_條件 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)4.已知函數(shù)f(x) x2 bx 的圖象在點 (1，f(1) 處的切線與直線

3、6x 2y1 0 平行，若數(shù)列1的前 n 項和為 Sn，則 S2 012 _.f n5、已知公差不為零的等差數(shù)列 a n 中 a12，設 a1、 a3、 a7 是公比為 q 的等比數(shù)列 b n 的前三項(1) 求數(shù)列 a nbn 的前 n 項和 T n；(2) 將數(shù)列 a n 與 b n 中相同的項去掉，剩下的項依次構成新的數(shù)列c n ，設其前n 項和為 Sn，求 S2n n 1 22n 1 3·2n 1 的值6、已知等差數(shù)列a n 滿足 a3 a6 1， a1·a8 4， a1 a8，33(1) 求數(shù)列 a n 的通項公式；(2)把數(shù)列 a 的第 1項、第4 項、第 7

4、項、 、第3n 2 項、 分別作為數(shù)列b 的第 1nn項、第 2 項、第 3 項、 、第 n 項、 ，求數(shù)列 2 bn 的前 n 項之和；(3)設數(shù)列 c 的通項為 c n·2b ，比較 (n1)(n 2)c n(n 1)cn 2與 2n(n 2)cn 1的大小nnnn7、設數(shù)列 a n 的前 n 項和為 Sn，已知 ban 2n (b 1)Sn.(1) 證明：當 b 2 時， a n n·2n1 是等比數(shù)列；(2) 求 a n 的通項公式8、已知數(shù)列 a n 滿足 an 2an1 2n 1(n 2)，且 a4 81，(1) 求數(shù)列 a n 的前三項 a1， a2， a3；

5、(2) 求證：數(shù)列an 1為等差數(shù)列，并求an2n.9、已知數(shù)列 a n 和 b n 滿足： a1 1， a2 2， an>0， bnanan 1(n N * )，且 b n 是以 q 為公比的等比數(shù)列(1) 證明： an2 anq2；(2) 若 cn a2n 1 2a2n，證明：數(shù)列 c n 是等比數(shù)列；1 1 1 1 1 1.(3) 求和： a1a2a3a42n 1a2na10、將數(shù)列 a n 中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：1aa2a3a4a5a6aaaa78910記表中的第一列數(shù)a1， a2， a4， a7， 構成的數(shù)列為 b n ，b1 a1 1. Sn 為

6、數(shù)列 b n 的前n 項和，且滿足2bn2 1(n2)bnSn Sn(1)證明數(shù)列1成等差數(shù)列，并求數(shù)列b n 的通項公式；Sn(2)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)，當a4 時，求上表中第k(k 3)行所有項的和819112、已知二次函數(shù) y f(x) 的圖象經(jīng)過坐標原點， 其導函數(shù)為 f (x) 6x 2，數(shù)列 a n 的前 n 項和為 Sn，點 (n ，Sn)(n N * )均在函數(shù) y f(x) 的圖象上(1) 求數(shù)列 a n 的通項公式；(2) 設 bn3， TT nm 對所有 n N* 都成立的最小正n n 1n 是數(shù)列 b n

7、的前 n 項和，求使得20a a整數(shù) m.13、已知數(shù)列 a n 的前 n 項和 Sn 滿足： Sn SmSn m，且 a11，那么 a10 _.x14、設函數(shù)f(x) x 2(x>0) ，觀察：1x ，f 21x， f32(x) x，f (x) f(x) (x) f(f (x) 3x 4(x) f(f 8x 27xxf4(x) f(f 3(x) ， 15x 16根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當 nN 且 n2 時， fn(x) f(f n 1(x) _.2(x>0) 的圖象在點kk2x 軸的交點的橫坐標為k 1*.15、函數(shù) y x(a，a)處的切線與a，其中 k N若 a113

8、516，則 a a a 的值是 _an，當 ann1n12為偶數(shù)時，若 a61，則16、已知數(shù)列 a 滿足： a m(m 為正整數(shù) )， a3an1，當 an為奇數(shù)時 .m 所有可能的取值為 _.nnnn*.17、已知數(shù)列 a 的前 n 項和為 S，且 S n 5a 85，n N(1) 證明： a n 1 是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列 S n 的通項公式，并求出使得Sn 1>Sn 成立的最小正整數(shù) n.5151，51416<156>1518、設實數(shù)數(shù)列 a n 的前 n 項和 Sn 滿足 Sn 1 an 1Sn(n N* ) (1)若 a1， S2， 2a2 成等比數(shù)列，求S2

9、和 a3；(2) 求證：對 k 3 且 k N* 有 0 ak 1ak43.19、數(shù)列 a n 、 b n 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設cn bn(nN * )an(1)n數(shù)列 c 是否為等比數(shù)列？證明你的結論；(2)nn，求數(shù)列 c n 的前 n設數(shù)列 lna n 、lnb n 的前 n 項和分別為 Sn， T n.若 a12， S T n2n1項和56，且 a b，則雙曲線x2y220、兩個正數(shù) a、b 的等差中項是 ，一個等比中項是221的離2ab心率 e 等于 _21、在等比數(shù)列 a 中，前 n 項和為 S ，若 S ， S， S成等差數(shù)列，則a ， a，annmm2m 1mm2m1

10、成等差數(shù)列(1) 寫出這個命題的逆命題；(2) 判斷逆命題是否為真？并給出證明數(shù)列求和及其綜合應用1. 掌握數(shù)列的求和方法 (1) 直接利用等差、 等比數(shù)列求和公式； (2) 通過適當變形 (構造 )將未知數(shù)列轉化為等差、等比數(shù)列，再用公式求和；(3) 根據(jù)數(shù)列特征，采用累加、累乘、錯位相減、逆序相加等方法求和；(4) 通過分組、拆項、裂項等手段分別求和；(5) 在證明有關數(shù)列和的不等式時要能用放縮的思想來解題(如 n(n 1)<n 2<n(n 1)，能用函數(shù)的單調(diào)性(定義法 )來求數(shù)列和的最值問題及恒成立問題2. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，這部分容中蘊含的數(shù)學思想方法有：函數(shù)與方程思想、

11、分類討論思想、化歸轉化思想、 數(shù)形結合思想等，高考題中所涉及的知識綜合性很強，既有較繁的運算又有一定的技巧，在解題時要注意從整體去把握nnn 112101、 若數(shù)列 a 的通項公式是 a ( 1)·(3n 2)，則 a a a _. 15 解析： a1 a2 a3 a4 a9 a10 3， a1 a2 a10 5× ( 3) 15.2.已知兩個等差數(shù)列a n 和b n 的前 n 項和分別為 A n 和 Bn，且An7n57n3，則 a _.2.Bnb76 解析： a7 a1 a13 A 13 7×13 5 6. b7 b1 b13 B 13 13 32an 13.

12、若數(shù)列 a n 滿足2 p(p 為正常數(shù)， n N* )，則稱 a n 為“等方比數(shù)列”則“數(shù)列 a n an是等方比數(shù)列”是“數(shù)列a n 是等比數(shù)列”的_條件 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分4.已知函數(shù) f(x) x2 bx 的圖象在點 (1，f(1) 處的切線與直線6x 2y1 0 平行，若數(shù)列1的前 n 項和為 Sn，則 S2 012 _.f n2 01214.2 013解析： f (x) 2x b,2 b 3， b 1， f(n) n2 n n(n 1) ， Sn 1 2 1 11 1n2 3 n n 1 n 1.5、已知公差不為零的

13、等差數(shù)列a n 中 a12，設 a1、 a3、 a7 是公比為 q 的等比數(shù)列 b n 的前三項(1)求數(shù)列 a b 的前 n 項和 T ；n nn(2) 將數(shù)列a n 與 b n 中相同的項去掉，剩下的項依次構成新的數(shù)列c n ，設其前n 項和為 Sn，求 S2nn 1 22n 1 3·2n 1 的值解： (1)設等差數(shù)列 a n 的公差為d，則 (2 2d)2 2×(2 6d)，又 d0， d 1， annnn 1.n 1， bn 2， anbn(n 1)·2，用錯位相減法可求得T n n·2(2) 新的數(shù)列 c n 的前2n n 1項和為數(shù)列 a

14、n 的前 2n 1 項的和減去數(shù)列 b n 前 n項的和， S2n n 1 2n 1 2 2n 2 2n 1 (2n 1)(2n 1 1)221 S2n n 1 22n1 3·2n 1 1.6、已知等差數(shù)列n361， a1 84， a1 8，a 滿足 a a 3·a 3 a(1) 求數(shù)列 a n 的通項公式；(2)把數(shù)列 a 的第 1項、第4項、第 7項、 、第3n 2 項、 分別作為數(shù)列b 的nn第 1 項、第 2 項、第 3 項、 、第 n 項、 ，求數(shù)列 2 bn 的前 n 項之和；(3)設數(shù)列 c n 的通項為 cn n·2bn，試比較 (n 1)(n 2

15、)cn n(n 1)cn2與 2n(n 2)cn1的大小解： (1) a n36181，又 a1 84，且 a181 為等差數(shù)列， aa aa 3·a 3 a ，求得 a 1，4，公差 d a8 a1 1，a8 38 13 an 11(n 1) 1n4(n N * )33 3(2) b1 a11， b2 a4 0, bn a3n 2 1(3n2) 4 n2，33 n1 2 2bn 1 2 n 2 1， 2b n 是首項為 2，公比為 1的等比數(shù)列，2bn2221n 2 bn 的前 n 項之和為2124 1n2.1212(3) n·2bn， (n 1)(n 2)cn n(n1

16、)c n 2 2n(n 2)cn 1 n(n 1)(n 2)2bnn(n 1)(n 2) ·2bn 2 2n(n 1)(n2) ·2bn 1 n(n 1)(n 2)(2bn 2bn 2 2× 2bn 1) n(n 1)(n 2)2bn(1 2bn 2 bn 2× 2bn 1 bn) n(n 1)(n 2) ·2bn(1 2 2 2× 2 1)1 n(n 1)(n 2)2bn(1 4 1) 0，其中 bn 2 bn (n 2) 2 ( n 2) 2， bn1 bn (n 1) 2(n 2) 1， (n 1)(n 2)cn n(n 1)c

17、n 2 2n(n2)cn1.7、設數(shù)列 a n 的前 n 項和為 Sn，已知 ban 2n (b 1)Sn.(1) 證明：當 b 2 時， a n n·2n1 是等比數(shù)列；(2) 求 a n 的通項公式解：由題意知a1 2，且 ban 2n(b 1)Sn， ban 1 2n 1 (b 1)Sn1 ，兩式相減得 b(an 1nn (b1)an1n1nn a ) 2，即 a ba 2 .(1) 當 b 2 時，由知 an 1 2an 2n于是 an 1 (n 1)nnnn1)，·2 2an 2 (n 1)·22(an n·2n 1n又 a1 1·2

18、1 11 0, an n·2n 1 0, a n 1·2n1 2，an n·2 an n·2n 1 是首項為1，公比為 2 的等比數(shù)列(2) 當 b 2 時，由 (1)知 an n·2n 1 2n 1，即 an (n 1)2n 1，當 b 2 時 ， 由 得 a 1 1n 1 ba2n 1n 1 babn n·2n ·2n ·22 b2 b2 bb an 1 ·2n .2 b因此 a 1n1 b an 1·2n ，又 a1× 2 2 1 b ，n1·22 b12 b2 b2

19、b2， n 1，故 an1* .2n2 1 b bn 1， n2， n N2 bn 1 2n1， b 2， an12n2 1 b bn 1， b2.2 b8、已知數(shù)列 a n 滿足 an 2an1 2n 1(n 2)，且 a4 81，(1) 求數(shù)列 a n 的前三項 a1， a2， a3；an 1(2) 求證：數(shù)列2n 為等差數(shù)列，并求 an.解：(1) 由 an2an 1 2n 1(n2) ，得 a4 2a3 24 1 81， a3 33.同理 a2 13， a1 5.(2)nn1n 1(n 2)，由 a2a 2n2an1n 2n1 1a 1 2a1，得n 2nn122an 1 an 1 1

20、1，2n2n1n是等差數(shù)列 .a 12nan 1的公差 d 1，2na 1a 1n1 (n 1)× 1 n 1，2n21 ann1. (n 1)× 29、已知數(shù)列 a 和 b 滿足： a 1， a 2， a >0， b a a*)，且 b 是以 q 為公(n Nnn12nnn n 1n比的等比數(shù)列(1) 證明： an2 anq2；(2) cn a2n 1 2a2nc n(3)111111.a1 a2 a3a4aa2n2n 1bn 1aaa(1)(1)n1 n 2n 2q, an 2 anq2(n N* ) .qanbnanan 1(2) an an 2q2 a2n 1

21、 a2n3q2 a1q2n 2 a2n a2n 2q2 a2q2n2 a2n 1 2a2n a1q2n2 2a2q2n 2 (a1 2a2)q 2n 2 5q2n 2.c n5q2(3)(2)11 2 2n11 2 2n2n1a1qa2na2qa1 111 111 11aaaa1a3aaaa122n2n1242n111111111242n2 1q242n 21qqq2qqaa31111 q2q42q2n 2 .q>0q 11 113111123n.q24q2na1a2a2n2q21113111q1a1 a2a2n21 q2 q4q2n 2 2n2n3 1 q2 1 q 22 q2n2 q

22、2 1 .3q131 112n q 12naaa3q1122n2 q2n2 q2 1q 1.(2) (1)1(1)ca2aq a12q an 12n 12n 22 2n22n* )c1 a1 2a2 5c n(2)cn2n12n2n12nq2 (n Na2aa2a5q2(3) (2)a2n1 a2n (a1 a2)q2n 2 3q2n 21 1112342n 12n2k 12k3q2k 232 ka aa aaaaaq2ka1 a2a2n a1a2a3a4a2n1a2na2k 1a2k2q4k421,2n.1113 a2k(1 q2 q4q 2n 2)()a1a2210a na1a2a3a4a

23、5a6a7a8a9a10記表中的第一列數(shù)a1， a2， a4， a7， 構成的數(shù)列為 b n ，b1 a1 1. Sn 為數(shù)列 b n 的前n 項和，且滿足2bn2 1(n2)b S Sn nn(1) 證明數(shù)列1成等差數(shù)列，并求數(shù)列 b nSn 的通項公式；(2) 上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)，當 a81 914時，求上表中第 k(k 3) 行所有項的和(1)證明：由已知，2bn2 1，bnSn Sn又 Sn b1 b2b3 bn， n2， bn Sn Sn 1，2bn 1 即 2(Snn 1nnn 12n 1nn n 1，n2S )S

24、(S S) S ，2S 2SS Sb S Snnn111又 S1 1 0， SnSn 1 0， Snn12，S 數(shù)列1成等差數(shù)列，且112，SnSn 1 (n 1) ·， Sn2n 11， n 1， bn2， n 2， n N* .n n 1(2)解：設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且 q 0.因為 1 2 12 12×13 78，2所以表中第1 行至第 12 行共含有數(shù)列 a n 的前 78 項，故 a81 在表中第13 行第三列，因此 a81132 4132，所以 q2.記表中第 k(k 3)行所有項的和為 S， b ·q91.又 b 13×

25、14bk 1qk 212k2k則 Sk k 11 q·1 2k k1 (1 2 )(k 3)12、已知二次函數(shù)y f(x) 的圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為 f (x) 6x 2，數(shù)列 a n 的前 n項和為 Sn，點 (n ，Sn)(n N * )均在函數(shù) y f(x) 的圖象上(1) 求數(shù)列 a n 的通項公式；(2) 設 bn 3 ， T n 是數(shù)列 b n 的前 n 項和，求使得 Tn m 對所有 nN * 都成立的最anan 120小正整數(shù)m.解： (1) 設這二次函數(shù)f(x) ax2 bx (a 0) ，則 f (x) 2axb ，由于 f (x) 6x 2，得 a 3 ,

26、 b 2, 所以 f(x) 3x 22x.又因為點 (n， Sn)(n N * )均在函數(shù)yf(x) 的圖象上，所以Sn 3n2 2n.當 n2 時， an SnSn 1 (3n2 2n) 3(n 1)2 2(n 1) 6n 5.當 n1 時， a1 S1 3× 12 2 6× 1 5，所以， an 6n 5 (n N* )(2) 由 (1) 得知 bn336n5 6 n1 5n n 1a a111 26n56n 1，n故 T n bii 1111111217 13 6n56n1711 2 1 6n 1 .因此，要使11m*1m，即 m10，所以2(16n 1)20(n N

27、 )成立的 m，必須且僅須滿足220滿足要求的最小正整數(shù)m 為 10.13、已知數(shù)列 a n 的前 n 項和 Sn 滿足： Sn SmSn m，且 a11，那么 a10 _.1 解析： Sn S1 Sn 1， an1 a1.x14、設函數(shù)f(x) x 2(x>0) ，觀察：f1(x) f(x) x ，f 2(x) f(f 1(x) x， f3(x) f(f 2(x) x，x 23x 47x 8xf4(x) f(f 3(x) ， 15x 16根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當 nN 且 n2 時， fn(x) f(f n 1(x) _.x2n 1 x 2n2kk2k 1*.15、函數(shù) y x

28、(x>0) 的圖象在點 (a，a )處的切線與 x 軸的交點的橫坐標為a ，其中 k N若 a1 16，則 a1 a3 a5 的值是 _3 21na，當 an2為偶數(shù)時，n1n 1若 a61，則16、已知數(shù)列 a 滿足： a m(m 為正整數(shù) )， a 3an1，當 an為奇數(shù)時 .m 所有可能的取值為 _.4,5,32 解析：顯然， a 為正整數(shù)， a 1，故 a 2， a 4，若 a 為奇數(shù)，則4 3an654331， a3 1，若 a3 為偶數(shù)，則a3 8，若 a31，則 a2 2， a14，若 a3 8，則 a216， a15 或 32.17、已知數(shù)列 a n 的前 n 項和為

29、Sn，且 Sn n 5an 85，n N* .(1) 證明： a n 1 是等比數(shù)列；51515141(2) 求數(shù)列 S n 的通項公式，并求出使得Sn 1>Sn 成立的最小正整數(shù)n.6<15，6 >15(1) 證明：當 n 1 時， a 14；當 n 2 時， a S S 5a 5a 1，所以 a1 51nnn 1nn 1nn 11a 1 5，n66(a 1) ，又 a 1 15 0， n 1a 1所以數(shù)列 a n 1 是等比數(shù)列；(2)551，從而 Snn 90 90×5解：由 (1)知： an 1 15·n1，得 an 1 15·n6n66

30、(n N* )；515151由 Sn 1>Sn，得 6n 15，6 15<15，614>15， 使 sn1>sn 成立的最小正整數(shù)n15.18、設實數(shù)數(shù)列a n 的前 n 項和 Sn 滿足 Sn 1 an 1Sn(n N* ) (1) 若 a1， S2， 2a2 成等比數(shù)列，求S2 和 a3；(2) 求證：對 k 3 且 k N* 有 0 ak 1ak4. 32 2a a ，S212得 S22 2S2，(1) 解：由題意S a S a a ，22112由 S2 是等比中項知 S2 0，因此 S2 2，由 S2 a3 S3a3S2，解得 a3 S2 2. S21 3(2) 證明：由題設條件有 an 1Snan 1 Sn，故 Snn 1n 1S， Sna， 1， a 1，且 ann 1 Sn1an 1 1ak1從而對 k 3 有 akS a Sak 1，k 1k 1k 2ak 1 1S