波色系統(tǒng)波色愛因斯坦凝聚ppt課件

1、第五章 波色系統(tǒng)：波色-愛因斯坦凝聚5.1 理想波色氣體中的波色-愛因斯坦凝聚,11)(112/33zzVzgv回想我們在前面獲得的理想波色氣體的物態(tài)方程：這里比容v=V/N,平均熱波長 。易逸度z的定義為 ，其中為化學(xué)勢。對波色氣體，我們有： ， 由定義知顯然成立； 可由動(dòng)量為0的態(tài)的平均占據(jù)數(shù) 確定。函數(shù) 普通地由下式確定：當(dāng)z取0至1的值時(shí)， 是z的正的單調(diào)遞增有界函數(shù)留意在費(fèi)米系統(tǒng)里z可取恣意大于0的值。對于n1有這是黎曼Zeta函數(shù)。當(dāng) ， 發(fā)散。 產(chǎn)生凝聚的條件：把比容的方程改寫為： 凝聚要求 當(dāng) 時(shí)，這必然成立因 是增函數(shù)。這樣系統(tǒng)可看作兩個(gè)熱力學(xué)“相的混合，一個(gè)相由動(dòng)量為零的粒

2、子組成，令一個(gè)由動(dòng)量不為零的粒子組成。),1ln(1)(12/53zVzgTkPBTmkB22 ez 10 zz01z0)1/(0zzn1)(lnnnlzzg)(zgn)(zgn) 1()(1) 1 (1nnlglnn1n) 1 (ng).(2/3303zgvVn, 00Vn) 1 (2/33gv)(zgn分割面方程由 確定，由此可得臨界溫度 和臨界比容 (固定溫度T時(shí)):當(dāng) v一定或 T一定時(shí)，將產(chǎn)生波色-愛因斯坦凝聚。即低溫暖高密度是產(chǎn)生波色-愛因斯坦凝聚的條件，有凝聚時(shí)粒子的平均熱波長與粒子平均間距有一樣的數(shù)量級。) 1 ()(2/32/33gzgvcTcv) 1 (,) 1 (22/3

3、33/22/32gvvgmTkccBcTT cvv 大V極限下的易逸度z：對宏觀系統(tǒng)來說我們更關(guān)懷體積V趨于無窮大的極限情形。由 我們可反解出z: 。因此在大V極限下我們有： 填布數(shù) 與溫度和比容的關(guān)系大V極限下：利用 和上面的結(jié)果可得：粒子在動(dòng)量空間里凝聚。T=0時(shí)一切粒子都占據(jù)p=0態(tài)。 )1/(0zzn) 1/(00nnz).1 (的根，)(方程);1 (, 12/332/332/33gvzgvgvz0nVnzgVN02/33)(1).1 (0，);1 (,112/332/332/30gvgvvvTTNncc 物態(tài)方程：壓強(qiáng)方程中的第二項(xiàng)可忽略，因 ，它最多是 的量級，對大系統(tǒng)可忽略。因

4、此物態(tài)方程為物態(tài)方程在 延續(xù)，但其導(dǎo)數(shù)不延續(xù)，因此相變?yōu)橐患壪嘧儭?其它熱力學(xué)量：應(yīng)分為兩段討論，如內(nèi)能：熵：定容比熱：在T=0附近我們有 ，這與光子和聲子的行為不同，緣由是它們的能譜不同。而在 處比熱是延續(xù)的因 發(fā)散，比熱的導(dǎo)數(shù)不延續(xù)。11ln1)1ln(10nVzVNNln1.，) 1 (1;),(12/532/53ccBvvgvvzgTkPcvv .，) 1 (23;),(23232/532/53cBcBvvgTvkvvzgTvkPvNU.，) 1 (25;,ln)(252/532/53ccBvvgvvvzzgvNkS.，) 1 (415;,)()(49)(4152/532/12/32/

5、53ccBVvvgvvvzgzgzgvNkC2/3TCVcT) 1 (2/1g5.2 非理想波色氣體中的波色-愛因斯坦凝聚思索N個(gè)無自旋波色粒子組成的稀薄氣體系統(tǒng)，體積為V，系統(tǒng)處于低溫且相互作用為二體碰撞。在一級近似下，系統(tǒng)哈密頓量為：這里我們把勢能項(xiàng)看作微擾。設(shè)無微擾波函數(shù)自在粒子系統(tǒng)波函數(shù)為 其中 為單粒子態(tài)中粒子的填布數(shù)。在一級近似下，系統(tǒng)能量為：成立條件為 k為一對粒子的相對波矢，a是散射長度。即粒子只能激發(fā)到動(dòng)量較小的態(tài)。上面最后一個(gè)等式的推導(dǎo)見楊展如書93-95頁。在基態(tài)，我們讓 ，而其它一切 為零，基態(tài)能量為：而低激發(fā)態(tài)能級同時(shí)含有延續(xù)譜和分立譜。在極低溫度下，只需少量粒子激發(fā)

6、，能量表達(dá)式可進(jìn)一步近似為：下面我們要找到物態(tài)方程。我們思索極低溫的情況，即 并用n代表 ，能量的動(dòng)能部分記為 ，記 ，配分函數(shù)為：其中 為理想波色氣體的配分函數(shù)。 是對理想波色氣體的統(tǒng)計(jì)平均。. )(42222jijiiimamHrr,pnnpnppppnjijinppnnnnNmVanmpmanmpHE2222222142)(,42,rr, 1, 1/3/1kavaNn 0pnvmVNmammvaNE,22220.214220222nNmVanmpEppn, 1/, 1/2vaapnppnnmp22Nn /002)0(22222vaNNnvaNHNeZeeTreZn)0(NZ0每個(gè)粒子的自

7、在能為：壓強(qiáng)可由自在能得到：作近似 后可得：這個(gè)相變是二級相變。022)0(022)0(02)0(2114)2(ln22mvaNFvaTkNFeNTkNFNFBvaNBvvvmaPvFPNT020222)0(,212111422002),(.112),(,4222)0(22)0(cccccTTvvvvmaPTTvvmvaPP5.3 波色-愛因斯坦凝聚實(shí)驗(yàn)的根本原理實(shí)驗(yàn)困難：大多數(shù)氣體在極低溫下不呈現(xiàn)氣態(tài)。1995年：三個(gè)研討組用Rb, Na 和Li蒸氣在簡諧磁圈套中在極低溫度下察看到了波色-愛因斯坦凝聚景象。實(shí)驗(yàn)的根本原理有兩個(gè)：1多普勒致冷動(dòng)量空間的緊縮：恰中選取激光頻率 ，這里 是原子最低

8、激發(fā)頻率，可使得原子在多次吸收激光后，動(dòng)量不斷減?。涸咏邮苡婀庾蛹ぐl(fā)有方向性，動(dòng)量減小，再通過自發(fā)輻射退激發(fā)無方向性。2磁-光圈套坐標(biāo)空間囚禁：在磁場中原子激發(fā)態(tài)能級發(fā)生分裂，原子經(jīng)過兩束沿z軸相對運(yùn)動(dòng)的激光激發(fā)。激光頻率小于原子無磁場時(shí)的躍遷頻率( )。這樣，不論在z0還是z0區(qū)域內(nèi)只能吸收向坐標(biāo)原點(diǎn)方向傳播的激光，遭到一個(gè)指向z=0點(diǎn)的輻射力F=-kz，這樣原子處于一個(gè)輻射力呵斥的簡諧勢阱中。ALAAL5.4簡諧勢阱中理想波色氣體中的波色-愛因斯坦凝聚詳見楊展如書98-102頁。5.5 簡諧勢阱中非理想波色氣體中的波色-愛因斯坦凝聚溫度很低時(shí)，原子的德布羅意波長熱波長比原子相互作用程大

9、很多，原子間的相互作用是很弱的完全被量子力學(xué)中討論過的S-波散射所支配，因此我們只需思索二體碰撞。 S-波散射可以用散射長度a來表征，相互作用勢可近似寫為:因此在外界簡諧勢場 中，波色場算符滿足海森堡繪景，坐標(biāo)表象：這個(gè)方程可在平均場近似下求解。關(guān)鍵是把波色場算符分為凝聚部分和非凝聚部分(波戈留波夫近似)：均勻空間情形：理想波色氣體的基態(tài)是一切粒子都處于單粒子的零動(dòng)量態(tài)，其低激發(fā)態(tài)仍有量級為N的粒子占據(jù)零動(dòng)量態(tài)，而 的態(tài)的占據(jù)數(shù)很少。我們假定這對近理想波色氣體依然成立。令 為動(dòng)量為p的單粒子態(tài)的湮滅(產(chǎn)生)算符，我們有)()(0rrUrrU)(rVtrap),( ),( ),(),( )(2)

10、,( ),( )(),()(2),( ),( 022322trtrtrUtrrVmtrtrrrUtrrdrVmHtrttritraptrap0p)(ppaaNaaaaNNaa1,0000000),(),(),( trtrtr),( ),(trtr),(tr),(),()(2),(20022trtrUNrVmttritrap故這闡明在這種近似下我們可以忽略 的非對易性，把它們當(dāng)作非算符的量C數(shù)。這樣場算符可以寫為兩部分：推行到空間非均勻和與時(shí)間有關(guān)的情形，我們有：這里 ， 是圍繞平均值的量子和熱漲落一個(gè)小量。帶入到上面的方程即得GP方程：000001aaNaappaa,)()()()( 000r

11、VNaraarrpppppp用巨正那么系綜我們可以研討系統(tǒng)的平衡性質(zhì)。凝聚部分的哈密頓量為：統(tǒng)計(jì)平衡時(shí)系統(tǒng)的 的平均值有極小值，故有 ，從上式代入并解之得：)()()()(21)()(2)()()(*0322*3*30000rrrrrUdrrVmrrdrrrdHNHKtrapK0*0K),(),(),()(220022trtrtrUNrVmtrap5.6 波色-愛因斯坦凝聚的序參量和判據(jù)序參量：描畫延續(xù)相變二級相變特征自發(fā)對稱破缺的參量。在相變點(diǎn)附近，它是獨(dú)一重要的熱力學(xué)量。理想波色氣體系統(tǒng)：我們調(diào)查單粒子密度矩陣：這里 表示系綜平均 ， 為正那么系綜統(tǒng)計(jì)算符， 為單自在粒子場算符可用平面波展

12、開， 分別為平面波的波矢量為k的湮滅和產(chǎn)生算符。上式表示如在y處失去一個(gè)粒子，那么可在x處找到一個(gè)粒子的概率密度。思索一個(gè)有平移不變性的系統(tǒng)，這時(shí)動(dòng)量和哈密頓量對易，利用Tr(AB)=Te(BA)可證：另一方面，直接計(jì)算可得：因此對這種系統(tǒng)我們有于是kqqkiaaeV,y)qx(k11(y)(x)(x,y)(y)kkaa,)(kqaaTrHkqkqeZaapTraap10,kqkqaaqkaap)(,kkqkkkqkqnaaaa,|ln|22)2(11(x,y)0/20y)(x3300y)(x0y)(x10zTmkrreTmkVNnekdVNaaeVVNaaeVBrrBkikkkkikkkki

13、k當(dāng)r=|x-y|時(shí)，上式中的積分為零。因此在這個(gè)極限下 與空間位置無關(guān)。物理意義：在系統(tǒng)里存在著恒定密度的零動(dòng)量粒子。這正是波色-愛因斯坦凝聚存在的標(biāo)志。有相互作用的系統(tǒng)：單粒子動(dòng)量不是一個(gè)好量子數(shù)， 與哈密頓量不對易，上面的計(jì)算不適用。Penrose和Onsager建議采用以下波色-愛因斯坦凝聚存在的普通判據(jù):這里 稱為超流序參量，假設(shè) 那么闡明存在動(dòng)量空間的有序，即波色-愛因斯坦凝聚。非零序參量的出現(xiàn)表征系統(tǒng)中出現(xiàn)了“對稱破缺。VN01(x,y)0N(y)(x)(y)(x)(x,y)|1yx)()()( xiexrx0)(xr5.7 圈套中波色-愛因斯坦凝聚的激發(fā)態(tài)在5.6節(jié)我們把普通的

14、場算符分為了兩部分： ，并思索了C數(shù)部分(r,t)的奉獻(xiàn)，這里我們將思索漲落算符 的奉獻(xiàn)。漲落算符的對易關(guān)系與常算符的一樣，因此有： ),(),(),( trtrtr),(tr.0)(),()(),();()(),(rrrrrrrr哈密頓量為： ，其中上面最后一式里我們曾經(jīng)略去了漲落算符二次方以上的項(xiàng)。由上可知粒子數(shù)密度為：故總粒子數(shù)為：而 實(shí)踐是一個(gè)C數(shù)。由此我們可寫出漲落算符的動(dòng)力學(xué)方程海森堡方程：把 的表達(dá)式帶入，可得： KKNHK0.)()()(21)()|)(|2)();()(),( )();()(|)(|21)()();( )()( )( )()(21)( )(2302033032

15、3030003303ccrrrrdUrrUVTrrdKrrrdNrrrdNrrrrdUrVTrrdNHKrrrdrrrrrdUrVTrrdKtraptraptrap)()()()()()()( )()(0rnrnrrrrrrrnNNNrnrdrrndrrndN03033)()()(0K,KtiKtiK.)()|2(,)()|2(2*0202020UUVTtiUUVTtitraptrap方程求解：把漲落算符用一套簡正模集合 來展開波戈留波夫變換：同時(shí)令 ，并設(shè) ， 遵守等時(shí)波色對易關(guān)系。帶入到方程中得：解之即得 和相關(guān)的本征值。相應(yīng)地，經(jīng)過上面的展開式 也可簡單地表示成：即 可用假想的波色粒子的

16、湮滅和產(chǎn)生算符來表達(dá)，它是能量為 的各種假想的無相互作用的波色粒子的能量之和，這種粒子稱為準(zhǔn)粒子。 vu,).()()()(),(),()()()(),(*trvtrutrtrvtrutr/)(,)(tiEtiEetet).()()()()|2();()()()()|2(2*0202020rvErurUrvUVTruErvrUruUVTtraptrapvu,KnEConstEConstK.KE第六章 波色系統(tǒng)：超流性6.1液He中的超流相變自然界中的氦有兩種穩(wěn)定的同位素： 和 。 是費(fèi)米子， 是玻色子。氦原子間相互作用很弱，原子的質(zhì)量很小從而零點(diǎn)振動(dòng)能很大，這使得在常壓下直到接近絕對零度氦仍可

17、堅(jiān)持液態(tài)。在很低的溫度下，量子效應(yīng)起主導(dǎo)作用，因此液氦是典型的量子液體。液He有兩個(gè)不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿飽和蒸汽壓曲線降溫，在溫度T=2.18K和比容v=46.2/原子處發(fā)生He I到He II的相變。相變無潛熱和體積變化，在相變點(diǎn)比熱以對數(shù)方式趨于無窮大，闡明這是二級相變。比熱線很像，因此此相變又稱為相比，曲線AB稱為線。在T=0附近，比熱以 規(guī)律趨于零。3He4He3He4He3T6.2 液He II的特性 二流體模型液He II的特性：液He II能沿極細(xì)的毛細(xì)管流動(dòng)而不呈現(xiàn)任何粘滯性，這稱為超流性。而且存在一個(gè)臨界速度，在這個(gè)速度以上，超流性被破壞。如用

18、一細(xì)絲懸掛一薄圓盤浸泡在液He II里，并讓圓盤作改動(dòng)振動(dòng)，可以用來測粘滯系數(shù)。結(jié)果比“毛細(xì)管法測得的大10倍與正常相的類似。且測得的系數(shù)劇烈依賴于溫度，隨T0K而趨于零。當(dāng)液He II由容器A經(jīng)過多孔塞或極細(xì)的毛細(xì)管流出時(shí)，A內(nèi)液He II的溫度升高見右以下圖。這稱為機(jī)械熱效應(yīng)，其逆過程稱為熱機(jī)械效應(yīng)。液He II的熱導(dǎo)率很大，數(shù)量級為室溫下銅的800 倍，而且其熱導(dǎo)與通常流體不同，并不正比于 溫度梯度。二流體模型的解釋：二流體模型的解釋：液液He II由正常流體和超流體兩種成分組成。超流由正常流體和超流體兩種成分組成。超流體沒有粘滯性，熵也為零；正常流體具有粘滯體沒有粘滯性，熵也為零；正常

19、流體具有粘滯性和熵，用性和熵，用 和和 表示超流體和正常流體的質(zhì)表示超流體和正常流體的質(zhì)量密度，速度場為量密度，速度場為 和和 ，那么總質(zhì)量密度，那么總質(zhì)量密度為：為： ，總質(zhì)量流為：，總質(zhì)量流為： snnsTT/ssvnvnnssvvvT=0K時(shí)，全部液體為超流體； 時(shí)，全部為正常成分。二者之間時(shí) 是溫度的函數(shù)。超流成分的速度場是無旋的，即 。且兩種流體成分可以相對流動(dòng)而彼此間無摩擦無動(dòng)量交換。0sv只需超流成分可經(jīng)過毛細(xì)管，這解釋了特性一；只需正常流體成分才對圓盤振動(dòng)起阻尼作用，這解釋了特性二；機(jī)械制熱效應(yīng)：由毛細(xì)管流出的只是超流成分，不帶走熵。因此容器內(nèi)流體的單位質(zhì)量的熵將添加，導(dǎo)致溫度

20、添加。這解釋了特性三；特性四：想象均勻溫度的液He II中，某點(diǎn)附近溫度忽然稍稍上升。按二流體模型，熱點(diǎn)的 要添加，而 將減小，呵斥兩種成分的密度漲落。為恢復(fù)平衡，熱點(diǎn)附近的超流成分將向熱點(diǎn)流動(dòng)，同時(shí)正常成分將向反方向流動(dòng)而分開熱點(diǎn)，這稱作“內(nèi)運(yùn)流。這種內(nèi)部調(diào)整進(jìn)展的很快，使液He II有極好的導(dǎo)熱性。由于液He II中有兩種成分，朗道預(yù)言He II中會有兩種獨(dú)立的振動(dòng)波：假設(shè) 和 方向一致，那么振動(dòng)波傳送密度和壓強(qiáng)的變化，這是普通的聲(第一聲)；假設(shè) 和 方向相反，那么能夠在堅(jiān)持總密度 根本不變的情況下， 分別有漲落。由于超流成分熵為零， 的漲落決議了熵密度的漲落和溫度的漲落如下圖。 /n/

21、ssvnvsvnvnsns,n6.3 超流體的渦旋運(yùn)動(dòng)昂薩格和費(fèi)因曼在實(shí)際上指出，在液He II的基態(tài)或液He II的超流成分中，可以存在一種“組織化的運(yùn)動(dòng)-量子化的渦旋。設(shè)N個(gè)玻色子組成的超流體的基態(tài)波函數(shù)為 ，假設(shè)液He II相以勻速 運(yùn)動(dòng)，那么系統(tǒng)波函數(shù)為：這里 是超流體宏觀運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，R是質(zhì)心坐標(biāo)。假設(shè)各粒子 不均勻，在部分意義上上式仍是一個(gè)較好的近似。即在比速度發(fā)生顯著變化的間隔小得多的范圍內(nèi)，由部分位移引起的波函數(shù)的相位變化為：如今思索超流體的渦旋。想象液He II相中的一個(gè)閉合環(huán)，使環(huán)上每一原子從其原位置移到其最近鄰位置上。由于波函數(shù)的對稱性，波函數(shù)不變。因此這種位移引起的波函數(shù)

22、的相位變化必為2的整數(shù)倍，即留意求和只對環(huán)上的一切原子求和，對宏觀尺度的閉合環(huán)，求和可換為積分：這闡明，環(huán)流是量子化的，環(huán)流量子為h/m。由此可證超流成分的無旋性。由斯托克斯定理，S為積分回路包圍的曲面面積。假設(shè)此區(qū)域是單連通的，且流速 在S內(nèi)處處延續(xù)，那么左方的積分可以隨S延續(xù)地趨于零，但右方不能延續(xù)變化，故只需 。 0svNjjsRpirNNmvies1exp00ssNmvpsvjjsrvmj)(),2,1,0(2)(nnrvmjjsj),2,1,0(nmhndlvs),2,1,0()(nmhndsvSssv0sv但對復(fù)連通區(qū)域或 有奇點(diǎn)的情形上式不成立。如一個(gè)中心在r=0處的柱對稱的渦旋

23、，其速度場為 。r=0是v的奇點(diǎn)。除渦旋軸r=0外，我們?nèi)杂?，但對以r=0為中心且垂直于z軸的圓的積分回路，我們有實(shí)驗(yàn)已觀測到量子化渦旋，其半徑為1左右。圓柱型容器中超流體的旋轉(zhuǎn)：對正常液體，由于重力和離心力，液體的自在外表呈拋物面狀：對超流體又如何？實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)超流體和正常液體的外形是一樣的。如何與 的假設(shè)協(xié)調(diào)？如右圖，思索一系列相互平行的渦旋線的均勻分布陣列。sv)0 ,0(),(rvvvvzr0sv),2,1,0(2nmhnrvdlvsgrzrz2)0()(220sv每一最小渦旋的環(huán)流為h/m，以N表示單位面積的渦旋線數(shù)。思索半徑為r及r+dr的兩園之間的封鎖面元。渦旋線環(huán)流之和是N2rd

24、rh/m。除去r和r+dr的園邊境外，相鄰渦旋的速度場彼此抵消。另一方面，面元周界內(nèi)的凈環(huán)流又可以計(jì)算如下：兩種算法的結(jié)果應(yīng)相等，故有假設(shè)要超流體和正常液體以一樣的方式旋轉(zhuǎn)，只需取 即可。渦旋線間的間隔 ，當(dāng)=1rad/s時(shí)，d約為0.1mm量級，這遠(yuǎn)比量子化渦旋大。)(22)(2)(rvdrvdrrdvvdrrvdhrmN)(hmConstN/2.Nd/16.4 朗道超流實(shí)際朗道實(shí)際的根本圖像是把液He II看成受弱激發(fā)的量子波色系統(tǒng)，弱激發(fā)態(tài)與基態(tài)(T=0K)的偏離表現(xiàn)為在安穩(wěn)的背景上出現(xiàn)了由元激發(fā)或準(zhǔn)粒子組成的氣體，后者與二流體模型中的正常液體成分對應(yīng)，而前者代表超流成分回想上章最后一節(jié)

25、的另一個(gè)例子。當(dāng)溫度很低時(shí)，元激發(fā)的密度很低，可以把它們看作元激發(fā)的理想氣體。令p和(p)代表元激發(fā)的動(dòng)量和能量，n(p)表示相應(yīng)的元激發(fā)數(shù)，那么系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)的總能量和動(dòng)量為：朗道進(jìn)一步假設(shè)液He II中存在兩種不同的波色型元激發(fā)準(zhǔn)粒子，即聲子和旋子。當(dāng)時(shí)，液He II的比熱隨 變化，這是聲子的特征，其能譜為=cp，c為聲子速度。當(dāng)溫度稍高時(shí)，比熱有一如exp-/kBT的附加項(xiàng)，其中為常數(shù)。由此推測對較大的動(dòng)量，元激發(fā)能量有一個(gè)能隙，朗道假定在這個(gè)動(dòng)量范圍內(nèi)能譜為： 是旋子的有效質(zhì)量。熱力學(xué)性質(zhì)：這里準(zhǔn)粒子被看作是理想波色氣體，準(zhǔn)粒子數(shù)目不確定，系統(tǒng)的化學(xué)勢為零。準(zhǔn)粒子在能量 的平均占據(jù)數(shù)為：

26、由此可得內(nèi)能： 和定容比熱ppppnPppnEE.)(, )()(0TT 3T*202*202)(2)()(mkkmpppk*mk,1/1kenk,1202200kekdkVEnEUkkkkVVTUC因此聲子部分奉獻(xiàn)的比熱為：旋子奉獻(xiàn)的比熱在假設(shè) 為小量時(shí)，可得這些結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合的很好。超流的臨界速度：設(shè)質(zhì)量為M的超流體以宏觀速度v運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量和能量為：因此動(dòng)量和能量的任何變化必滿足：設(shè)這一變化是由超流體產(chǎn)生了一個(gè)新的元激發(fā)引起，其動(dòng)量為p，能量為(p)。按能量和動(dòng)量守恒，元激發(fā)的動(dòng)量和能量必由耗費(fèi)超流體的宏觀流動(dòng)的動(dòng)量和能量而來，故因此我們有 或 。上式闡明，要能產(chǎn)生元激發(fā)，必需超流體的宏觀

27、流速大于(p)/p；反之對一切小于(p)/p的v值，那么由于宏觀流動(dòng)而產(chǎn)生新的元激發(fā)是不能夠的，即流體繼續(xù)堅(jiān)持超流。由此得到超流判據(jù)： 即為超流的臨界速度。由此易知自在粒子能譜 不能夠有超流，因332聲)(15)(2cTkvNkCBB/TkB2/3/20*旋)2()(2TkvekmNkCBTkBBMPMvEMvP221,22PvEEpPp)(,vppvp)(ppv/ )(cvppvmin)(cvmpp2)(2. 02)(minminmpppvc6.5簡并性近理想波色氣體 波戈留波夫變換這里我們用一個(gè)簡并型近理想波色氣體模型來來微觀地給出液He II的聲子能譜。近理想氣體是稀薄的即密度低，相互作

28、用很弱可以看作微擾的粒子系統(tǒng)。此外我們僅思索系統(tǒng)的低溫性質(zhì)，這時(shí)量子效應(yīng)很明顯。幾個(gè)相關(guān)參數(shù)： 散射長度a,它反映相互作用勢的強(qiáng)度和作用范圍； 平均熱波長 ，它代表粒子波包的平均空間范圍，屬于量子效應(yīng)，低溫時(shí) 可以很大； 粒子間平均間隔l， n為氣體密度。我們假定這三個(gè)參數(shù)間有如下關(guān)系：因此相互作用可以按小量 展開。哈密頓量及其簡化：設(shè)近理想波色氣體由N個(gè)全同的，自旋為零的波色子組成，系統(tǒng)哈密頓量為：采用二次量子化表述，上式可寫為：其中第二式的求和要滿足動(dòng)量守恒條件， 及 分別為動(dòng)量為p的單粒子態(tài)的產(chǎn)生和湮滅算符，它們滿足波色算符的對易關(guān)系：相互作用矩陣元為其中 是動(dòng)量為p的單粒子態(tài)的波函數(shù)。

29、TT3/1nl)為容器線度(;LLllaaTTTa/jijiNiiHHrrumpHint012)( 212,| |21,212212121,2121int20pppppppppppaaaappuppHaampHpa pa .0,ppppppppaaaaaa),()()( )()(| |12212*1*231321211221rrrrurrrdrdppupppppprpipeVr1)(把波函數(shù)表達(dá)式代入即可得這里在低溫下，由量子力學(xué)低能散射的波恩近似，對散射長度a我們有:在低能散射下，動(dòng)量轉(zhuǎn)移p很小，可取近似 。因此因此體系的哈密頓量可寫為：再進(jìn)一步，我們可以思索波戈留波夫近似，即 和 近似地代之以C數(shù)可交換數(shù) 。而且由于我們只思索低激發(fā)態(tài)，有：因此 和 可看作小量，我們只保管到二次項(xiàng)，而略去三次及以上的高階小量。故其中二次項(xiàng)的六項(xiàng)近似為 。因此哈密頓量最終近似為： , )(1| |/ )(32