揚(yáng)大高等代數(shù)北大三版--第五章二次型ppt課件

1、高等代數(shù)5二次型第五章 二次型n 學(xué)時(shí)：10學(xué)時(shí)。n 教學(xué)手段：n 講授和討論相結(jié)合，學(xué)生課堂練習(xí)，演練習(xí)題與輔導(dǎo)答疑相結(jié)合。n 基本內(nèi)容和教學(xué)目的：n 基本內(nèi)容： 二次型的矩陣表示、標(biāo)準(zhǔn)型、唯一性、正定二次型。n 教學(xué)目的：n 1、了解二次型的概念，二次型的矩陣表示。n 2、會(huì)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范性。n 3、掌握二次型的慣性定理，正定二次型。n 本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)：n 重點(diǎn)：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范性 。n 難點(diǎn)：正定二次型。高等代數(shù)5二次型5.1二次型的矩陣表示高等代數(shù)5二次型一 問題提出 平面解析 一次曲線：Ax + By + C = 0 (直線)； 二次曲線：Ax2 + Bxy + Cy

2、2 + Dx + Ey = F 經(jīng)平移 變換化成為 au2 + buv + cv2 = d 經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化成為 a/x/2 + b/y/2 = d/ (二次齊次多項(xiàng)式) 可根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù) 確定曲線類型橢圓、拋物線、雙曲線等）； 空間解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次項(xiàng)） Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世紀(jì)上半期表示方法) 通過方程變形，選定主軸方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，可化簡(jiǎn)為 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ 據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)確定二次曲面的分類高等代數(shù)5二次型 更

3、一般的問題： 數(shù)域P上含n個(gè)變量x1,x2,xn的二次齊次多項(xiàng)式如何化成平方和形式，即標(biāo)準(zhǔn)型問題，是18世紀(jì)中期提出的一個(gè)課題 本章中心問題: n元二次型化標(biāo)準(zhǔn)型平方和的問題.二、二次型的概念及性質(zhì)1.定義1 數(shù)域P上n元二次齊次多項(xiàng)式近代表示式） f (x1, x2, , xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2a1nx1xn + a22x22 + 2a23x2x3 + + 2a2nx2xn + a33 x32 + + 2a3n x3xn + ann xn2 稱為P上n元二次型，簡(jiǎn)稱二次型；當(dāng)P = R時(shí)，為實(shí)二次型、 當(dāng)P = C時(shí)，為復(fù)二次型.高等

4、代數(shù)5二次型*1 f (x1, x2, , xn) 是 PnP 的n元函數(shù)；*2 f (x1, x2, , xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x2x2 + + a2nx2xn + an1xnx1 + an2xnx2 + + annxnxn = 111211212222/121112121221, , ,X AX( , , , )( , , A(),( ,1,2, ,),XAAr Annnnijijnijnnnnnijinnijjxxaaaxaaaxa x xxxaaai jnxxaaaxf xxxf xx其中的矩陣且 稱 為，

5、 的秩( )稱為 )nx 的秩.f (x1, x2, , xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + + 2a1nx1xn + a22x22 + + 2a2nx2xn + annxnn . 高等代數(shù)5二次型*3 性質(zhì)： 1) 在二次型 f (x1, x2, , xn) = X/AX中，矩陣A為對(duì)稱矩陣； 2把一階矩陣A = (a)看成數(shù)a, 則一元二次型 f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX； 3) 數(shù)域P上， f (x1, x2, , xn) 與n階對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng).證明分析： 由*2可知，任一二次型都對(duì)應(yīng)某對(duì)稱矩陣A，即*2給出對(duì)應(yīng)法則： f

6、 (x1, x2, , xn) A . 設(shè)f (x1, x2, , xn) 在下對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為A，B，即 f (x1, x2, , xn) = X/AX = X/BX，故知 A = B，即是 n 元二次型與 n 階對(duì)稱矩陣之間的映射. 設(shè)A是數(shù)域P上任一n階對(duì)稱矩陣，則X/AX的展開式顯然是數(shù)域P上的n元二次型，即是滿射，而為單射則是顯然的，故是雙射. 高等代數(shù)5二次型2 線性替換 平面解析中，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)和中心重合時(shí)，有心二次曲線一般 方程為ax2 + 2bxy + cy2 = f (例：13x2 10 xy +13y2 = 72), 將坐標(biāo)軸 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0 (例：450),即有坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式

7、/22cos45sin45()sincossinsin45cos454x9y36cosxxyxxyyxyxyy /將標(biāo) 稱轉(zhuǎn)（=為+）線換代入原方程，其化成準(zhǔn)方程如上旋式性替公. y y / x/ x高等代數(shù)5二次型定義2 將變量 x1, x2, , xn 用 y1, y2, , yn 線性表示的變換稱為由x1, x2, , xn 到 y1, y2, , yn 的線性替換簡(jiǎn)稱變量的線性替換）.111112212211222211221(,1,2,1,2,4)()nnnnnniijjjijnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc yincPi jn*1 線性替換

8、的矩陣表示：X = CY，C稱為線性替換(4)的矩陣；當(dāng)C可逆時(shí)，稱(4)為非退化可逆線性替換；C不可逆時(shí)，稱(4)為退化非可逆線性替換，其中 1112111212222212C,X,Y.nnnnnnnncccxycccxycccxy1111211221222212XCYnnnnnnnnxcccyxcccyxcccy高等代數(shù)5二次型*2 性質(zhì)： 4) 若C可逆，則X = CY是可逆線性替換，且Y = C1X也是可逆的線性替換； 5) f (x1, x2, , xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，經(jīng)線性替換 X = CY 化成 f (x1, x2, , xn) = Y/BY ，那么

9、 B = C/AC .證明： f (x1, x2, , xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY.由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C/ = C/AC = B Y/BY 是 P 上 n 元二次型，且 B = C/AC 成立. 6) 二次型的秩在變量的線性替換下保持不變性質(zhì)5的推論）證明： 如5), 在線性替換X = CY下f (x1, x2, , xn) = X/AX = Y/BY B = C/AC , C可逆 A，B的秩相同，即二次型X/AX 與 Y/BY的秩相同 題設(shè)結(jié)論成立. 性質(zhì)5給出矩陣之間的一種相互關(guān)系，故引入以下概念 高等代

10、數(shù)5二次型三 矩陣的合同關(guān)系定義2 數(shù)域P上 n 階矩陣 A，B 稱為合同的，如果存在P上的 n 階可逆矩陣 C，使得 B = C/AC .*1 合同的性質(zhì)： 7) 矩陣合同是Mn(P) = AA為P上n階矩陣 上的等價(jià)關(guān)系, 即 (1) 合同具有自反性 （ A = E/AE，即A與A合同 ）； (2) 合同具有對(duì)稱性 （ B = C/AC A = (C1)/BC1 ）； (3) 合同具有傳遞性 （ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）. 8) 線性替換X = CY下 f (x1, x2, , xn) =

11、 X/AX = Y/BY, 因B = C/AC,故： X = CY為可逆線性替換時(shí)，二次型 X/AX 與 Y/BY的矩陣合同; 為用矩陣來研究這類二次型的變換奠定了基礎(chǔ)，提供了思路；高等代數(shù)5二次型 9) 合同的矩陣具有相同的秩； 10) 與對(duì)稱矩陣合同的矩陣仍是對(duì)稱矩陣. 證明： 9) 設(shè)A, B合同，即B = C/AC, 且C可逆，故A, B同秩. 10) 設(shè)A/ = A，B = C/AC， C可逆 B/ = (C/AC)/ = C/AC = B. *2 為什么在變換二次型時(shí)，總要求用非退化的線性替換即C為可逆矩陣）？ 事實(shí)上，當(dāng)X = C/ Y 是非退還的線性替換時(shí)， 可得 Y = C

12、1X成立， 故原二次型 X/AX 與變換后的二次型 Y/BY 是可以互化的，這樣就使我們從變換所得二次型 Y/BY 的性質(zhì)可以推知原來二次型X/AX的性質(zhì). 高等代數(shù)5二次型5.2標(biāo)準(zhǔn)型n 中心問題： n討論用非提化的線性替換化二次型成最簡(jiǎn)形式，即平方和的形式：nd1x12 + d2x22 + + dnxn2高等代數(shù)5二次型證明：證明： （配方法）（配方法） 對(duì)對(duì) n 進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.n = 1： f (x1) = a11x12, 已是已是(1)的形式，命題成立的形式，命題成立. 假定假定 n1 時(shí)命題成立，現(xiàn)證時(shí)命題成立，現(xiàn)證 n 時(shí)命題成立時(shí)命題成立. 分以下情形討論：分以下情形

13、討論： 1) aii ( i = 1, 2, , n )中至少有一個(gè)非中至少有一個(gè)非0，如，如a110 定理定理1 數(shù)域數(shù)域 P 上任一二次型都可經(jīng)過非退化的線性替上任一二次型都可經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和的形式換變成平方和的形式 d1x12 + d2x22 + + dnxn2 (1)f (x1, x2 , , xn) = a11x12 +2a12x1x2 +2a13x1x3 +2a1nx1xn + a22x22 +2a23x2x3 +2a2nx2xn + annxn221211 111222212211111112211112212211122122( , , , )22()()() n

14、nnnjjijijjijnnnnnnnnijijijf xxxa xa x xa x xaxx aa xa xaa xa xaa xa xa x x a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2a1nx1xn = a11x12 + 2a111 (a12x2 + a13x3 + + a1nxn) * A2 + 2AB + B2 = (A+B)2高等代數(shù)5二次型122211111111122221212111111111222212111111222111111222()() ()()()nnnnjjjjijijjjijnnnnjjjjijijjjijnnnjjijijji

15、jnjjjnaxaa xaa xa x xaxaa xaa xa x xaxaa xb x xyxaa xyxy 令1111112122111112111111010001njjjnnnnxyaayXC YxyxxyaaaaCXC Y ，其中可逆，故 2 22, 1nnnijijijxxnb x x為的元二次型,故表示為高等代數(shù)5二次型2121112222222222222112222222( , , , )nnnijijijnnnnijijijnnnnnnnnnnnnnnf xxxa yb y yzc yc yb y yzc yc yd zd zzyzc yc yzc yc y 歸納假定存在

16、非退化的線性替換使得以上成平方和 存在非退化的線性替換222221211 122(,),( , , , ).nnnZC Y Cf xxxa zd zd z可逆使得 故命題成立2222210000nnnnccCcc2222210000nnnnccCcc高等代數(shù)5二次型 2) 所有aii = 0(i =1, 2, n), 但至少有一個(gè)a1j0 (j = 2, n) 不失普遍性，不妨設(shè)a120 令11221233333311 001 1 00(, C)0 0 100 0 01 nnxzzxzzxzXC ZxzCXCY可逆，故 是非退化線性替換，且高等代數(shù)5二次型221212121211232322(

17、1)112121211223123212343433(1)1112213 1 32( , , , )222222()()2()2()2()22222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxa x xa x xa x xa x xaxxazzzzazzzazzzazzza z za z zaza zazzza z1323111223 1 3232321223434(1111)2122222222,2)2.120nnnnnnnnnnnnnzznza z za z za z za z za z za z za z za z zazza上式右端是的元二次型，且 的系數(shù)化歸為 的情形故命題成立高

18、等代數(shù)5二次型111212131112223)00( , , , )1nnnnnijijijaaaaaaf x xxa xxn 對(duì)稱性是元二次型，據(jù)歸納假定，可化成平方和形式故命題成立. ,2211 1nn/1C/n2*11 21( , , )X AXdAM (P),AAC AC=D=dX CY Cnf xxfd zd zZ DZ 可逆可逆矩陣定理 ，的內(nèi)在聯(lián)系：定理定理2 數(shù)域 P上任一對(duì)稱矩陣合同于對(duì)角矩陣,/1112211221/()()( (,)(,).)XCYnXCZCnnnAAX AXfxxdX AXCZA CZzd zd zzzdzZ DZDCZC AC ZZ DCZAAD 可逆

19、：，即證合同于對(duì)角矩陣明高等代數(shù)5二次型 P上n元二次型全體 Mn (P) Af (x1, ,xn) X=CY B=C/AC Bn 定理2的意義： 化n元二次型X/AX成標(biāo)準(zhǔn)型問題n 尋找一個(gè)可逆矩陣C，使得A與對(duì)角矩陣D在C下合n 同D=C/AC），而定理2說明這樣的C一定存在 n 如何找到這個(gè)C即為進(jìn)一步要解決的問題： C=?時(shí)，時(shí)，B= D？高等代數(shù)5二次型11/12/1212/2112/1/121211()(1 2,()()1( , )A)DijijCsisssPPijijsCDC ACDC ACDCPPPPisC ACPPPA PPPPP PPP P AP PPAPPPP APPP

20、i jP APP AP 可逆： 如何確定可逆矩陣 ，使為對(duì)角矩陣？設(shè)， 為對(duì)角矩陣其中 為初等矩陣，）的意義：)對(duì) 作交分析/( )( )/11( , ( )( , ( )/112)( )( )( )3)( , ( )( , ( )( , ( )iiDkD kiiiT i j kT j i kPD kP APD k AD kAikikPT i j kP APT i j kAT j i kAikjAikjAA 小結(jié)換列的變換的同時(shí)交換兩行；對(duì)第 列倍同時(shí)對(duì)第 行倍；把 的第 列 倍加到第 列上同時(shí)把 的第 行 倍加到第 行上對(duì) 進(jìn)行一次初等行變換，立即對(duì) 進(jìn)行同樣類.AD型的初等列變換，即可將

21、化成對(duì)角矩陣高等代數(shù)5二次型1 21 2/s211 21 21231 22 31 31,.( , , )262.ssAsEsCPPPEPPPAEADPP P APPPECEPPPDCf x xxx xx xx xx對(duì) 作成對(duì)行、列變換對(duì) 作同上的列變換對(duì)進(jìn)行一系列成對(duì)的行、列變換同時(shí)，對(duì)單位矩陣施行同樣的列變換 即求得的同時(shí)也求得了 化成標(biāo)準(zhǔn)型解法一： （配方法） 作線性替換例例 1 11211113122233311011 0()001yyxyxyyxyxyxXCyY高等代數(shù)5二次型2221131231223131212221231231213232223322322231131132222

22、1333333( , , )2622()()6()2()22482()2()822228yy yyf xxxx xx xx xyyyyyyyyyyyyy yy yyyyy yyy yzyyyzzyyzyyzzyyz再取線性替換為1122332222123131222222223333222233213101010001( , (), )222222(2)(2) 222(2)628yzyzyzf xxxzzzzzzzzzzzzzYC Zzz z高等代數(shù)5二次型1111112232232233333322212323112123123123100 22012001()( , , )2w2w6w ,

23、()()(), wzzwzwwzzzwwzwwzzwzwf xxxXCYC C ZCC CWCC CZCWWCWCCC令其非退化的線性替換為 其中311010110011311 0010012111001001001001C ；解法二： （初等變換）高等代數(shù)5二次型2121/1231 22 31 31123233( , , )262011A =( , , ) 103E1300111122121031031130130100100010010001001rrccf x xxx xx xx xX AXxx xxxx 上上1303230100110001r r 上高等代數(shù)5二次型1122113122

24、2102122101103102022022022022100101101110111111001001001200102202211121112001rrcccc 上上上23223424200200110200220060061111132211111122001001rrrcc 上上高等代數(shù)5二次型22/1231232002000100200062001130061020 ,1111311320060011111112001000( , , )200, , 020006cDCXCZf x xxX AXZ DZzzz在非退化線性替換下，1122221232123332 , 2 , 6226

25、.P237 1.2) 4) 6)23zzzzzzzzzzzz 作業(yè)：習(xí)題； ； ；習(xí)題 ；習(xí)題 .高等代數(shù)5二次型5.3 唯一性高等代數(shù)5二次型問題提出：二次型問題提出：二次型f (x1, x2, x3)=2x1x2+2x1x36x2x3經(jīng)過不同的線性替換，其結(jié)果不同經(jīng)過不同的線性替換，其結(jié)果不同 X=C1W 下，f = 2w122w22 + 6w32； X=C2Y 下，f = 2y1221y22 +231y32 . 其中111122331111111122221133113113111 ,111001001123123123,123003003xwCXCWxwxwxyCXCYxyxy 1/1

26、23211111130 11( , , ) 103() ()()13 01 1 0 0 111 131 12 1 132011 0 103 1111 1411131 1 13 00 010 060 01xfx x xxX AXCW ACWW CAC WD CACx 11/2221232123212333002 0006200(w, w, w) 02 0(2 , 2 , 6 )226006wwfWDWwwwwwwwwww高等代數(shù)5二次型 P上n元二次型全體 Mn (P) Af (x1, ,xn) X=CY B=C/AC B 回顧上一節(jié)內(nèi)容，有以下事實(shí)成立： 同一二次型在不同線性替換下的矩陣合同.

27、C=?時(shí)，時(shí)，B= D？ X=C1W B1高等代數(shù)5二次型 n元二次型全體 Mn(P) A f (x1, xn) X=C1W D1 D2 X=C2Y 問題：?jiǎn)栴}： 同一二次型同一二次型 f 在恰當(dāng)?shù)目赡婢€性替換下的矩陣在恰當(dāng)?shù)目赡婢€性替換下的矩陣是對(duì)角矩陣，但不同的這樣的可逆線性替換下的對(duì)角是對(duì)角矩陣，但不同的這樣的可逆線性替換下的對(duì)角矩陣不同，即所化成的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一矩陣不同，即所化成的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一 .問題：如何處理，可將二次型所化成的標(biāo)準(zhǔn)型唯一確定？問題：如何處理，可將二次型所化成的標(biāo)準(zhǔn)型唯一確定？ 高等代數(shù)5二次型一一 二次型的秩二次型的秩*1 A，B(Mn(P)合同 存在可逆矩陣C，B

28、= C/AC 因C可逆，故 r(A) = r(B) ，即合同矩陣的秩相等；*2 原二次型 X/AX 經(jīng) X = CY (C可逆) 化成新二次型Y/ BY, 則A，B合同 新、舊二次型的矩陣秩相同，即可逆的線性替換不改變?cè)涡偷木仃嚨闹?，該秩刻畫了二次型的一種本質(zhì)屬性 引入以下概念：1. 定義： 二次型 f (x1, x2, , xn) = X/AX 中矩陣A的秩稱為二次型 f 的秩；2. 性質(zhì)： 1) 可逆線性替換不改變二次型的秩；高等代數(shù)5二次型/2211/2) ,()0,121), , 1(,rrifX AXrfd yd yrXCYXCYr ArXCYX AXY DYDdirrn*二次型

29、 的秩標(biāo)準(zhǔn)型 其中 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于該二次型的秩 ，它與所做的可逆線性替換無關(guān)； 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中非零項(xiàng)的系數(shù)不唯一，它與所取的線性替換有關(guān)， 證明： 據(jù)題設(shè)，設(shè)可逆線性替換下，所化成的標(biāo)準(zhǔn)型為 *為對(duì)/1111112211(), ,0,000(0,1, , 1).rrnrrrrnnrrir DrrrY DYdyydyyyyd yd yyyyd yd ydirrn角矩陣，且秩為 的對(duì)角矩陣其主對(duì)角線上的非零元素有且僅有個(gè)故為 高等代數(shù)5二次型二二 復(fù)二次型復(fù)二次型 （復(fù)數(shù)域（復(fù)數(shù)域C C上的二次型）上的二次型）1. 規(guī)范型： z12 + z22 + + zr2 稱為復(fù)二次型的規(guī)

30、范型.2. 定理3 任一復(fù)二次型經(jīng)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換可化成 規(guī)范型，且規(guī)范型唯一. * 該定理的矩陣語言描述：任一秩為 r 的復(fù)對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)對(duì)角矩陣1100r高等代數(shù)5二次型證明：證明： 設(shè)復(fù)二次型設(shè)復(fù)二次型 f = X/AX , r(A) = r 存在可逆線性替存在可逆線性替換換X= C1Y(C1可逆可逆) , 使使f = X/AX = (C1Y)/A(C1Y) =Y(C1/AC1 )Y= d1y12 + + dryr2 (di=1,r, 1rn) 取可逆線性替取可逆線性替換換11111111/22221 1111122111111() )rrrrrrrrnnnnrrryzddyzyz

31、yzddyzyzyzfX AXd yd yzzXCYCYC ZC Z 規(guī)范型；又 是可逆線性替換. 唯一性是顯然的.高等代數(shù)5二次型3. 兩復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是其秩相等/2./1/11 /11 , ( )., ( )( )( )( )( )( )0(Q )QB()(),00AB.nCnnrA BMCA BCMCBC ACr Ar Br Ar BPQMCP APQ BQEP APPQA PQBPQ 可逆：是對(duì)稱矩陣設(shè)合同可逆，；可逆 ，且 可逆，證合同明明 (復(fù)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系可分為n+1個(gè)不同的類)； 復(fù)二次型共有n+1個(gè)不同的類型,其秩為決定因素.高等代數(shù)5二次型三三 實(shí)二次型實(shí)二次

32、型lz12 zp2zP+12zr2 稱為實(shí)二次型的規(guī)范型 規(guī)范型完全由 p, r 所確定 (其中r為二次型的秩，它確定了規(guī)范型中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，p 確定了規(guī)范型中正、負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)）.l 定理4慣性定理） 任一實(shí)二次型經(jīng)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換可化成規(guī)范型，且規(guī)范型唯一.高等代數(shù)5二次型111222211 1111,1111111 ( ,) ( ,)0,1, , 111nnpppprrrrrrrnY CrCnXrf xxrf xxd yd ydyd ydirrnRyzdyyyzdyyzyyz 可逆： 設(shè)實(shí)二次型的秩（適當(dāng)排序）, 其中 在內(nèi)，可取如下可逆線性替換證明1111222211 111222211

33、2112(1111(),)zzzzrrnnnpppprrpprdzzzdzf xxd yd yYC ZXCYd yXCdyC Z（ ）.高等代數(shù)5二次型22221122221111222222221111.(, , )(, , z)zzz.,XBYpprXCZqnqrpprqnqrff xxf xxpqpqpXBY XCZyyyyyyyyzzzqzrr 據(jù)題設(shè)現(xiàn)證唯一性 設(shè)經(jīng)可逆線性替換化成規(guī)范型 現(xiàn)在證明 用反證法，假定 不妨設(shè)秩秩 11111121212221111122112212111 CZ(9)0, 0, nnnnnnnnnnnnqnpnnnCZBYC BGGgggXBYXZC BY

34、zg yg yzg yggggGgggzyzg yzzygyy化得化 得，即 令，則 可逆，取取考 察齊次線性方程組11 112 211 12 21(100)000n nqqqn npng yg yg yg yg yg yyy 高等代數(shù)5二次型111122111221P112111111()00(10)100010(, , , , , )( , , , , (), )=nnqqqnnpnppnppnpg yg yg yg ygyg yyyyyyynqnpnpqnkkkkk ，定理個(gè)未知量，含有（ ） 個(gè)方程組（ ）含有（ ）有非零解，設(shè)為顯然 方程1111, , , , 22222, 1012

35、221111221110( , , , , , )90,( , , , 0 ,)ppnpprqqnppnkkkkrpqppnfyyyyzzzzkkf kkkkkzzf kkkk 是（）的解，代入下式左端得值 ； 通過（ ）將其代入上式的右端故得值 2210 .qrzzpqpqpq出現(xiàn)矛盾，這說明 ；同理可證 高等代數(shù)5二次型慣性定理的意義慣性定理的意義定義定義3 實(shí)二次型的規(guī)范型中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)實(shí)二次型的規(guī)范型中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) p 稱為該二次型的稱為該二次型的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) rp 稱為該二次型的負(fù)慣性稱為該二次型的負(fù)慣性指數(shù)；其差指數(shù)；其差 p (rp)

36、= 2pr 稱為該二次型的符號(hào)差稱為該二次型的符號(hào)差.*1 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型雖不唯一，但由于標(biāo)準(zhǔn)型到規(guī)范型的變換中，非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，正(負(fù))項(xiàng)個(gè)數(shù)并未發(fā)生變化 據(jù)慣性定理中規(guī)范型的唯一性可知：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中的非零項(xiàng)個(gè)數(shù)及正(負(fù))項(xiàng)個(gè)數(shù)由秩和正(負(fù))慣性指數(shù)唯一確定，即在不考慮系數(shù)數(shù)值差異的前提下，實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型唯一確定；高等代數(shù)5二次型*2 定理定理3、4的矩陣語言描述的矩陣語言描述 定理定理5：5 1)2.11111,01001A0( )11rAMANrNrr AM的個(gè)數(shù) ，非零數(shù)的個(gè)數(shù)分定理復(fù)對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)如下形式的對(duì)角矩陣 ，其中對(duì)角線上,被唯一確定； ) 實(shí)對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)如

37、下形式的對(duì)角矩陣 ，其中對(duì)角線上，被別為 正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)，( )唯一確定prrpn r高等代數(shù)5二次型*3 稱二次型 X/ AX 與 Y/BY 可互化，如果存在可逆的線性替換 X = CY，使得B = C/AC 1) X/ AX 與 Y/BY可互化當(dāng)且僅當(dāng)A，B合同； 2) 設(shè)數(shù)域 P 上 n 元二次型全體構(gòu)成集合 M(P)，則二次型的互化關(guān)系是 M(P) 的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.證明： 1) 顯然. 2) X = EX，有A = E/AE X/AX 與X/ AX可互化； X/ AX 與 Y/BY 可互化, 顯然Y/BY 與X/ AX可互化； X/ AX 與 Y/BY 可互化, Y/ BY與

38、Z/DZ 可互化 有可逆線性替換 X = C1Y, Y = C2Z, 使 B = C1/AC1, D =C2/BC2 有可逆線性替換 X = C1C2Z，使D = (C1C2)/A(C1C2) X/ AX 與 Y/BY 可互化 命題成立. 互化意義： 若存在X = CY,C可逆，且B=C/AC Y = C-1X, A = (C/)-1BC-1 = (C-1)/BC-1 X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/BY； Y/BY = (C-1X)/B(C-1X)=X/(C-1)/BC-1)X =X/AX高等代數(shù)5二次型 3) 復(fù)二次型按可互化分成 n + 1 個(gè)不同的類

39、(型).證明： 復(fù)二次型 X/AX, Y/BY 可互化 A, B合同 A, B的秩相等 復(fù)二次型 X/AX, Y/BY 的秩相等. 而秩的所有可能的結(jié)果為 r = 0, 1, , n ,共 n + 1種 命題成立. 復(fù)二次型全體M(C) 復(fù)對(duì)稱矩陣全體M(C) A f (x1,xn) g(y1,yn) Bf , g可互化,即同一類型 共n+1個(gè)不同類型高等代數(shù)5二次型(1)(2)2nn3)實(shí)實(shí)二二次次型型按按可可互互化化分分成成個(gè)個(gè)不不同同的的類類（型型）/11/11,()(, , ()()()()f gXCY CBC ACY BYX AXX AXXPZ PX AXPZfX AX gY BYf

40、 gZ DZY BYC PZA PZZ P AP ZZ DZYC XC PZBC P ：首先證明： 可互化可逆，設(shè)在可逆線性替換( 可逆)下化成即在可逆線性規(guī)范型替換可下為逆，證證明明實(shí)實(shí)二二次次型型可可互互化化有有相相同同的的秩秩，正正（負(fù)負(fù)）慣慣性性指指數(shù)數(shù)和和符符號(hào)號(hào)差差. ./1/11/)(),C PZZ P CBC PZZ P APfX AXgYZZ DBgZYf唯一性與有相同的規(guī)范型有相同的秩，正（負(fù)）慣性指數(shù)，符號(hào)差；高等代數(shù)5二次型/1/1 /111,B()()(),.1101 0 1 2f gf gXMZ YNZX AXY BYZDZDM AMN BNNMAMNMNA MNM

41、Nf gfrrrZrZ Dr設(shè)有相同的秩，正（負(fù)）慣性指數(shù)，符號(hào)差有，即 可逆線性替換,可逆可以互化當(dāng)?shù)闹葹?時(shí)，其規(guī)范型中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)可分為相同個(gè)正項(xiàng)，個(gè)正項(xiàng)， ，個(gè)正項(xiàng)， 個(gè)正項(xiàng)共 個(gè)不同類型；而秩又可分成 ，的規(guī)范，型，-1,1(n 1)(n2)1 23(1).2nnnnn ，共中不同類型共有不同類型數(shù)為 個(gè) * 用矩陣語言描述該性質(zhì)： 復(fù)對(duì)稱矩陣按合同分類共有 不同的類(1)(2)2nn高等代數(shù)5二次型 0 1 r n1 n r個(gè)正項(xiàng) r1個(gè) 1個(gè) 0個(gè) 實(shí)二次型全體M(R)1 2 3(1)(n 1)(n2)2nn 高等代數(shù)5二次型5.4正定二次型高等代數(shù)5二次型一一 正定二次型的概念正

42、定二次型的概念定義定義1 1 實(shí)二次型實(shí)二次型 f (x1, , xn) f (x1, , xn) 是正定的，如果對(duì)任是正定的，如果對(duì)任意不意不全為零的全為零的 c1, , cnRc1, , cnR， f (c1, , cn)f (c1, , cn)0 0； 實(shí)二次型實(shí)二次型 f (x1, , xn) f (x1, , xn) 是負(fù)定的，如果是負(fù)定的，如果對(duì)任意不對(duì)任意不全為零的全為零的c1, , cnRc1, , cnR， f (c1, , cn)f (c1, , cn)0 0； 實(shí)二次型實(shí)二次型 f (x1, , xn) f (x1, , xn) 是不定的，如果是不定的，如果對(duì)任意不對(duì)任意

43、不全為零的全為零的c1, , cnRc1, , cnR， f (c1, , cn)f (c1, , cn)有時(shí)有時(shí)0, 0, 有有時(shí)時(shí)0 0 ； 正定二次型的矩陣稱為正定矩陣；正定二次型的矩陣稱為正定矩陣； f (x1, , xn) = x12 + + xn2 是正定二次型； f (x1, , xn) = d1x12 + + d2xn2 是正定的充要條件為 di0, i = 1, 2, , n .高等代數(shù)5二次型二二 正定二次型的判定正定二次型的判定1. 定理定理6 實(shí)二次型實(shí)二次型 f(x1, , x)正定的充要條件是其正定的充要條件是其正慣性指數(shù)為正慣性指數(shù)為n.1111122313221

44、 11111122,(1)01,2, 0,1,(,),nnnnnnikkknkkkxccyffxyxccyfd yXCYd ydindknyyyyXCYyxcxc ： 正定，設(shè)經(jīng)可逆線性替換化成的標(biāo)準(zhǔn)型為 其中不全為正不妨設(shè)其中（） 取， 代入得 證明明2221112211(,)001,00,00 (1,000),.knkkkknknnkknkif ccdddddxcCccRffdidnfn且不全為（否則 非可逆） 代入標(biāo)準(zhǔn)型，得不全為 的數(shù)，的值，這與正定矛盾即 的正慣性指數(shù)為1111111010kknkkknnknnnnkxccccxccccxc 高等代數(shù)5二次型C2211 1111122

45、11 1( , )0(1, ), 0, 00, , 0( , )0nnninnnnnnnfnXCYf xxd yd ydinxxyyxxRyyRf xxd yd yf 可逆正定定義設(shè)的正慣性指數(shù)為可逆線性替換，且 不全為 時(shí)，不全為不全為 的數(shù)，且不全為于是應(yīng)有是正定二次型./*1. ,.nAAnnCAC CnAfX AXXCYfX AXZ EZAnnCAC ECC C階實(shí)對(duì)稱矩陣 正定與 階單位矩陣合同階可逆矩陣 ，證明：階實(shí)對(duì)稱矩陣正定實(shí)二次型是正定的可逆線性替換與 階單位矩陣合同階可逆矩陣 ，高等代數(shù)5二次型 *2 正定矩陣的行列式大于0.證明： A正定 存在可逆矩陣C (|C|0), 使得A = C/C |A| = |C/|C| = |C|20 .111211112121222212221212/12.6(1,2, ). ( , , )0.nininnnniiiinaaaaaaaaaaaaAaaaaaainAf xxX AXA定義矩陣中的子順序主子式式稱為矩陣 的實(shí)二次型正定的順序主子式全大于定定理理7 711111121121221,kkkkaaaaaAaaaa高等代數(shù)5二次型2