平面幾何輔助線添加技法總結(jié)與例題詳解

1、第一講 注意添加平行線證題在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線 .平行線是初中平面幾何最基本的 ，也是非常重要的圖形.在證明某 些平面幾何問題時，若能依據(jù)證題的需要，添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€ 則能使證明順暢、簡潔.添加平行線證題，一般有如下 四種情況.1 為了改變角的位置大家知道，兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì)，常可通過添 加平行線，將某些角的位置改變，以滿足求解的需要 例1 設(shè)P、Q為線段 BC上兩點(diǎn)，且BP= CQ, A為BC外一動點(diǎn)（如圖1）.當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到使 / BAP= / CAQ時, ABC是什么三角形？試 證明你白結(jié)論.答：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到使

2、/ BAP= / CAQ時, ABC為等腰三角形.證明：如圖1,分別過點(diǎn)P、B作AC、AQ的平行線得交點(diǎn) D.連結(jié)DA.在DBP= /AQC 中,顯然/ DBP= /AQC,/DPB= / C.由 BP= CQ,可知 DBF AQC.有 DP= AC, / BDP= / QAC.于是,DA / BP / BAP= / BDP.則A、D、B、P四點(diǎn)共圓，且四邊形ADBP為等腰梯形.故AB=DP.所以AB=AC.這里,通過作平行線，將/QAC “平推”到BDP的位置.由于A、D、B、P四點(diǎn)共圓，使證明很順暢 例2如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形，/ BA口 / BCE求證：/ EBA= / AD

3、E.證明：如圖2,分別過點(diǎn)A、B作ED EC圖2P、R A、E四點(diǎn)共圓，緊密聯(lián)系起來./APE成為/ EBA的平行線，得交點(diǎn)P,連PE由 ABCD,易知 PB2 ECD有PA= EDPB= EC顯然,四邊形PBCE PADE均為平行四邊形.有/ BCE= / BPEZ APE= / ADE.由 / BAF= / BCE可知/ BA曰 / BPE有P、B、A、E四點(diǎn)共圓.于是，/ EBA= / APE 所以，/ EBA= / ADE.這里，通過添加平行線，使已知與未知中的四個角通過 與/ ADE相等的媒介，證法很巧妙.2 為了改變線段的位置利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”

4、這兩條，常可通過添加平行線，將某些線段“送”到恰當(dāng) 位置，以證題.例3 在4ABC中,BD> CE為角平分線為ED上任意一點(diǎn).過P分別作AC、AB、BC的垂線M、N、Q為垂足求 證：Word文檔PM + PN=PQ.證明：如圖3,過點(diǎn)P作AB的平行線交BD于F,過點(diǎn)F作BC的平行線分別交 PQ、AC于 K、G,連 PG.由BD平行/ ABC,可知點(diǎn)F到AR BC兩邊距離相等.有KQ= PN.顯然，變=空=CG，可知PG/ ECPD FD GD由CE平分/ BCA知GP平分/ FGA有PK= PM.于是,PM+PN=PK+ KQ= PQ.這里，通過添加平行線，將PQ “掐開”成兩期國導(dǎo)PM

5、=PK就有PM+PN=PQ.證法非常簡捷3 為了線段比的轉(zhuǎn)化由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得對應(yīng)線段成比例”，在一些問題中，可以通過添加平行線 線段比的良性轉(zhuǎn)化.這在平面幾何證題中是會經(jīng)常遇到的.例4設(shè)Mi、M2是4ABC的BC邊上的點(diǎn)，且BM=CM2.任作一直線分別交AB、AC、AMi、AM2于N2試證：，實(shí)現(xiàn)某些Q、Ni、AB ACAM1AM 2+ = +AP AQ ANiAN2證明：如圖4,若PQ/ BC,易證結(jié)論成立.若PQ與BC不平行，設(shè)PQ交直線BC 于D.過點(diǎn)A作PQ的平行線交直線 BC于 E.由 BMCM2,可知 BE+ CE= ME+ M2E易知AB BE AC

6、CEAP DE , AQ - DEAM 1 MiE AM 2 M2E=,=ANi DE AN 2 DEAB AC BE CE ME M2E AM i AM 2則 +=+AP AQ DEDEANiAN2m AB . AC AMi , AM 2所以，+=+AP AQ ANiAN2這里，僅僅添加了一條平行線，將求證式中的四個線段比 “通分”，使公分母為DE,于是問題迎刃而解例5 AD是 ABC的高線，K為AD上一點(diǎn)，BK交AC于ECK交AB于F.求證：/ FDA= / EDA.證明：如圖5,過點(diǎn)A作BC的平行線，分 別交直線 DE、DF、BE CF于Q、P、 N、M.顯然,BDANKD DC=KA

7、AM圖5Word文檔有 BD AM = DC AN.(2)區(qū) AP AF AM士 BD AM由"bid = 畝="bc"，有 AP= 一兄.區(qū) AQ AE AN - DC AN由石6 = EE"=前"， 有 AQ=.對比(1)、(2)、(3)有AP= AQ.顯然AD為PQ的中垂線，故AD平分/ PDQ.所以，/ FDA= / EDA這里,原題并未涉及線段比，添加BC的平行線，就有大量的比例式產(chǎn)生，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些比例式，就使AP與AQ 的相等關(guān)系顯現(xiàn)出來.4 為了線段相等的傳遞當(dāng)題目給出或求證某點(diǎn)為線段中點(diǎn)時，應(yīng)注意到平行線等分線段定理 ，用平行

8、線將線段相等的關(guān)系傳遞開去.例6 在 ABC中AD是BC邊上的中線，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，并且/ MDN = 90 ° .如果BM2+CN2=Word文檔DM2+DN2,求證：AD2= -(AE2 + AC2).4證明：如圖6,過點(diǎn)B作AC的平行線交ND延長線于E.連ME.由BD= DC,可知ED= DN有 BE必 CND.于是,BE= NC.顯然,MD為EN的中垂線.有EM = MN.由 BM2+ BE= BM2+ NC2= MD2+ DN2=MN2/ABC+ /ACB =/ABC+ / EBO 90 .EM2,可知 BEM為直角支由形，/MBE= 90。有2于是,/BA

9、C= 90 .所以 AD2= -BC =-(AB2+AC2). 24這里，添加AC的平行線，將BC的以D為中點(diǎn)的性質(zhì)傳遞給 EN,使解題找到出路.例7 如圖7,AB為半圓直徑,D為AB上一點(diǎn)，分別在半圓上取點(diǎn) E、F,使EA= DA,FB= DB.過D作AB的垂線，交半圓于 C.求證：CD平分EF 證明：如圖7,分別過點(diǎn)E、F作AB的垂線，G、H為垂足，連FA、EB易知DBFBABHB,AD2=AE2=AGAB.22二式相減 得 DB - AD =AB (HB- AG),或 (DB AD) - AB= AB (HB AG).于是,DBAD=HB AG, 或 DB- HB=AD-AG.就是 DH

10、 = GD.顯然,EG / CD / FH. 故 CD 平分 EF這里,為證明CD平分EF想到可先證CD平分GH.為此添加CD的兩條平行線 EG FH,從而得到 G H兩點(diǎn).證明很精彩.經(jīng)過一點(diǎn)的若干直線稱為一組直線束一組直線束在一條直線上截得的線段相等，在該直線的平行直線上截得的線段也相等如圖8,三直線AB、AN、AC構(gòu)成一組直線束，DE是與BC平行的直線.于是，有DMAMME=,BNANNC門口 DMMEDMBN即 =或=.BNNCMENC此式表明,DM = ME的充要條件是 BN= NC.利用平行線的這一性質(zhì)，解決某些線段相等的問題會很漂亮例8 如圖9,ABCD為四邊形，兩組對邊延長后得

11、交點(diǎn)E、F,對角線BD/ EFAC的延長線交EF于G求證：EG= GF證明：如圖9,過C作EF的平行線分別交 AE、AF于 M、N.由 BD/ EF可知 MN / BD.易知字 BEF= 3ADEF. 有 SABEC= 3A n KG- *5n DFC.可得MC= CN. 所以,EG= GF例9 如圖10,。0是4ABC的邊BC外的旁切圓，D、E、F分別為。O與BC CA、AB的切點(diǎn).若OD與EF相交于K,求證：AK平分BC.證明：如圖10,過點(diǎn)K作BC的行平線分別交直線AB、AC于Q、P兩點(diǎn)，連OP、OQ、OE、OF.由 ODLBC可知 OKLPQ.由OFLAB可知O、K、F、Q四點(diǎn)共圓，有

12、 / FOQ=Z FKQ. 由OEAC,可知O、K、P、E四點(diǎn)共圓 有/ EOP= / EKP 顯然，/ FKQ= / EKP 可知 / FOQ= / EOP.由 OF= OE,可知 RtA OFQ0 RtA OEP 則 OQ = OP.于是,OK為PQ的中垂線，故QK= KP 所以,AK平分BC圖10綜上，我們介紹了平行線在平面幾何問題中的應(yīng)用.同學(xué)們在實(shí)踐中應(yīng)注意適時添加平行線，讓平行線在平面幾 何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用第二講巧添輔助圓在某些數(shù)學(xué)問題中，巧妙添置輔助圓?？梢詼贤ㄖ本€形和圓的內(nèi)在聯(lián)系 舉例說明添置輔助圓的若干思路.，通過圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑.下面1 挖掘隱含的輔助圓解題有些

13、問題的題設(shè)或圖形本身隱含著“點(diǎn)共圓”，此時若能把握問題提供的信息 ，恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓，并合理挖掘圖形 隱含的性質(zhì)，就會使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化1.1 作出三角形的外接圓例1 如圖1,在 ABC中,AB=AC,D是底邊BC 上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)且/ BED= 2/CED= /A 求證：BD= 2CD.A分析：關(guān)鍵是尋求/ BED= 2/CED與結(jié)論的聯(lián)系 容易想到作/ BED的平分線，但因BEw ED,故不能 直接證出BD=2CD.若延長AD交ABC的外接圓 于F,則可得EB= EF從而獲取.證明：如圖1,延長AD與 ABC的外接圓相交于點(diǎn) F,連結(jié)CF與BF,則/ BFA= / BCA

14、= / ABC= / AFC即/ BFD= / CFD故 BF：CF= BD：DC.又/ BEF= / BAC,/ BFE= / BCA從而/ FBE= / ABC= / ACB= / BFE故 EB= EF作/ BEF的平分線交 BF于G,則BG= GE 1 因/GEF= /BEF= / CEF/GFE= / CFEM FEB FEC從而 2GF= FC.于是,BF= 2CF故 BD= 2CD.1.2利用四點(diǎn)共圓例 2 凸四邊形 ABCD 中,/ABC= 60 ,Z BAD=/ BCD= 90 ,AB=2,CD=1,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,如圖2.則 sinZ AOB=.分析：由/ BAD

15、=/BCD= 90° 可知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，欲求sin/AOB,聯(lián)想到托勒密定理 只須求出BC AD即可.解：因 / BAD=/BCD=90，故 A、B、CD四點(diǎn)共圓 延長BA、CD交于P,則/ ADP=/ABC= 60°.一 一一一1設(shè) AD = x,有 AP= <3x,DP= 2x.由割線定理得（2+ J3x） J3x= 2x（1+2x）.解得 AD=x=2<3 -2,BC= - BP= 42.3 .由托勒密定理有BDCA=（4-氐）（2 省2）+2X1= 10 6 12.“33、3又 SaBCD= S ABD + Sa BCD= 2故 sinZ AO

16、B=15 6.326例 3 已知：如圖 3,AB=BC= CA=AD,AH，CD 于 H,CP± BC,CP 交 AH 于 P.求證： ABC的面積S=舊APBD.4分析：因 sabc= " bc2 =二2 ac bc,只 44須證ACBC= APBD,轉(zhuǎn)化為證 APCs BCD.這由A、B、C、Q四點(diǎn)共圓易證（Q為BD與AH交點(diǎn)）. 證明：記BD與AH交于點(diǎn)Q,則由AC= ADAH，CD得/ACQ= / ADQ.又 AB= AD,故/ ADQ= / ABQ.從而，/ABQ=/ACQ.可知A、B、C Q四點(diǎn)共圓. /APC= 90° +ZPCH= / BCD,/C

17、BQ= / CAQ, APCsABCD. . ACBC= APBD.于是,S=3AP BD.42 構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題有些問題貌似與圓無關(guān)，但問題的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息，此時可大膽聯(lián)想構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓，將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.2.1 聯(lián)想圓的定義構(gòu)造輔助圓例4 如圖4,四邊形ABCD中AB/ CD,AD=DC= DB= p,BC= q.求對角線 AC的長.分析：由“AD=DC=DB= p”可知A、B、C在半徑為p的。D上.利用圓的性質(zhì)即可找到 AC與p、q的關(guān)系.解：延長CD交半徑為p的。D于E點(diǎn)，連結(jié)AE顯然 A、B、C在OD±.Bj

18、一：A. AB/ CD, . BC= AE. 從而，BC= AE= q.'在KACE優(yōu)/ CAE= 90 ,CE= 2p,AE= q,故C V 漂一 ? EAC= VCE2 AE2 = ,4p2 q2 ./圖42.2 聯(lián)想直徑的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓2例5已知拋物線y=-x + 2x+ 8與x軸交于R C兩點(diǎn)，點(diǎn)D平分BC若在x軸上側(cè)的A點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn) 且/ BAC為銳角，則AD的取值范圍是 .分析：由“/BAC為銳角”可知點(diǎn)A在以定線段BC為直徑的圓外，又點(diǎn)A在x軸上側(cè) 從而可確定動點(diǎn) A的范圍 進(jìn) 而確定AD的取值范圍.解：如圖5,所給拋物線的頂點(diǎn)為 A0(1,9), 對稱軸為x=1，

19、與x軸交于兩點(diǎn) B( 2,0)、 C(4,0).分別以BC、DA為直徑作。D、OE則兩圓與拋物線均交于兩點(diǎn)P(1 2 J2 ,1)、Q(1 + 2 <2 ,1).可知，點(diǎn)A在不含端點(diǎn)的拋物線 PAoQ 內(nèi)時，/ BACv 90 .且有 3= DP= DQv AD < DA0= 9,即AD的取值范圍是 3V AD< 9.2.3 聯(lián)想圓哥定理構(gòu)造輔助圓例6 AD是RABC斜邊BC上的高，/ B的平行線交 AD于M,交AC于N.求證：AB2 AN2 = BM BN.分析：因AB2 AN2=(AB+ AN)(AB AN)=BM BN,而由題設(shè)易知 AM=AN,聯(lián)想割線定理，構(gòu)造輔助圓

20、即可證得結(jié)論證明：如圖6, / 2+Z 3 = Z 4 + Z 5=90°,又/ 3=7 4,7 1 = 7 5,./ 1 = 7 2.從而,AM = AN.以AM長為半彳5作。A,交AB于F,交 BA的延長線于 E.則AE= AF= AN.由割線定理有BM BN= BFBE = (AB+ AE)(AB-AF)圖10= (AB AN)(AB AN) AB2-AN2, 即 AB2 AN2 BM BN.例7 如圖7,ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于E,延長AB和DC相交于E延長AD和BC相交于PQOFE22cAcbc'b'BCaBD,AcDCDBDABC中

21、若AD平分/1CWordADFB E由已知證明/ BCE= / BDE= 180° -3a從而AEF2+FQ4.如圖10,AC是"ABCD較長的對角線，過C作CF± AF,CE± AE求證：AB AE+ AD AF= AC2.a'、b A(1)A = 180 °,由結(jié)論聯(lián)想到托勒密定理B廠- bA = 180 °.試因 / FDC= / ABC= /CGE故 F、D、C G四點(diǎn)共圓.由切割線定理，有2EF= (EG+ GF)EF=EG EF+ GF EF= EC ED+ FC FB3.在 ABC 中 AB= BC,/ABC=

22、20 °,在 AB 邊上取一點(diǎn) M,使 BM = AC.求 / AMC 的度數(shù).1 ，一 。-。(提?。阂訠C為邊在 ABC外作正 KBC,連結(jié)KM,證B、M、C共圓,從而/ BCM= /BKM=10，得/ AMC= 30 .)2=EC ED+ FC FB= EF2 + FQ22.4聯(lián)想托勒密定理構(gòu)造輔助圓例8 如圖8,AABC與叢A，Bz Cb： CB' a' C'(2)，構(gòu)遭圓內(nèi)接四邊形加以證明ABBDBD(提不：不妨設(shè) AB> AC,作 ADC的外接圓交 AB于E,證 ABCs DBE從而= .) ACDE DC2.已知凸五邊形 ABCDE 中，/BAE= 3a,BC= CD=DE,/BCD= / CDE=