必修二空間幾何證明經(jīng)典練習(xí)題型(解析版)

1、必修二空間幾何證明經(jīng)典練習(xí)題型一.解答題(共25小題)1如圖,在四棱錐P - ABCD中,ABCD, AB丄AD, CD=2AB,平面PAD丄底面ABCD, PA±ADE 和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(0) BE平面 PAD； () PA丄BC； (0)平面 BEF丄平面 PCD.C【解答】解：() VPA丄AD,平面PAD丄平面ABCD,平面PADrl平面ABCD=AD, 山平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA丄平面ABCD.(B) VAB/7CD, AB丄AD, CD=2AB, E 和 F 分別是 CD 和 PC 的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BEAD.乂 ADU平

2、面PAD, BE不在平面PAD內(nèi)，故有BE平面PAD.(II)平行四邊形ABED中，由AB丄AD可得，ABED為矩形，故有BE丄CD.山PA丄平面ABCD,可得PA丄AB,再由AB丄AD可得AB丄平面PAD,'CD丄平面PAD,故有CD丄PD再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn),可得EF/7PD,CD 丄 EF.而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD丄平面BEF.由于CDU平面PCD, 平面BEF丄平面PCD.2.如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB丄平面ABC, VAB為等邊三角形，AC±BC且AC=BC=伍, O, M分別為AB, VA的中點(diǎn).(II)求證：VB平

3、面M 0C： (0)求證：平面MOC丄平面VAB；(0)求三棱錐AMOC的體積VM分別為AB, VA的中點(diǎn)，OM/7VB,TVBQ平面 M0C, OMU 平面 M0C, 'VB平面 MoC；（II）證明：VAC=BC, 0 為 AB 的中點(diǎn)，0C±AB,乂 T平面VAB丄平面ABC,平面ABC平面VAB=AB,且OCU平面ABC,OC丄平面VAB,TOCU平面MoC, 平面MOC丄平面VAB：（囹）解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2 .,.AB=2, OC=I,等邊三角形VAB的邊長(zhǎng)為2, Svab=3TO, M分別為AB, VA的中點(diǎn)Sgo*2wAB年.乂TOC丄

4、平面VAB,三棱錐也°c%H02 礙X 14l*3.如圖，在三棱錐PABC中，PA丄PC, AB=PB, E, F分別是PA, AC的中點(diǎn).求證:（1） EF平面PBC; （2）平面BEF丄平面PAB【解答】證明：（1）在Aapc中，因?yàn)閑、F分別是pa、AC的中點(diǎn)，所以 EFPC, . （3 分）乂 PCU 平面 PAC, EFG平面 PAC,所以 EF平面 PBC. . （6 分）（2）因?yàn)锳B=PB,且點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，所以PA丄BE, . （9分）又 PA丄PC, EFPG 所以 PA丄EF, . （12 分）因?yàn)?BEU 平面 BEF, EFU 平面 BEF, BEEF=E

5、,所以PA丄平面BEF, 乂 PAU平面PAB,所以平面PAB丄平面BEF. . （14分）4.如圖，在三棱錐A - BCD中，AB±AD, BC丄BD,平面ABD丄平面BCD,點(diǎn)E、F （E與A、D不重合)分別在棱AD, BD ±,且EF丄AD求證：(1) EF平面ABC；(2) AD±AC1【解答】證明：(1)因?yàn)锳B丄AD, EF丄AD,且A、B、E、F四點(diǎn)共面，所以ABEF,乂因?yàn)镋FU平面ABC, ABU平面ABC,所以由線面平行判定定理可知：EF平面ABC；(2)在線段CD ±取點(diǎn)G,連結(jié)FG、EG使得FGBC,則EGAC,因?yàn)锽C丄BD,

6、FGBG所以FG丄BD,乂因?yàn)槠矫鍭BD丄平面BCD,所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD,乂因?yàn)锳D丄EF,且EFFG=F,所以AD丄平面EFG,所以AD丄EG,故AD丄AC5.已知四棱錐 A BCDE,其中 AB=BC=AC=BE=I, CD=2, CD丄面 ABC, BE7CD, F 為 AD 的中點(diǎn)(S)求證：EF面ABC； (E)求證：平面ADE丄平面ACD； (0)求四棱錐ABCDE的體積B【解答】證明：（S）取AC中點(diǎn)G,連接FG、BG,VF, G 分別是 AD, AC 的中點(diǎn) FG/7CD,且 FG=-DC=I.2VBEZ/CDFG 與 BE 平行且相等EF/7BG.EFQ面

7、ABC, BGU 面 ABC 'EF面 ABC.（4 分）（囹）V ABC為等邊三角形BG丄AC乂TDC丄面 ABC, BGU 面 ABC DC丄BG BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC, DC,BG丄面ADC.(6分)T EF BG EF丄面 ADCTEFu 面 ADE, 面 ADE丄面 ADC.(8 分)解：()方法一:連接EC,該四棱錐分為兩個(gè)三棱錐EABC和EADC.vA-BCDE=vE-ABC+vE-OX 爭(zhēng)斗!礙爭(zhēng)， 分)方法二：取BC的中點(diǎn)為0,連接AO,則AO丄BC, 乂 CD丄平面ABC,CD丄AO, BCCD=C, =AOd平面 BCDE,. y. V 的戶l ,

8、n 3 C (1÷2)×1 3晅晅.AO Va BCDEHJ冋，AOp, SBa)E=2 vA-BCDE=Y XTxV=V*B6.如圖，四棱柱ABCD - AIBIClDl中，平面AlABBl丄平面ABCD,且ZABC-2(1)求證：BC平ffiABiCi； (2)求證：平面AIABBl丄平面ABlCI【解答】證明:(1) VBC7BC,且BlCIU平面ABICV BCG平面ABlS/.BC平面 ABlCl(2) T平面 AIABBI丄平面 ABCD,平Wl ABCD/平面 AiBiCiDi,平面 AlABBl丄平面 AiBiCiDi,T 平面 AlABBl Q 平面 AI

9、BIClDI=AlB1, AiBi±CiBi, CiBic 平面 ABiCi,平面AlABBI丄平面ABlCl7.如圖，三角形ABC中，AC=BC=李j, ABED是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABED丄底面ABC,若G、2F分別是EC、BD的中點(diǎn).(S)求證:GF底面ABC；(0)求證：AC丄平面EBC；(Izl)求幾何體ADEBC的體積V.【解答】解：(I)證法一：取BE的中點(diǎn)H,連接HF、GH,(如圖)VG. F分別是EC和BD的中點(diǎn)HG/7BC, HFDE, (2 分)乂 VADEB為正方形 DEAB,從而HF AB'HF平面 ABC, HG平面 ABG HFHG=H,平面

10、HGF平面ABC.GF平面 ABC (5 分)證法二：取BC的中點(diǎn)M, AB的中點(diǎn)N連接GM> FN、MN(如圖)VG. F分別是EC和BD的中點(diǎn)GM" BE,且GM今BE,I （2分）NF" DA,且NF=IDA乂 VADEB 為正方形 BE/7AD, BE=ADGMNF 且 GM=NF/.MNFG為平行四邊形GFMN, X MNU 平面 ABC,.GF平面 ABC （5 分）證法三：連接AE,VADEB為正方形，AAE BD=F,且 F 是 AE 中點(diǎn)，（2 分）AGF/AC,乂 ACC 平面 ABC,.GF平面 ABC （5 分）（0） VADEB 為正方形，.

11、EB丄AB, °GF平面 ABC （5 分）乂T平面ABED丄平面ABC,.BE丄平面ABC （7分）'BE 丄 ACX V ca2+cb2=ab2 AC± BC,VBCBE=B,.AC丄平面BCE （9分）（IZl）連接 CN,因?yàn)?AC=BC, CN±AB,（20 分）乂平面ABED丄平面ABC, CNU平面ABC, ACN丄平面ABED. （Il分）三角形ABC是等腰直角三角形，口詩(shī)起=|，（12分） VC-ABED是四棱錐，VC ABED=-I-StBED CN* × 1X*=（ 14 分）8.如圖,在直三棱柱ABC - AIBICI中，

12、BC丄AC, D, E分別是AB, AC的中點(diǎn).(1)求證：BICl平面A1DE： (2)求證：平面AIDE丄平面ACCiAi.【解答】證明：（1）因?yàn)镈, E分別是AB, AC的中點(diǎn)，所以DE/7 BC, . （2分）又因?yàn)樵谌庵?ABC - AlBICI 中，BiCi/7BC,所以 BiCi/ZDE. （4 分）X BlCIC平面 A1DE, DEU 平面 AiDE,所以 BlCl平面 AiDE. （6 分）（2）在直三棱柱ABC - AlBICl中，CCl丄底面ABC,乂 DEU 底面 ABC,所以 CCl丄DE. （8 分）乂 BC丄AC, DEBC,所以DE丄AC,（10分）乂 C

13、Ci, ACU 平面 ACCiAi,且 CCi AC=C,所以 DE丄平面 ACCIAI. （12 分）乂 DEU平面AiDE,所以平面AlDE丄平面ACCIAI（14分）9.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC, BD相交于點(diǎn)O, EFAB, EF=AB,平面BCF丄平面ABCD, BF=CF, G為BC的中點(diǎn)，求證：（1） OG平面 ABFE; （2） AC丄平面 BDE.【解答】證明：（1） V四邊形ABCD是菱形，AC, BD相交于點(diǎn)60是AC中點(diǎn)，TG 為 BC 的中點(diǎn)，OG/AB,VOGC平面 ABFE, ABU 平面 ABFE, OG/平面 ABFE.（2）

14、四邊形ABCD是菱形，AC, BD相交于點(diǎn)0,AC±BDt 0 是 AC 中點(diǎn)，TG 為 BC 的中點(diǎn)，VEF/7AB, EF丄AB,平面 BCF丄平面 ABCD, BF=CF,2FG丄平面 ABCD, E0丄平面 ABCD, =EO丄AC,V EO BD=O, AC丄平面 BDE.10.如圖所示，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB丄AD, CD丄AD, CD=2AB.點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).（II）求證：BE平面 PAD；（S）已知平面PCD丄底面ABCD,且PC=DC.在棱PD上是否存在點(diǎn)F,使CF丄PA?請(qǐng)說(shuō)明理山.【解答】（1）證明：取PD中點(diǎn)Cb連結(jié)AQ、EQ. . （1分）

15、TE 為 PC 的中點(diǎn)，EQ/7CD 且 EQ=ICD. . （2 分）2乂 T AB CD 且 AB=丄CD,2AEQZ/AB 且 EQ=AB.（3 分）四邊形ABED是平行四邊形，BE/7AQ- . （4 分）乂TBEG平面 PAD. AQU 平面 PAD,BE/平面 PAD. . （5 分）（2）解：棱PD上存在點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，使CF丄PA,T平面PCD丄底面ABCD,平面PCDrl底面ABCD=CD, AD丄CD,AD丄平面PCD,.DP是PA在平面PCD中的射影，APC=DC, PF=DF,CF 丄 DP, ,.CF 丄 PA.11.如圖，在四棱錐P - ABCD中，底面ABCD是

16、邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD丄底面ABCD,且PA=PD=E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)（1）求證：EF平面PAD：【解答】證明：（1）連接AC,山正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于BD的中點(diǎn)F, F也為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)所以在ZCPA中，EFPA,乂 PAU 平面 PAD, EFQ平面 PAD,所以EF平面PAD：（2）平面PAD丄平面ABCD平面 PADrI 面 ABCD=AD=> CD丄平面 PAD=> CD 丄PA正方形ABCD中CD±ADPA平面PADCDc平面ABCD 乂PgPD二甞 AD，所以 pa2÷pd2=ad2所以APAD是等腰直角三角形，且

17、ZAPD二卷，即PA丄PD.£因?yàn)?CDQPD二D,且 CD、PDU 面 PDC所以PA丄面PDC 乂 PAU 面 PABt所以面PAB丄面PDC.12.在長(zhǎng)方體 ABCD -AiBiCiDi 中，AB=BC=EC丄AAl求證:2(2) AlE丄平面 BDE.(1) ACl平面 BDE；ClEA月1ClEA4【解答】解：（1）ABCDAiBiCiDi是長(zhǎng)方體，AB=BC=EC=寺AA 可得平面ABCD和平面AIBICIDl是正方形，E為CCl的中點(diǎn). 連接AC與DB交于6連接OE, 可得：ACi0E,OEU 平面 BDE. ACI平面BDE（2）連接 OA1,根據(jù)三垂線定理，可得OA

18、l丄DB. OE丄DB, OAiOE=O,平面 AOE±DB.可得AlE丄DB.V E 為 CCI 的中點(diǎn)設(shè) AB=BC=EC=iA=a2/. BE-V2 霑 AIE=V3 6 AiB=5 aVAIB2=AiE2+BE2 AE 丄 EBTEBu 平面 BDE BDU 平面 BDE EBBD=B, AAiEl5PiH BDE13.如圖，ACQP所在的平面與菱形ABCD所在的平面相互垂直，交線為AC,若AC=P, EJ F分別 是PQ, CQ的中點(diǎn).求證：(1) CE平面 PBD；(2) 平面FBD丄平面PBD.【解答】證明：(1)設(shè)AC BD=O,連接P0,則TO是AC的中點(diǎn)，E是PQ

19、的中點(diǎn)，PE=0C, PE/0C,四邊形PoCE是平行四邊形， CE/7 P0,VCECJ平面 PBD, PoU 平面 PBD,ICE平面 PBD；(2) T平面 ACQP丄平面 ABCD,平面 ACQPrl 平面 ABCD二AC, BD±AC,BD丄平面 ACQP,V P0 平面 ACQP, BD丄 P0,連接AQ, 0F,則由三角形相似可AQ±P0,TF是CQ中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)， OF/7 AQ,0F 丄 PO,V BD OF=O,P0丄平面FBD,VPOc 平面 PBD,平面FBD丄平面PBD.14.已知直四棱柱ABCD - AIBIClDl的底面是菱形，F(xiàn)為棱BB

20、l的中點(diǎn)，M為線段ACl的中點(diǎn) 求證：(D)直線MF平面ABCD：(0)平面AFCl丄平面ACCiAi.【解答】(本小題滿分12分)證明：(I)延長(zhǎng)ClF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接AN.因?yàn)镕是BBl的中點(diǎn)， 所以，F(xiàn)為CIN的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn).乂 M是線段ACl的中點(diǎn)， 故 MFAN. 乂 MF 不在平面 ABCD 內(nèi)，ANU 平面 ABCD, MF平面 ABCD.(國(guó))連BD,山直四棱柱ABCD - AIBIClDI ,可知AlA丄平面ABCD, 乂 VBDU平面ABCD, /. AlA丄BDT 四邊形 ABCD 為菱形，.AC丄BD. XVAC AiA=A,AC, AlAU 平面 A

21、CCiAi, BD丄平面 ACClA在四邊形DANB中，DABN且DA=BN,所以四邊形DANB為平行四邊形，故 NABD, NA丄平面 ACClAI, 乂因?yàn)?NAU 平面 AFCi,平面 AFCl丄 ACClA15如圖，四棱錐P - ABCD中，AD丄平面PAB, APlAB(1)求證：CD丄AP； (2)若CD丄PD,求證：CD平面PAB.DCDC【解答】（本小題滿分14分）證明：（1）因?yàn)锳D丄平面PAB, APU平面PAB,所以AD丄AP. . （2分）乂因?yàn)?AP丄AB, AB AD=A, ABU 平面 ABCD, ADU 平面 ABCD,所以AP丄平面ABCD. . （4分）因?yàn)?/p>

22、CDU平面ABCD,所以CD丄AP. . （6分）（2）因?yàn)?CD丄AP, CD±PD,且 PDAP=P, PDU 平面 PAD, APU 平面 PAD,所以CD丄平面PAD.（8分）因?yàn)锳D丄平面PAB, ABU平面PAB,所以AB丄AD.乂因?yàn)?AP丄AB, AP AD=A, APU 平面 PAD, ADU 平面 PAD,所以AB丄平面PAD.（10分）由®得 CDAB, . （12 分）因?yàn)镃DQ平面PAB, ABU平面PAB,所以CD平面PAB . （14分）16.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA丄平面ABCD, E, F分別是AB, PD的中點(diǎn)，且PA=

23、AD.2T四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，AECD, AE=-CD.A FG=AE, FG/7AE,二四邊形AEGF是平行四邊形,（I）求證：EIVI丄AD；（II）求證：MN平面ADE；（III）求點(diǎn)A到平面BCE的距離【解答】證明：（S） VEA=EB, M是AB的中點(diǎn),EM丄AB, （1分） T平面ABE丄平面ABCD,平面ABE平面ABCD=AB, EMU平面ABE, EM丄平面 ABCD,（4 分）VADU 平面 ABCD, EM丄AD （5 分）（0）取DE的中點(diǎn)F,連接AF, NF,TN 是 CE 的中點(diǎn).，NFj_-i-CD,乙TM是AB的中點(diǎn)，AM注CD，=2ANF /

24、AM, A四邊形AMNF是平行四邊形，（7分）MN/7AF, （8 分）TMNQ平面 ADE, AFU 平面 ADE,MN平面 ADE （IO 分）解：（III）設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離為d,曲（I）知 ME丄平面 ABC, BC=BE=2, MC=ME=3,則 CE=6, BN=BE2_EN2=2-, （12 分）I SaCE誓，SAABC =BA XBCXSiH6 刊怎，VVa BCE=VE ABC,（13 分）BlJySBCEXd=yBC XME，解得d=蘭匹，故點(diǎn)A到平面BCE的距離為蘭匹.（14分）5519.在四棱錐 P - ABCD 中，底面 ABCD 為直角梯形，ZBAD=ZAD

25、C=90o, DC=2AB二2AD, BC丄PD, E, F分別是PB, BC的中點(diǎn).求證：(1) PC平面DEF；(2)平面PBC丄平面PBD. PC/EF,乂 PCQ平面 DEF, EFU 平面 DEF,'PC平面 DEF.(2)取CD的中點(diǎn)連結(jié)BM,貝IJ AB=DM, 乂 AD丄AB, AB=AD,四邊形ABMD是正方形，BM丄CD, BM=CM=DM=I, BD=2, I BC=2bd2+bc2=cd2,A BC± BD, 乂 BC丄PD, BD PD=D,BC丄平面PBD,乂 BCC 平面 PBC,平面PBC丄平面PBD20.如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊

26、長(zhǎng)均為2,且平面ABCD丄平面BCE, FD丄平面ABCD, IrDW(I) 求證：EF平面ABCD：(II) 求證:平面ACF丄平面BDF【解答】證明：(回)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH丄BC于H,連接HD, AEH-3.T平面ABCD丄平面BCE, EHU平面BCE,平面ABCD 平面BCE=BC,EH丄平面 ABCD,乂TFD丄平面 ABCD, FD=3,FD/7EH, FD=EH四邊形EHDF為平行四邊形.EFHD.T EFQ平面 ABCD, HDU 平面 ABCD,EF平面ABCD.(7分)(0) TFD丄面 ABCD, FD±AC,乂四邊形ABCD是菱形，.'.AC丄BD,

27、X FD BD=D, AAC丄面 FBD,乂 ACU面ACF,從而面ACF丄面BDF.(12分)21.如圖，在直三棱柱ABC - AlBICl中，AC丄BC, AlB與ABI交于點(diǎn)D, AIC與ACl交于點(diǎn)E. 求證：(1) DE平面 B1BCC1：(2)平面AlBe丄平面AiACCi-B【解答】證明：(I) Ill題意，D, E分別為A1B, AlC的中點(diǎn)，DEBC,TDEQ平面 BiBCCi, BCU 平面 BiBCCi,DE平面 BiBCCi:(2) /AAI丄平面 ABC, BCU 平面 ABC, AAl 丄 BC,V AC ± BC, AC AAi=A, BC 丄平面 Ai

28、ACCi,V BCc 平面 AiBC,二平面AIBC丄平面AiACCi.22.如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC, PEDC, AD丄DC,PD丄平面 ABCD, AB=PD=DA=2PE, CD=3PE, F 是 CE 的中點(diǎn)(1) 求證：BF平面ADP(2) 已知O是BD的中點(diǎn)，求證：BD丄平面AOF【解答】證明：(I)作FM丄CD，垂足為連接BM,則DM=2PE=AB, EMPDT DM AB,ADMBA是平行四邊形， BM AD,T BMQ平面 ADP, ADU 平面 ADPBM 平面 ADP同理EM/7平面ADPV BM EM=M.I平面BF

29、M 平面ADPVBFc 平面 BFM, BF/平面 ADP；(2)由(1)可知 FM=PE, DM=BM=2PE, FD=FB=E,TO是BD的中點(diǎn),FO±BD,VAD=AB, O 是 BD 的中點(diǎn)，AO±BD,VAO FO=O,BD丄平面AOF-23如圖，在兒何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF/CD, CD丄EA，CD=2EF=2, ED=3 M為棱 FC上一點(diǎn)，平面ADlvl與棱FB交于點(diǎn)N.（）求證：ED±CD;（0）求證：AD/MN；（IlI）若AD丄ED,試問(wèn)平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出黑的值；若不能，說(shuō)明理【解答】（回）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以VD丄AD. （1分） 又因?yàn)镃D丄EA, （2分）所以CD丄平面EAD. （3分）所以ED丄CD. （4分）（回）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以ADBC, （5分）所以AD平面FBC. （7分）乂因?yàn)槠矫鍭DMN Q平面FBC=MN,所以 AD/7MN. （8 分）（II）解：平面ADIvlN與平面BCF可以垂直.證明如下：（9分）連接DF因?yàn)锳D丄ED, AD±CDEDQCD=D,所以AD丄平面CDEF. （10分）