數(shù)的運(yùn)算分析（二）

1、三、標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)的運(yùn)算”第一、二學(xué)段具體目標(biāo)和實(shí)施要點(diǎn) 具體目標(biāo)詳見課程標(biāo)準(zhǔn)。 實(shí)施要點(diǎn)1、如何建立四則運(yùn)算概念？ 首先，應(yīng)注重在具體情境中體會運(yùn)算意義。四則運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識，在小學(xué)階段，一般對加法的定義是：“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算?！睖p法的定義是：“已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運(yùn)算?！背朔ǖ亩x是：“求相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算?！背ǖ亩x是：“已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算?！边@些運(yùn)算定義雖然在表述上已經(jīng)比較直觀，但對于低年級的小學(xué)生來說，仍是十分抽象的。心理學(xué)研究表明，當(dāng)一個數(shù)的運(yùn)算與代表情境中的物體相聯(lián)系時，才能在學(xué)生的頭腦中獲得真正的意

2、義。情景可以賦予數(shù)以意義，從而使抽象的數(shù)成為具體的物體。因此標(biāo)準(zhǔn)提出了“結(jié)合具體情境”的要求，是符合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律的。 案例“加法”的教學(xué)（人教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材一上第23頁） 教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動情境“折紙游戲”：折了1只紅色的紙鳥，2只藍(lán)教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動情境“折紙游戲”：折了1只紅色的紙鳥，2只藍(lán)色的紙鳥。 教學(xué)時，可以組織學(xué)生觀察敘說：紅色紙鳥的只數(shù)可以用“1”表示，藍(lán)色紙鳥可以用“2”表示，一共折的紙鳥只數(shù)可以用“3”表示；要求一共有多少只紙鳥，可以把“1”和“2”合并起來，在數(shù)學(xué)上把這種運(yùn)算叫做“加法”，寫成“12=3”；然后讓學(xué)生聯(lián)系情境說一說“1”“2”“3

3、”和“”各表示什么含義；最后再通過小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學(xué)生動手?jǐn)[學(xué)具等活動，逐步形成對加法意義的認(rèn)識。 這樣的教學(xué)過程，學(xué)生對加法含義的理解，建立在豐富的感性積累基礎(chǔ)之上，在頭腦中形成顯明的動態(tài)表象，從而獲得關(guān)于加法運(yùn)算意義的準(zhǔn)確理解。 其次，應(yīng)淡化概念形式，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)。 案例“乘法”的教學(xué)（蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材一下第68-69頁） 教材通過情境圖，首先讓學(xué)生在具體活動中感知“幾個幾”：兔有3個2，雞有4個3；再讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的連加進(jìn)行計算：222=6，3333=12。 接著通過操作學(xué)具和觀察花片等活動，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)“幾個幾”：3個5可以寫成555=15，5個3可以寫成3

4、3333=15。 然后通過計算桌子上電腦的臺數(shù)：2222=8，講述“4個2相加，可以寫成2×4=8或4×2=8”。同時結(jié)合教學(xué)乘號、乘數(shù)、積等名稱和乘法算式的讀法。 這樣的編排和教學(xué)，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“相同加數(shù)”“相同加數(shù)的個數(shù)”“每份數(shù)”“份數(shù)”“被乘數(shù)”“乘數(shù)”等過分形式化的概念以及所謂被乘數(shù)和乘數(shù)不能位置的人為障礙設(shè)置，強(qiáng)化了乘法的本質(zhì)同數(shù)相加。學(xué)生認(rèn)識乘法的過程，成為了快樂的學(xué)習(xí)體驗(yàn)過程，成了理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程。2、如何重視口算教學(xué)？ 口算也稱心算，是一種不借助計算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結(jié)果的計算方式。口算基于個人對數(shù)的基本性質(zhì)和算術(shù)運(yùn)算的理解，口算不

5、僅僅是筆算的基礎(chǔ)，而是運(yùn)算中獨(dú)立的一部分，同時口算在日常生活中有著很高的應(yīng)用價值。因此，口算不僅有實(shí)踐意義，而且是數(shù)感發(fā)展過程中的一個重要部分，口算可以發(fā)展高層次的數(shù)學(xué)思維，以及解決問題的能力。在教學(xué)中具體落實(shí)“重視口算”的目標(biāo)，應(yīng)注重如下兩點(diǎn)：（1）在數(shù)形結(jié)合中理解口算原理。數(shù)的運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)是對現(xiàn)實(shí)生活中物體的個數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，可以說小學(xué)階段的每個算式都可以在生活中找到實(shí)例。在讓學(xué)生理解口算的算理時，除了要與實(shí)際情境相結(jié)合，還要逐步過渡為數(shù)學(xué)的語言符號。 案例“整百數(shù)加、減整百數(shù)”的教學(xué)（北師大版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材二下第50頁） 首先創(chuàng)設(shè)“買電器”的情境：洗衣機(jī)500元，電冰箱1200元，電視機(jī)8

6、00元，電風(fēng)扇160元。提出問題：“爸爸買一臺洗衣機(jī)和一臺電視機(jī)共花多少錢？”列式：500800。接著通過具體的人民幣（都是面值百元）的呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生思考：5加8等于13，500800=1300。 然后又通過計數(shù)器演示：5個百加8個百是13個百，也就是1300。最后讓學(xué)生敘說自己的思考和計算過程。這樣的編排和教學(xué)，由具體實(shí)物（人民幣）的操作過渡到半形象半抽象的計數(shù)器（算珠）演示，再通過學(xué)生在頭腦中的表象運(yùn)演，使學(xué)生逐步理解口算的算理。（2）科學(xué)合理訓(xùn)練，強(qiáng)化基本口算。在小學(xué)階段的口算內(nèi)容中，兩個一位數(shù)相加與其相對應(yīng)的減法和表內(nèi)乘法與其相對應(yīng)的除法是四則運(yùn)算中的基本口算，俗稱“四張九九表”，這“

7、四表”是一切計算的基礎(chǔ)，務(wù)必使學(xué)生達(dá)到“脫口而出”的熟練程度。為此，在口算教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理。 筆者調(diào)查了當(dāng)前小學(xué)生基本口算能力的現(xiàn)狀和錯誤分布情況，發(fā)現(xiàn)目前在低年級階段有些老師過分提高口算的速度要求（有的要求學(xué)生每分鐘算30道甚至50道），而中高年級則忽視基本口算訓(xùn)練，過分依賴筆算。 要強(qiáng)化基本口算，首先應(yīng)重視基本口算方法的教學(xué)。小學(xué)生口算的方法一般存在三個層次：逐一重新計數(shù)借數(shù)數(shù)加算或減算按數(shù)群運(yùn)算。在教學(xué)基本口算時，要重視讓學(xué)生逐步掌握按數(shù)群運(yùn)算的方法。在教學(xué)初期為了達(dá)到算法指導(dǎo)下的正確計算，可不作計算速度的要求。 其次，應(yīng)注重退位減法與表內(nèi)

8、除法的思路教學(xué)。小學(xué)正處于“具體運(yùn)算階段”，思維的可逆性剛剛出現(xiàn)，只能進(jìn)行初步的邏輯推理。而20以內(nèi)退位減法和表內(nèi)除法口算在很大程度上依賴于學(xué)生的逆向思維。因此，教學(xué)口算方法時，要特別強(qiáng)化思路教學(xué)，以幫助學(xué)生掌握基本方法，同時有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。 再次，應(yīng)注意口算訓(xùn)練科學(xué)化。要提供訓(xùn)練材料，選擇訓(xùn)練時機(jī)，注意訓(xùn)練方法，考慮訓(xùn)練周期，做到適時、適量、適度。具體說來，一要注意加強(qiáng)課堂練習(xí)，采用講練結(jié)合的方式及時鞏固所學(xué)口算內(nèi)容；二要注意練習(xí)的針對性，抓住難點(diǎn)反復(fù)練習(xí)，不能平均用力，甚至出現(xiàn)易題多練、難題少練的現(xiàn)象；三要注意練習(xí)形式的多樣化，提高學(xué)生口算的積極性，避免簡單的機(jī)械重復(fù)。3、

9、如何加強(qiáng)估算意識？ 估算具有重要的應(yīng)用價值，是學(xué)生應(yīng)該具有的重要的計算技能。隨著計算技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，大量的計算并不要求進(jìn)行精確的計算，一個人在日?；顒又羞M(jìn)行估算的次數(shù)，遠(yuǎn)比精確計算的次數(shù)多得多。在小學(xué)階段計算教學(xué)中，與估算相關(guān)的內(nèi)容很多，如估計商的近似值、試商、估計小數(shù)乘法的結(jié)果、用估算進(jìn)行驗(yàn)算等等。要體現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)中“加強(qiáng)估算”的要求，可以著力于以下兩方面： （1）培養(yǎng)數(shù)感是打好估算的基礎(chǔ)。數(shù)感是對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺。估算可以發(fā)展學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識，并對數(shù)感的培養(yǎng)具有重要的意義，同時，良好的數(shù)感又是學(xué)生進(jìn)行估算的必要基礎(chǔ)。除了在數(shù)的認(rèn)識時要加強(qiáng)數(shù)感的培養(yǎng)，在數(shù)的運(yùn)算過程中更應(yīng)結(jié)合具體計算培

10、養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。 （2）掌握估算方法，養(yǎng)成估算習(xí)慣。有研究表明，小學(xué)生最常使用的估算方法主要有三種：簡約、轉(zhuǎn)換和補(bǔ)償。所謂“簡約”，是學(xué)生在估算時先把數(shù)簡化成比較簡單的形式。例如估算“495310”，把495看作500，把310看作300，這樣估算時即想比較簡單的形式“500300”即可。所謂“轉(zhuǎn)換”，是學(xué)生在估算時把一種問題轉(zhuǎn)換成另一種問題來思考。例如估算加法問題“602597589”，把加法問題轉(zhuǎn)換為乘法問題：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右?！倍^“補(bǔ)償”，則是學(xué)生在進(jìn)行簡約或轉(zhuǎn)換時，進(jìn)行一些調(diào)整，以補(bǔ)償前面運(yùn)算中的不足，使估算比較準(zhǔn)確。例如“602597589”這一

11、問題，學(xué)生在轉(zhuǎn)換時可能會進(jìn)一步想：“答案大約是1800，而且會稍小于1800，因?yàn)槲以趯⒚恳粋€數(shù)都簡化成600時，用加的部分比用減的更多一些?！?此外，還要培養(yǎng)學(xué)生的估算習(xí)慣。我們在教學(xué)中也常常發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在計算時會出現(xiàn)一些莫名其妙的錯誤。對此，我們應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成及時估算檢查的習(xí)慣，每做完一道題目，可以先估計一下數(shù)值，然后與實(shí)際計算所得的答案比較，及時覺察出錯誤并加以更正。案例北師大版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材三上第56頁第6題： 一個同學(xué)說“我有一串五色珠子，共98顆，每種顏色顆數(shù)都相等?！绷硪晃煌瑢W(xué)經(jīng)過估算指出“這是不可能的?！?這里，后一位同學(xué)就是用估算進(jìn)行了判斷。他可能用乘法的思路：5乘一個數(shù)的

12、得數(shù)個位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余數(shù)的。 可見，養(yǎng)成了估算的良好習(xí)慣，能合理解釋結(jié)果的合理性，驗(yàn)證計算的精確度。4、如何體現(xiàn)算法多樣化？ 標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段“教學(xué)建議”中指出：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計算方法的多樣化?！币w現(xiàn)“算法多樣化”的思想，應(yīng)注重以下三方面： （1）理解算法多樣化的內(nèi)涵。所謂算法就是指解決各種數(shù)學(xué)問題的程序與方法，具體包括運(yùn)算的方法與解題策略。這兩者都由一定的程序與規(guī)則組成，因此，運(yùn)算方法與解題策略有共性，但兩者也有區(qū)別。前者更偏重于技能，可以通過練習(xí)獲得，并進(jìn)而成為技巧，而后者雖然也可進(jìn)行訓(xùn)練，但由于問題的信息復(fù)雜要有更多的思維。兩者無本質(zhì)區(qū)別，只有層次之差。 （2）找準(zhǔn)算法多樣化的前提。現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，實(shí)施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價的基礎(chǔ)上，否則多樣化就會導(dǎo)致泛化。以學(xué)生思維憑借的依據(jù)看，可以分為基于動作的思維、基于形象的思維、基于符號與邏輯的思維。顯然這三種思維并不在同一層次上，不在同一層次上的算法就應(yīng)該提倡優(yōu)化，而且必須優(yōu)化，只是優(yōu)化的過程應(yīng)是學(xué)生不斷體驗(yàn)與感悟的過程，而不是教師強(qiáng)制規(guī)定和主觀臆斷的過程，應(yīng)讓學(xué)生逐步找到適合自己的最優(yōu)算法。 （3）把握算法優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)。過去我們僅