數(shù)的運(yùn)算分析（二）

1、三、標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”第一、二學(xué)段具體目標(biāo)和實(shí)施要點(diǎn) 具體目標(biāo)詳見(jiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)。 實(shí)施要點(diǎn)1、如何建立四則運(yùn)算概念？ 首先，應(yīng)注重在具體情境中體會(huì)運(yùn)算意義。四則運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識(shí)，在小學(xué)階段，一般對(duì)加法的定義是：“把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。”減法的定義是：“已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算?！背朔ǖ亩x是：“求相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算?！背ǖ亩x是：“已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算?！边@些運(yùn)算定義雖然在表述上已經(jīng)比較直觀，但對(duì)于低年級(jí)的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍是十分抽象的。心理學(xué)研究表明，當(dāng)一個(gè)數(shù)的運(yùn)算與代表情境中的物體相聯(lián)系時(shí)，才能在學(xué)生的頭腦中獲得真正的意

2、義。情景可以賦予數(shù)以意義，從而使抽象的數(shù)成為具體的物體。因此標(biāo)準(zhǔn)提出了“結(jié)合具體情境”的要求，是符合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律的。 案例“加法”的教學(xué)（人教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材一上第23頁(yè)） 教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動(dòng)情境“折紙游戲”：折了1只紅色的紙鳥(niǎo)，2只藍(lán)教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動(dòng)情境“折紙游戲”：折了1只紅色的紙鳥(niǎo)，2只藍(lán)色的紙鳥(niǎo)。 教學(xué)時(shí)，可以組織學(xué)生觀察敘說(shuō)：紅色紙鳥(niǎo)的只數(shù)可以用“1”表示，藍(lán)色紙鳥(niǎo)可以用“2”表示，一共折的紙鳥(niǎo)只數(shù)可以用“3”表示；要求一共有多少只紙鳥(niǎo)，可以把“1”和“2”合并起來(lái)，在數(shù)學(xué)上把這種運(yùn)算叫做“加法”，寫(xiě)成“12=3”；然后讓學(xué)生聯(lián)系情境說(shuō)一說(shuō)“1”“2”“3

3、”和“”各表示什么含義；最后再通過(guò)小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[學(xué)具等活動(dòng)，逐步形成對(duì)加法意義的認(rèn)識(shí)。 這樣的教學(xué)過(guò)程，學(xué)生對(duì)加法含義的理解，建立在豐富的感性積累基礎(chǔ)之上，在頭腦中形成顯明的動(dòng)態(tài)表象，從而獲得關(guān)于加法運(yùn)算意義的準(zhǔn)確理解。 其次，應(yīng)淡化概念形式，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)。 案例“乘法”的教學(xué)（蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材一下第68-69頁(yè)） 教材通過(guò)情境圖，首先讓學(xué)生在具體活動(dòng)中感知“幾個(gè)幾”：兔有3個(gè)2，雞有4個(gè)3；再讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過(guò)的連加進(jìn)行計(jì)算：222=6，3333=12。 接著通過(guò)操作學(xué)具和觀察花片等活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)“幾個(gè)幾”：3個(gè)5可以寫(xiě)成555=15，5個(gè)3可以寫(xiě)成3

4、3333=15。 然后通過(guò)計(jì)算桌子上電腦的臺(tái)數(shù)：2222=8，講述“4個(gè)2相加，可以寫(xiě)成2×4=8或4×2=8”。同時(shí)結(jié)合教學(xué)乘號(hào)、乘數(shù)、積等名稱和乘法算式的讀法。 這樣的編排和教學(xué)，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“相同加數(shù)”“相同加數(shù)的個(gè)數(shù)”“每份數(shù)”“份數(shù)”“被乘數(shù)”“乘數(shù)”等過(guò)分形式化的概念以及所謂被乘數(shù)和乘數(shù)不能位置的人為障礙設(shè)置，強(qiáng)化了乘法的本質(zhì)同數(shù)相加。學(xué)生認(rèn)識(shí)乘法的過(guò)程，成為了快樂(lè)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)過(guò)程，成了理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程。2、如何重視口算教學(xué)？ 口算也稱心算，是一種不借助計(jì)算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結(jié)果的計(jì)算方式?？谒慊趥€(gè)人對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)和算術(shù)運(yùn)算的理解，口算不

5、僅僅是筆算的基礎(chǔ)，而是運(yùn)算中獨(dú)立的一部分，同時(shí)口算在日常生活中有著很高的應(yīng)用價(jià)值。因此，口算不僅有實(shí)踐意義，而且是數(shù)感發(fā)展過(guò)程中的一個(gè)重要部分，口算可以發(fā)展高層次的數(shù)學(xué)思維，以及解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)中具體落實(shí)“重視口算”的目標(biāo)，應(yīng)注重如下兩點(diǎn)：（1）在數(shù)形結(jié)合中理解口算原理。數(shù)的運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中物體的個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，可以說(shuō)小學(xué)階段的每個(gè)算式都可以在生活中找到實(shí)例。在讓學(xué)生理解口算的算理時(shí)，除了要與實(shí)際情境相結(jié)合，還要逐步過(guò)渡為數(shù)學(xué)的語(yǔ)言符號(hào)。 案例“整百數(shù)加、減整百數(shù)”的教學(xué)（北師大版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材二下第50頁(yè)） 首先創(chuàng)設(shè)“買(mǎi)電器”的情境：洗衣機(jī)500元，電冰箱1200元，電視機(jī)8

6、00元，電風(fēng)扇160元。提出問(wèn)題：“爸爸買(mǎi)一臺(tái)洗衣機(jī)和一臺(tái)電視機(jī)共花多少錢(qián)？”列式：500800。接著通過(guò)具體的人民幣（都是面值百元）的呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生思考：5加8等于13，500800=1300。 然后又通過(guò)計(jì)數(shù)器演示：5個(gè)百加8個(gè)百是13個(gè)百，也就是1300。最后讓學(xué)生敘說(shuō)自己的思考和計(jì)算過(guò)程。這樣的編排和教學(xué)，由具體實(shí)物（人民幣）的操作過(guò)渡到半形象半抽象的計(jì)數(shù)器（算珠）演示，再通過(guò)學(xué)生在頭腦中的表象運(yùn)演，使學(xué)生逐步理解口算的算理。（2）科學(xué)合理訓(xùn)練，強(qiáng)化基本口算。在小學(xué)階段的口算內(nèi)容中，兩個(gè)一位數(shù)相加與其相對(duì)應(yīng)的減法和表內(nèi)乘法與其相對(duì)應(yīng)的除法是四則運(yùn)算中的基本口算，俗稱“四張九九表”，這“

7、四表”是一切計(jì)算的基礎(chǔ)，務(wù)必使學(xué)生達(dá)到“脫口而出”的熟練程度。為此，在口算教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理。 筆者調(diào)查了當(dāng)前小學(xué)生基本口算能力的現(xiàn)狀和錯(cuò)誤分布情況，發(fā)現(xiàn)目前在低年級(jí)階段有些老師過(guò)分提高口算的速度要求（有的要求學(xué)生每分鐘算30道甚至50道），而中高年級(jí)則忽視基本口算訓(xùn)練，過(guò)分依賴筆算。 要強(qiáng)化基本口算，首先應(yīng)重視基本口算方法的教學(xué)。小學(xué)生口算的方法一般存在三個(gè)層次：逐一重新計(jì)數(shù)借數(shù)數(shù)加算或減算按數(shù)群運(yùn)算。在教學(xué)基本口算時(shí)，要重視讓學(xué)生逐步掌握按數(shù)群運(yùn)算的方法。在教學(xué)初期為了達(dá)到算法指導(dǎo)下的正確計(jì)算，可不作計(jì)算速度的要求。 其次，應(yīng)注重退位減法與表內(nèi)

8、除法的思路教學(xué)。小學(xué)正處于“具體運(yùn)算階段”，思維的可逆性剛剛出現(xiàn)，只能進(jìn)行初步的邏輯推理。而20以內(nèi)退位減法和表內(nèi)除法口算在很大程度上依賴于學(xué)生的逆向思維。因此，教學(xué)口算方法時(shí)，要特別強(qiáng)化思路教學(xué)，以幫助學(xué)生掌握基本方法，同時(shí)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。 再次，應(yīng)注意口算訓(xùn)練科學(xué)化。要提供訓(xùn)練材料，選擇訓(xùn)練時(shí)機(jī)，注意訓(xùn)練方法，考慮訓(xùn)練周期，做到適時(shí)、適量、適度。具體說(shuō)來(lái)，一要注意加強(qiáng)課堂練習(xí)，采用講練結(jié)合的方式及時(shí)鞏固所學(xué)口算內(nèi)容；二要注意練習(xí)的針對(duì)性，抓住難點(diǎn)反復(fù)練習(xí)，不能平均用力，甚至出現(xiàn)易題多練、難題少練的現(xiàn)象；三要注意練習(xí)形式的多樣化，提高學(xué)生口算的積極性，避免簡(jiǎn)單的機(jī)械重復(fù)。3、

9、如何加強(qiáng)估算意識(shí)？ 估算具有重要的應(yīng)用價(jià)值，是學(xué)生應(yīng)該具有的重要的計(jì)算技能。隨著計(jì)算技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，大量的計(jì)算并不要求進(jìn)行精確的計(jì)算，一個(gè)人在日常活動(dòng)中進(jìn)行估算的次數(shù)，遠(yuǎn)比精確計(jì)算的次數(shù)多得多。在小學(xué)階段計(jì)算教學(xué)中，與估算相關(guān)的內(nèi)容很多，如估計(jì)商的近似值、試商、估計(jì)小數(shù)乘法的結(jié)果、用估算進(jìn)行驗(yàn)算等等。要體現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)中“加強(qiáng)估算”的要求，可以著力于以下兩方面： （1）培養(yǎng)數(shù)感是打好估算的基礎(chǔ)。數(shù)感是對(duì)數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺(jué)。估算可以發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，并對(duì)數(shù)感的培養(yǎng)具有重要的意義，同時(shí)，良好的數(shù)感又是學(xué)生進(jìn)行估算的必要基礎(chǔ)。除了在數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)要加強(qiáng)數(shù)感的培養(yǎng)，在數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中更應(yīng)結(jié)合具體計(jì)算培

10、養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。 （2）掌握估算方法，養(yǎng)成估算習(xí)慣。有研究表明，小學(xué)生最常使用的估算方法主要有三種：簡(jiǎn)約、轉(zhuǎn)換和補(bǔ)償。所謂“簡(jiǎn)約”，是學(xué)生在估算時(shí)先把數(shù)簡(jiǎn)化成比較簡(jiǎn)單的形式。例如估算“495310”，把495看作500，把310看作300，這樣估算時(shí)即想比較簡(jiǎn)單的形式“500300”即可。所謂“轉(zhuǎn)換”，是學(xué)生在估算時(shí)把一種問(wèn)題轉(zhuǎn)換成另一種問(wèn)題來(lái)思考。例如估算加法問(wèn)題“602597589”，把加法問(wèn)題轉(zhuǎn)換為乘法問(wèn)題：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右?！倍^“補(bǔ)償”，則是學(xué)生在進(jìn)行簡(jiǎn)約或轉(zhuǎn)換時(shí)，進(jìn)行一些調(diào)整，以補(bǔ)償前面運(yùn)算中的不足，使估算比較準(zhǔn)確。例如“602597589”這一

11、問(wèn)題，學(xué)生在轉(zhuǎn)換時(shí)可能會(huì)進(jìn)一步想：“答案大約是1800，而且會(huì)稍小于1800，因?yàn)槲以趯⒚恳粋€(gè)數(shù)都簡(jiǎn)化成600時(shí)，用加的部分比用減的更多一些?！?此外，還要培養(yǎng)學(xué)生的估算習(xí)慣。我們?cè)诮虒W(xué)中也常常發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些莫名其妙的錯(cuò)誤。對(duì)此，我們應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)估算檢查的習(xí)慣，每做完一道題目，可以先估計(jì)一下數(shù)值，然后與實(shí)際計(jì)算所得的答案比較，及時(shí)覺(jué)察出錯(cuò)誤并加以更正。案例北師大版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材三上第56頁(yè)第6題： 一個(gè)同學(xué)說(shuō)“我有一串五色珠子，共98顆，每種顏色顆數(shù)都相等?！绷硪晃煌瑢W(xué)經(jīng)過(guò)估算指出“這是不可能的。” 這里，后一位同學(xué)就是用估算進(jìn)行了判斷。他可能用乘法的思路：5乘一個(gè)數(shù)的

12、得數(shù)個(gè)位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余數(shù)的。 可見(jiàn)，養(yǎng)成了估算的良好習(xí)慣，能合理解釋結(jié)果的合理性，驗(yàn)證計(jì)算的精確度。4、如何體現(xiàn)算法多樣化？ 標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段“教學(xué)建議”中指出：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化。”要體現(xiàn)“算法多樣化”的思想，應(yīng)注重以下三方面： （1）理解算法多樣化的內(nèi)涵。所謂算法就是指解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的程序與方法，具體包括運(yùn)算的方法與解題策略。這兩者都由一定的程序與規(guī)則組成，因此，運(yùn)算方法與解題策略有共性，但兩者也有區(qū)別。前者更偏重于技能，可以通過(guò)練習(xí)獲得，并進(jìn)而成為技巧，而后者雖然也可進(jìn)行訓(xùn)練，但由于問(wèn)題的信息復(fù)雜要有更多的思維。兩者無(wú)本質(zhì)區(qū)別，只有層次之差。 （2）找準(zhǔn)算法多樣化的前提。現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，實(shí)施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價(jià)的基礎(chǔ)上，否則多樣化就會(huì)導(dǎo)致泛化。以學(xué)生思維憑借的依據(jù)看，可以分為基于動(dòng)作的思維、基于形象的思維、基于符號(hào)與邏輯的思維。顯然這三種思維并不在同一層次上，不在同一層次上的算法就應(yīng)該提倡優(yōu)化，而且必須優(yōu)化，只是優(yōu)化的過(guò)程應(yīng)是學(xué)生不斷體驗(yàn)與感悟的過(guò)程，而不是教師強(qiáng)制規(guī)定和主觀臆斷的過(guò)程，應(yīng)讓學(xué)生逐步找到適合自己的最優(yōu)算法。 （3）把握算法優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)。過(guò)去我們僅