最新中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問(wèn)題精選解析(三名師精編資料匯編

1、2013 中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問(wèn)題精選解析( 三 )例 1 . 如圖，已知一次函數(shù) y = -x +7 與正比例函數(shù) y =4x 的圖象交于點(diǎn)A，且與 x3軸交于點(diǎn) B.（ 1）求點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（ 2）過(guò)點(diǎn) A 作 AC y 軸于點(diǎn) C，過(guò)點(diǎn) B 作直線 l y 軸動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) O出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度， 沿 O C A 的路線 向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)； 同時(shí)直線 l 從點(diǎn) B 出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線 l 交 x 軸于點(diǎn) R，交線段 BA或線段 AO于點(diǎn) Q當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 時(shí)，點(diǎn) P 和直線 l 都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t

2、 秒 .當(dāng) t 為何值時(shí)，以A、 P、 R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以 A、 P、 Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由yy44y =- x+7y=xy=- x+7y= 3 x3AABBOxOxy=- x+7x=34解析 ：（ 1）根據(jù)題意，得，解得y=4， A(3 ，4) .y=3x令 y=- x+7=0，得 x=7 B（ 7， 0） .（ 2）當(dāng) P 在 OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 0 t 4.由 S APR=S 梯形 COBA- S ACP- SPOR- S ARB=8，得11112(3+7) × 4- 2× 3× (4- t

3、)-2t(7- t )-2t × 4=8整理 , 得 t 2-8 t +12=0,解之得 t 1=2, t 2=6（舍）ylACPBOR x ylPACBORx當(dāng) P 在 CA上運(yùn)動(dòng)， 4 t 7.1由 S APR= 2× (7- t )×4=8，得 t =3（舍）y當(dāng) t =2 時(shí)，以 A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為 8.l當(dāng) P 在 OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0 t 4.CAAP=（ 4-t） 2+32，2 ， PQ=7-AQ= ttPQ當(dāng) AP =AQ時(shí)， （2224- t ）+3 =2(4-t ) ,整理得， t 2-8 t +7=0. t=1, t =7( 舍 )

4、B當(dāng) AP=PQ時(shí)，（ 4- t ）2 +32=(7- t ) 2,ORx整理得， 6t =24. t =4( 舍去 )當(dāng) AQ=PQ時(shí)， 2（ 4- t ） 2=(7- t ) 2整理得， t 2-2 t -17=0 t =1± 3 2 ( 舍 )當(dāng) P 在 CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 4 t 7. 過(guò) A 作 AD OB于 D, 則 AD=BD=4.設(shè)直線 l 交 AC于 E，則 QE AC， AE=RD=t-4 ， AP=7- t .AE AC5由 cos OAC= = ，得 AQ = ( t -4) AQAO3541當(dāng) AP=AQ時(shí)， 7- t= 3( t -4) ，解得 t=8 .yl

5、1P E A當(dāng) AQ=PQ時(shí)， AE PE，即 AE= 2APC得 t -4=1t ) ，解得 t =5.F(7-Q2當(dāng)時(shí)，過(guò)P作 于BAP=PQ5PFAQ F11OR DxAF= 2AQ = 2× 3( t -4).AF33在 Rt APF中，由 cos PAF AP 5，得 AF 5AP153226即 2× 3( t -4)= 5× (7- t ) ，解得 t= 43 .41226綜上所述， t=1 或8 或 5 或 43 時(shí)， APQ是等腰三角形 .例 2已知兩直線 l 1 ， l 2 分別經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1， 0) ，點(diǎn) B( 3，0) ，并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交

6、于y 正半軸的點(diǎn) C時(shí)，恰好有 l1l 2 ，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A、B、C 的拋物線的對(duì)稱軸與直線l 2 交于點(diǎn) K，如圖所示。(1) 求點(diǎn) C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；(2) 拋物線的對(duì)稱軸被直線 l1 ，拋物線，直線 l 2 和 x 軸依次截得三條線段，問(wèn)這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。y(3) 當(dāng)直線 l 2 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請(qǐng)找出使 MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡(jiǎn)述理由，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)。KDl 2C:E/BF OAxl 1解析 (1) 解法 1：由題意易知： BOC COA COAO ，即 CO1 CO3點(diǎn) C的坐標(biāo)是 (0 ，3 )BOCO3CO由題意，

7、可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為yax2 bx3把 A(1，0) ， B(3 ，0) 的坐標(biāo)分別代入y ax2bx3，得ab309a3b30解這個(gè)方程組，得a3拋物線的函數(shù)解析式為y322333x3x3b233解法 2：由勾股定理，得2222222(OC OB)(OCOA) BC AC AB又 OB=3， OA=1， AB=4 OC3點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 (0 ，3)由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為ya( x1)( x3)，把 C(0，3)代入函數(shù)解析式得 a3所以，拋物線的函數(shù)解析式為y3 ( x1)( x3)33(2) 解法 1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF 理由如下：可求得直線 l1 的解

8、析式為 y3x3 ，直線 l 2 的解析式為 y3 x3x13拋物線的對(duì)稱軸為直線由此可求得點(diǎn) K 的坐標(biāo)為 (1， 23) ，點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1， 43 )，點(diǎn) E的坐標(biāo)為 ( 1，32 3)，點(diǎn) F的坐標(biāo)為 (1，0) KD=2 3 ， DE=23 ，EF= 23 KD=DE=EF3333解法 2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF理由如下：由題意可知 Rt ABC中， ABC=30°， CAB=60°，則可得EF BF tan 3023AFtan60 23 ，3， KF由頂點(diǎn) D坐標(biāo) ( 1，4343233)得DF3 KD=DE=EF=3M 1 ，由拋物線對(duì)稱

9、(3) 解法 1：(i) 以點(diǎn) K 為圓心，線段 KC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，交拋物線于點(diǎn)性可知點(diǎn) M 1 為點(diǎn) C 關(guān)于直線 x1的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) M1 的坐標(biāo)為 (2，3 ) ，此時(shí) M 1CK 為等腰三角形(ii) 當(dāng)以點(diǎn) C 為圓心， 線段 CK長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧時(shí)， 與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn) M 1 和點(diǎn) A，而三點(diǎn)A、 C、 K 在同一直線上，不能構(gòu)成三角形(iii) 作線段 KC的中垂線 l ，由點(diǎn) D 是 KE 的中點(diǎn)，且 l 1l 2 ，可知 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) D， KD=DC此時(shí)，有點(diǎn) M 2 即點(diǎn) D 坐標(biāo)為 (1， 4 3 ) ，使 M 2CK 為等腰三角形；3綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為 (2 ，

10、3)，(1， 43 ) 時(shí)， MCK為等腰三角形。3解法 2：當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為 ( 2 ，3)，(1， 43 ) 時(shí)， MCK為等腰三角形。3理由如下：(i) 連接 BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn) G的坐標(biāo)為 (2 ，3 )又點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (0 ， 3) ，則 GC AB可求得AB=BK=4，且 ABK=60°，即 ABK為正三角形 CGK為正三角形當(dāng)l 2與拋物線交于點(diǎn)，即l 2AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M 1的坐標(biāo)為(2，3 )G2 3(ii) 連接 CD，由 KD=， CK=CG=2， CKD=30°，易知 KDC為等腰三角形3當(dāng) l 2 過(guò)拋物線頂 點(diǎn) D 時(shí)，符

11、合題意，此時(shí)點(diǎn)M 2坐標(biāo)為 (1，43 )3(iii)當(dāng)點(diǎn) M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn) A 重合時(shí)，滿足CM=CK，但點(diǎn)A、 C、K 在同一直線上，不能構(gòu)成三角形綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為 (2 ， 3 ) ， ( 1， 4 3 ) 時(shí)， MCK為等腰三角形。3例3 已知ABC ，以 AC為邊在ABC 外作等腰ACD ，其中 ACAD 。(1)如 圖1，若 DAC2ABC， ACBC ，四邊形 ABCD是平行四邊形，則ABC _；(2)如圖 2，若 ABC 30，ACD 是等邊三角形，AB 3， BC4。求 BD的長(zhǎng)；(3)如 圖3，若 ACD為銳角，作 AHBC 于 H。當(dāng)222 時(shí) ，B D4 A HB CD A C 2A B 是C否成立？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；若成立，證明你的結(jié)論。DADDAABCBCBHC解析： ( by iC ) ：第（ 1）問(wèn)沒(méi)什么好說(shuō)的，送分。第（ 2）問(wèn)，這個(gè)如果ABAC 有這個(gè)條件的化，可以轉(zhuǎn)化為共圓來(lái)做，可是此題并非如此。同樣的如果按常規(guī)方法，如作高，求BD，題中條件基本用不上。N考慮題中的ABC30 ，在“外” 的正ACD ，由（數(shù)學(xué)）圖形的DABC對(duì)稱性，容易想到同里以AB，（ BC邊）向外也等邊三角形，如圖：正此時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)化成極其常見(jiàn)的“經(jīng)典基本圖形”，連CN