第三節(jié)Fourier變換的性質(zhì)PPT課件

1、第三節(jié)第三節(jié) FourierFourier變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)一、重要性質(zhì)二、卷積機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、小結(jié)與思考機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一、重要性質(zhì)一、重要性質(zhì)表明函數(shù)線性組合的表明函數(shù)線性組合的Fourier變換等于各函數(shù)變換等于各函數(shù)Fourier變換的線性組合變換的線性組合.性性性性質(zhì)質(zhì)逆逆變變換換也也具具有有類類似似的的線線Fourier1.線性性質(zhì)線性性質(zhì)).()()()(2121 FFtftf ).()()()(2121tftfFF - -1 1設(shè)設(shè)F1( )= f1(t), F2( )= f2(t),

2、 , 是常數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2.位移性質(zhì)位移性質(zhì))()(00tfettftiF FF F .)()(000titieeFouriertfFouriertttf 或或變換乘以因子變換乘以因子的的變換等于變換等于的的軸向左或向右位移軸向左或向右位移沿沿表明時(shí)間函數(shù)表明時(shí)間函數(shù)變變換換的的定定義義，可可知知由由證證Fouriertettfttftid)()(00 F F機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(0utt 令令ueuftuid)()(0 ueufeuitid)(0 )(0tfetiF F .)()(00tietfF -1

3、F F同樣，同樣，F(xiàn)ourier逆變換也具有相似的性質(zhì)逆變換也具有相似的性質(zhì).)()(000titieetfFourierF 或或以因子以因子乘乘逆變換等于原來的函數(shù)逆變換等于原來的函數(shù)的的軸向右或向左位移軸向右或向左位移沿沿表明頻譜函數(shù)表明頻譜函數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .sin)(),()(10ttfFtf F FF F求求設(shè)設(shè)例例 解解利用位移性質(zhì)，有利用位移性質(zhì)，有)(21sin)(000titieetfittf F FF F).()(200 FFi練習(xí)：練習(xí)： 求函數(shù)求函數(shù) u(t)sinbt 的傅里葉變換。的傅里葉變換。答案：答案：)()(1)(

4、)(121bbibbii 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2 求函數(shù)求函數(shù))()(00ttuetfti 的傅里葉變換的傅里葉變換.解解)()()(0)(000000ttueettuetfttititi 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?()(0)(0000ttueeFttiti F F)(0)(0000ttueettiti F F機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(0000tueeetititi F F )()(100)(00 iet-i機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3. 微分性質(zhì)微分性質(zhì)則則時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)可可去去間間斷斷

5、點(diǎn)點(diǎn)上上連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個(gè)個(gè)在在如如果果, 0)(,|,).()( tfttf).()(tfitfF FF F 證證 由分部積分法有由分部積分法有 tetftftid)()( F F tetfietftitid)()( ).(tfi F F 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 即一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的即一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的Fourier變換等于這個(gè)函數(shù)的變換等于這個(gè)函數(shù)的Fourier變換乘以因子變換乘以因子i.則則且且有有限限個(gè)個(gè)可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)上上連連續(xù)續(xù)或或只只有有在在如如果果推推論論, 1, 2 , 1, 0, 0)(lim,).()()(|)( nktf

6、tfktk).()()()(tfitfnnF FF F 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則則設(shè)設(shè)),()( Ftf F F此外，還可得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式此外，還可得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式).()(ddtitfF F F ).()()(ddtftiFnnnnF F 一般地，一般地，有有).(tftnF F來來計(jì)計(jì)算算常常用用象象函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ).()(),0(0,0, 0)(32tftttftettftF FF F及及試試求求已已知知函函數(shù)數(shù)例例 解解由第二節(jié)例由第二節(jié)例1知知.)(22 iF利用象

7、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式利用象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2)(1)(dd)( iFittf F F.)(2)(dd)(32222 iFitft F F機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )()()2(),()()1( tftFtfF FF F則則設(shè)設(shè) )(2)()()(2)()()(2)()()(2)()( FFiDFFiCFFBFFA 練習(xí)：練習(xí)：C機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4 . 積分性質(zhì)積分性質(zhì)則則時(shí)時(shí)如如果果, 0d)()(, tttftgt).(1d)(tfittftF FF F 證明證明則則因因?yàn)闉?,(d)(ddtfttftt ).(d)(dd

8、tfttfttF FF F 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,d)(d)(dd,ttfittfttt F FF F 由由微微分分性性質(zhì)質(zhì)).(1d)(tfittftF FF F 即即即一個(gè)函數(shù)的積分的即一個(gè)函數(shù)的積分的Fourier變換等于這個(gè)函數(shù)的變換等于這個(gè)函數(shù)的Fourier變換除以因子變換除以因子i.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 );()3(;)2();()1(.00ttuettFourierFourierti 變變換換數(shù)數(shù)的的變變換換的的性性質(zhì)質(zhì)，求求下下列列函函利利用用練練習(xí)習(xí)解解由由位位移移性性質(zhì)質(zhì)有有）因因?yàn)闉椋? 1)

9、(1 t F F.)()(000titietett F FF F位位移移性性質(zhì)質(zhì)有有由由象象函函數(shù)數(shù)的的因因?yàn)闉?,(21)2( F F).(200 tieF F機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 微微分分性性質(zhì)質(zhì)有有由由象象函函數(shù)數(shù)的的）因因?yàn)闉椋?,(1)(3 ituF F)(dd)(tuittuF FF F )(1dd ii )(12 ii).(12 i機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5.對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)).(2)(),()( ftFFtfF FF F則則若若證明證明有有由由 d)(21)(tieFtf ,d)(21)( tieFtf

10、.d)(21)(tetFfti 即即).(2)( ftFF F所所以以機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .sin)(40逆逆變變換換的的求求函函數(shù)數(shù)例例FouriertF 解解 由對稱性質(zhì)由對稱性質(zhì))sin()(0ttttFF FF F)()(dd00ttii)()(00tt.)()(21)(00tttttf即注：注：也可用其他性質(zhì)做也可用其他性質(zhì)做.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6.相似性質(zhì)相似性質(zhì)).(|1)(,0),()(aFaatfaFtf F FF F則則若若證明證明,0,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)令令 aatu)(1d)(1)(aFaueu

11、faatfaui F F,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a，)(1d)(1)(aFaueufaatfaui F F機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(|1)(aFaatf F F綜綜上上，這一性質(zhì)表明這一性質(zhì)表明,如果函數(shù)如果函數(shù)f(t)的圖象變窄的圖象變窄,則其則其Fourier變換的圖象將變寬變矮變換的圖象將變寬變矮;反之反之,如果如果f(t)的圖象變寬的圖象變寬,則則其其Fourier變換的圖象將變高變窄變換的圖象將變高變窄.注注:本節(jié)和上一節(jié)介紹的古典意義下的本節(jié)和上一節(jié)介紹的古典意義下的Fourier變換的變換的一些性質(zhì)一些性質(zhì),對于廣義對于廣義Fourier變換來說變換來

12、說,除了像函數(shù)的積除了像函數(shù)的積分性質(zhì)稍有不同之外分性質(zhì)稍有不同之外,其他性質(zhì)在形式上都相同其他性質(zhì)在形式上都相同.但應(yīng)但應(yīng)注意這時(shí)變換中的廣義積分不是普通意義下的積分值注意這時(shí)變換中的廣義積分不是普通意義下的積分值.)(|1)(aFeabatfabi F F推推廣廣：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7.乘積定理乘積定理則則若若),()(),()(2211 FtfFtf F FF F d)()(21d)()(2121FFttftf d )()(2121FF證明：證明：teFtfttftfti dd)(21)(d)()(2121 由于由于機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁

13、下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dd)()(2112tetfFti dd)()(2112tetfFti dd)()(2112tetfFti )d()(2121FF ttftfd)()(21同理，同理， d )()(2121FF機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8.8.能量積分（能量積分（ParsevalParseval定理）定理）如果如果 則有：則有：該定理表明信號在頻域和時(shí)域的能量守恒。該定理表明信號在頻域和時(shí)域的能量守恒。)()( Ftf F dFdttf 22)(21)(其中，其中，S( )=|F( )|2稱為能量密度函數(shù)（或能量稱為能量密度函數(shù)（或能量密度譜）密

14、度譜）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 二、卷積二、卷積1. 卷積概念卷積概念:).()(d)()( ),()(,)()(d)()(),(),(212121212121tftftfftftftftftfftftf 即即記記為為的的卷卷積積與與稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則積積分分若若已已知知函函數(shù)數(shù)).(*)()(*)(1221tftftftf 顯顯然然交換律交換律機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .,| )(|*| )(| )(*)(|,2121絕絕對對值值的的卷卷積積于于等等于于函函數(shù)數(shù)即即函函數(shù)數(shù)卷卷積積的的絕絕對對值值小小成成立立如如下下的的不

15、不等等式式對對卷卷積積tftftftf ).(*)()(*)()()(*)(3121321tftftftftftftf ).(*)(*)()(*)(*)(321321tftftftftftf 卷積還滿足如下運(yùn)算律卷積還滿足如下運(yùn)算律結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)()(,0,0,0)(,0, 10,0)(12121的的卷卷積積與與求求若若例例tftftettftttft 根據(jù)卷積的定義根據(jù)卷積的定義解解 d)()()(*)( 2121tfftftf)( 1 f 1O t1)( 2 tfO機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

16、束結(jié)束 所所以以為為時(shí)時(shí)區(qū)區(qū)間間在在的的從從圖圖形形中中可可以以看看出出，,0,00)()(21tttff d)()()(*)( 2121tfftftf dd100)( tttteee).()1()()1(tuetueettt ).()1()(*)( 12tuetftft 同同理理，機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 卷積定理卷積定理則則且且積積分分定定理理中中的的條條件件都都滿滿足足假假定定),()(),()(,)(),(221121tfFtfFFouriertftfF FF F ).()()(*)(2121 FFtftf F F).(*)()()(2121tf

17、tfFF - -1 1F F或或證證由由Fourier變換的定義變換的定義 tetftftftftid)(*)()(*)(2121 F Ftetfftidd)()(-21 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 tetfeftiidd)()()(21 dd)()()(21 tetfeftii).()(21 FF 兩個(gè)函數(shù)卷積的兩個(gè)函數(shù)卷積的Fourier變換等于這兩個(gè)函數(shù)變換等于這兩個(gè)函數(shù)Fourier變換的乘積變換的乘積.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 同理可得同理可得).(*)(21)()(2121 FFtftf F F兩個(gè)函數(shù)乘積的兩個(gè)函數(shù)

18、乘積的Fourier變換等于這兩個(gè)函數(shù)變換等于這兩個(gè)函數(shù)Fourier變換的卷積除以變換的卷積除以2.則則且且積積分分定定理理中中的的條條件件滿滿足足假假定定), 2 , 1(),()(,)(nktfFFouriertfkkk F F ).()()()()()(2121 nnFFFtftftf F F機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ).(*)(*)()2(1)()()(21121 nnnFFFtftftf F F卷積定理可以化卷積運(yùn)算為乘積運(yùn)算，提卷積定理可以化卷積運(yùn)算為乘積運(yùn)算，提供了卷積運(yùn)算的簡便方法供了卷積運(yùn)算的簡便方法. 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下

19、頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ).()0()(d)(),()(5 FiFttfFtft F FF F證證明明若若例例證證有有積積分分定定理理的的條條件件時(shí)時(shí)滿滿足足當(dāng)當(dāng)知知由由前前面面介介紹紹的的積積分分性性質(zhì)質(zhì),d)()(,Fourierttftgt .)(d)( iFttft F F即即的的卷卷積積與與表表示示為為可可以以將將為為一一般般情情況況時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()()(,)(tutftgtg機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ).(*)()(tutftg tftuftutf.d)(d)()()(*)( 這這是是因因?yàn)闉槔镁矸e定理利用卷積定理)()()(*)()(tutftutftgF