MATLAB科學(xué)計算3

1、調(diào)課通知 因王靜康老師參加工程院院士增選大會，現(xiàn)代化工設(shè)計概論順延兩周：即20151024（周六）和20151031（周六）兩次課暫停，20151107（周六）開始上課。特此告知，也請同學(xué)們相互轉(zhuǎn)告。本通知已放在辦公網(wǎng)課程公告中MATLAB 科學(xué)計算第3章 插值 3.1 插值方法 3.2 插值功能函數(shù) 3.3 插值函數(shù)曲線的繪制 3.4 插值GUI工具箱第第4章章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分4.1 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f(x)在在a,b上的積分上的積分( )( )bbaaf x dxF x( )f x( )F x4.1 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法求求真實氣體逸度真實

2、氣體逸度 fRTAPf303. 2lglgPdPA0其中，其中，P0100200300400500-15.4615.4615.4615.61 15.85 15.93Of(x)xaf(a)ABf(b)b( )baf x dxOf(x)xaf(a)ABf(b)b( )( )2baTf af b(a)4(b)62babaSfff梯形公式（兩等距節(jié)點）梯形公式（兩等距節(jié)點）Simpson公式（三等距節(jié)點）公式（三等距節(jié)點）Newton-Cotes公式（公式（n+1個等距節(jié)點）個等距節(jié)點）0()nknkkIbay CNewton -Cotes公式公式n階階Newton -Cotes求積公式求積公式n容易

3、容易構(gòu)造構(gòu)造n復(fù)化復(fù)化求積公式易于求積公式易于形成形成nn是是奇數(shù)，奇數(shù)，代數(shù)精度至少為代數(shù)精度至少為n, n是是偶數(shù)，偶數(shù)，代數(shù)精度代數(shù)精度至少至少 n+1n 節(jié)點數(shù) 1 2 21 21 2 3 61 32 61 3 4 81 83 83 81 4 5 907 4516 152 4516 907 5 6 28819 9625 14425 14425 9625 28819 6 7 84041 359 2809 10534 2809 359 84041 7 8 17280751 172803577 172801323 172802989 172802989 172801323 172803577

4、 17280751 8 9 28350989 283505888 28350928 2835010496 283504540 2835010496 28350928 283505888 28350989 Newton-Cotes公式系數(shù)表等距節(jié)點等距節(jié)點積分系數(shù)與節(jié)點無關(guān)積分系數(shù)與節(jié)點無關(guān)xf(x)ox0 xnxk復(fù)化求積思想( )2()( )2nnhTf af xf b內(nèi)節(jié)點變步長求積策略給定被積函數(shù)給定被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間、積分區(qū)間a,b、精度要求精度要求，令，令K=0步長減半，計算步長減半，計算I Ik+1k+1k=k+1輸出結(jié)果輸出結(jié)果 1KKII否否是是用復(fù)化梯形公式（或復(fù)用復(fù)

5、化梯形公式（或復(fù)化化SimpsonSimpson公式）計算公式）計算I Ik k如果具有如果具有n+1個積分節(jié)點的求積公式個積分節(jié)點的求積公式0()nkkkIA f x具有具有2n+1次代數(shù)精度，稱之為次代數(shù)精度，稱之為Gauss求積公式。求積公式。Gauss求積公式求積公式Gauss點點nGauss-Legendre求積公式求積公式nGauss-Laguerre求積公式求積公式nGauss-Hermite求積公式求積公式nGauss-Chebyshev求積公式求積公式Gauss求積公式求積公式（1）最高代數(shù)精度的求積方法）最高代數(shù)精度的求積方法（2）積分系數(shù)與求積節(jié)點有關(guān)積分系數(shù)與求積節(jié)點有

6、關(guān)Gauss求積公式的特點求積公式的特點部分求積節(jié)點和系數(shù)部分求積節(jié)點和系數(shù) nxkAknxkAk002593246951420.171324492410.577350269210.66120938650.360761573020.77459666920.55555555560.23861918610.467913934600.888888888960.94910791230.129484966230.86113631160.34785484510.74153118560.27970539150.33998104360.65214515490.40584515140.381830050540.

7、90617984590.236926885100.41795918370.53846931010.478628670570.96028985660.101228536300.5688888890.79666647740.22238103450.52553240990.313706645903626837834Gauss-Legendre積分公式積分公式部分求積節(jié)點和系數(shù)部分求積節(jié)點和系數(shù) Gauss-Laguerre積分公式積分公式nxkAk01110.58578643760.8535533906 3.41421356240.146446609420.41577455

8、680.7110930099 2.29428036030.2785177336 6.28994508290.010389256530.32254768960.6031541043 1.74756110120.3574186924 4.53662029690.0388879085 9.39507091230.000539294740.26356031970.5217556106 1.41340305910.3986668111 3.59642577100.0759424497 7.08581000590.0036117587 12.64080084430.0000233700部分求積節(jié)點和系數(shù)部

9、分求積節(jié)點和系數(shù) Gauss-Hermite積分公式積分公式nxkAk001.772453850910.70710678120.886226925521.22474487140.2954089752 01.181635900631.65068012390.0813128354 0.52461762330.804914090042.02018287050.0199532421 0.95857246460.3936193232 00.945308720552.35060497370.0045300099 1.33584907400.1570673203 0.43607741190.72462959

10、5262.65196135680.0009717812 1.67355162880.0545155828 0.81628788290.4256072526 00.8102646176（3）很好的穩(wěn)定性；）很好的穩(wěn)定性；（4）對于連續(xù)函數(shù)）對于連續(xù)函數(shù)f(x)，Gauss積分序列收積分序列收 斂于真值；斂于真值；（5）可計算許多廣義積分。）可計算許多廣義積分。Gauss求積公式的優(yōu)點求積公式的優(yōu)點一、一、trapz原理：復(fù)化梯形公式原理：復(fù)化梯形公式4.2 數(shù)值積分功能函數(shù)數(shù)值積分功能函數(shù)trapezoid一、一、trapz格式格式1z=trapz(x, y)其中其中 x, y：非等距節(jié)點非等距

11、節(jié)點及其函數(shù)值及其函數(shù)值111()()2nkknkkkxxTf xf x格式格式2z=trapz(y)其中其中 y： 等距節(jié)點等距節(jié)點函數(shù)值函數(shù)值 步長為步長為1111( )2()( )2nkky ay xy bnnThz=h*trapz(y)例例1 90( )f x dxx013489f(x)00.57 0.43 0.14 0.29 0.33trapz格式格式1例例2 360( )f x dxx0481216f(x) 01.13.16.011.2x2024283236f(x) 18.8 28.6 39.9 53.0 69.3trapz格式格式1，2h=/16 例例3 3204cossinxx

12、dx二、二、quad原理：原理：遞推的自適應(yīng)遞推的自適應(yīng)simpson積分積分 quadrature4.2 數(shù)值積分功能函數(shù)數(shù)值積分功能函數(shù)q = quad(myfun, a, b, tol, trace)二、二、quad myfun : 被積函數(shù)被積函數(shù) a, b : 積分上下限積分上下限必填必填 tol: 誤差限，缺省值誤差限，缺省值110-6 trace: 過程顯示與否的標(biāo)志，過程顯示與否的標(biāo)志， 0：不顯示：不顯示(缺省缺省), 1：顯示：顯示 選填選填定義被積函數(shù)的四種方式定義被積函數(shù)的四種方式 q = quad(myfun, a, b, )字符串字符串myfun=f(x)內(nèi)聯(lián)函數(shù)內(nèi)

13、聯(lián)函數(shù)myfun=inline(f(x)匿名函數(shù)匿名函數(shù)myfun=(x)f(x)( )baf x dx q = quad(myfun, a, b, ) 函數(shù)式函數(shù)式M文件文件function y=myfun(x) y=f(x)定義被積函數(shù)的四種方式定義被積函數(shù)的四種方式20 xtedt例例4使用使用quad求求x=1時時 練習(xí)練習(xí)被積函數(shù)被積函數(shù)的四種的四種定義定義方式方式 q = quad(myfun, a, b)原理：原理：自適應(yīng)自適應(yīng)Gauss-Lobatto積分積分 三、三、quadlq=quadl(myfun, a, b, tol, trace)myfun: 被積函數(shù)被積函數(shù) 定義

14、方式參考定義方式參考help1211xedxx例例5例例60 xxe dx原理：原理：自適應(yīng)自適應(yīng)Gauss-Kronrod積分積分 四四、quadgk4.2 MATLAB數(shù)值積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)目前目前MATLAB中精度最高的積分函數(shù)中精度最高的積分函數(shù)匿名函數(shù)匿名函數(shù) myfun=(x)f(x)n 可以計算無窮積分可以計算無窮積分n 兩種方式兩種方式定義被積函數(shù)定義被積函數(shù)四四、quadgk q = quadgk(myfun, a, b)函數(shù)式函數(shù)式M文件文件function y=myfun(x) y=f(x)四四、quadgk q = quadgk(myfun, a, b)例例60 xx

15、e dx原理：原理：自適應(yīng)積分自適應(yīng)積分 五、五、integraln可以計算反常積分可以計算反常積分匿名函數(shù)定義匿名函數(shù)定義 q = integral(myfun, a, b)myfun=(x)f(x)六、六、dblquad求函數(shù)求函數(shù)f(x,y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域a,bc,d上的二重定積分上的二重定積分double quadrature六、六、dblquad格式格式q=dblquad(fun, a, b, c, d, tol) fun: 被積函數(shù)句柄被積函數(shù)句柄, 函數(shù)定義函數(shù)定義方式方式4種種 a,b,c,d: 積分區(qū)間積分區(qū)間 tol: 精度要求，缺省精度要求，缺省值值1.e-6七、七

16、、integral2double quadrature求解一般區(qū)域求解一般區(qū)域（不限于矩形）二重積分（不限于矩形）二重積分其中其中ymin,ymax： y的的積分積分上下限上下限 可以可以表達(dá)為表達(dá)為x的函數(shù)的函數(shù)q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin,ymax) 八、八、quad2ddouble quadratureq = quad2d(fun, xmin, xmax, ymin,ymax) 求解一般區(qū)域求解一般區(qū)域（不限于矩形）二重積分（不限于矩形）二重積分其中其中ymin,ymax： y的的積分積分上下限上下限 可以可以表達(dá)為表達(dá)為x的函數(shù)的函數(shù)例例7計算二重積分計算二重積分 ()sinyDyxedxdyx(x,y)|1x3,57Dyq=dblquad(fun, a, b, c, d)221Dxy dxdy22( , )|1Dx yxy例例8選擇合適的功能函數(shù)選擇合適的功能函數(shù)計算計算 九、九、triplequad十、十、integral3triple quadrature2221xyzdxdydz22( , , )|,1x y zzxyz 計算重積分計算重積分 數(shù)值積分功能函數(shù)函數(shù)名函數(shù)名功能特點功能特點integral可計算反常積分可計算反常積分quadgkGauss求積公式，精度高，可計算反常積求積公