高等數(shù)學(xué)課件：7-6空間直線及其方程

1、2021-12-151第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及方程空間直線及方程一一 問題的提出問題的提出二二 直線的一般方程直線的一般方程四四 兩直線的夾角兩直線的夾角五五 直線與平面的夾角直線與平面的夾角七七 小結(jié)與思考判斷題小結(jié)與思考判斷題三三 空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程六六 平面束平面束(Space of lines and equation)2021-12-152一一 問題的引出問題的引出 我們前面介紹了曲線及其方程，這一節(jié)我們主要借助于向量這個工具來研究曲線的特殊情形-直線及其方程。并且研究直線與直線以及直線與平面之間的關(guān)系， 在這里強(qiáng)調(diào)一下，向量是我們解決本節(jié)問

2、題的一個得力工具。定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線2 1 (Introduction)2021-12-153xyzo1 2 0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程L二二 空間直線的一般方程空間直線的一般方程設(shè)兩個相交的平面的方程分別為空間某直線的一般方程并不是唯一的，過此直線的任意兩個平面聯(lián)立都可作為次直線的一般方程注意：注意：2021-12-154xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量叫做這條直線的方向向量sL),(0000zyxM0

3、M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 三三 空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程。平行該直線的方向向量向量都容易知道，直線上任一2021-12-155pzznyymxx000 直線的對稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的任一方向向量的坐標(biāo)叫做直線的一組方向數(shù)。方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.得直線的參數(shù)方程2021-12-156例例1 1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx不妨取

4、不妨取10 x 6320000zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)點(diǎn))2, 0 , 1( 是這直線上的一點(diǎn)是這直線上的一點(diǎn)2021-12-157因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx3 , 1, 2,1 , 1 , 121 nn2021-12-158例例 2 2 一一直直線線過過點(diǎn)點(diǎn))4 , 2, 1( ，且且和和z軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和z軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為取取BAs ,0, 2,

5、1 所求直線方程所求直線方程.042211 zyx)4 , 0 , 0(B2021-12-159定義定義直線直線,11111pnmsL 的的方方向向向向量量為為22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角叫做兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角叫做兩直線的夾角.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式四四 兩直線的夾角兩直線的夾角通常指的是銳角通常指的是銳角直線直線,22222pnmsL 的的方方向向向向量量為為2021-12-1510兩直線垂直和平行的充要條件21)1(LL , 0212121 ppnnmm的充分必要條件的充分必要條件21)

6、2(LL/,212121ppnnmm 或重合的充分必要條件或重合的充分必要條件直線直線:1L直線直線:2L,2, 3 , 21 s,1, 0 , 12 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即2021-12-1511直線直線:1L,13411 zyx直線直線:2L,1222 zyx例例3 求下列兩直線的夾角求下列兩直線的夾角直線直線1 ,4, 111 sL的的方方向向向向量量為為直線直線1,2,222 sL的的方方向向向向量量為為解解22222221)1()2(21)4(1| )1(1)2()4(21|),cos( LL22 4 2021-12-1512定義定義直線和它在平面

7、上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,pnmsL的方向向量直線,CBAn 平面的法向量 2),(ns 2),(ns五五 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 0.2 .cos 2 cossin2 2021-12-1513222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面垂直和平行的充要條件 L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm2021-12-1514例例 4 4 求求過過點(diǎn)點(diǎn))0,2,1( 且且與與平平面面012 zyx垂垂直直的的直直線線方方程程. . ,1, 2 , 1 ns直直線線的的方方向

8、向向向量量,1, 2 , 1 n平平面面的的法法向向量量解解.12211 zyx所求直線的方程所求直線的方程2021-12-1515雜列例例 5 5 求求與與兩兩平平面面34 zx和和152 zyx的的交交線線平平行行且且過過點(diǎn)點(diǎn))5, 2, 3( 的的直直線線方方程程. 取取21nns 5, 1, 2,4, 0 , 121 nn解解,1, 3, 4 512401 kji.153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程2021-12-1516例例 6 6 設(shè)設(shè)直直線線21121 zyx，平平面面32 zyx，求求直直線線與與平平面面的的交交點(diǎn)點(diǎn). 解解參數(shù)方程參數(shù)方程.2121 tztytx

9、代入平面方程，得代入平面方程，得3)21(2)()21( ttt74 t所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為)71,74,715( 2021-12-1517例例 7 7 求求過過點(diǎn)點(diǎn))3 , 1 , 2(且且與與直直線線12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程. 解解先作一過點(diǎn)先作一過點(diǎn)（2，1，3）且與已知直線垂且與已知直線垂直的平面直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與這平面的交點(diǎn)再求已知直線與這平面的交點(diǎn),令令tzyx 12131. 1213 tztytx2021-12-1518代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t求得交點(diǎn)求得交點(diǎn))73,713,72( 取所求直線的方

10、向向量為取所求直線的方向向量為373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx2021-12-1519六六 平面束平面束 0022221111DzCyBxADzCyBxA由由方方程程組組設(shè)設(shè)直直線線 L.,222111不成比例不成比例與與確定，其中系數(shù)確定，其中系數(shù)CBACBA：我們建立三元一次方程我們建立三元一次方程0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 的的任任意意常常數(shù)數(shù)，為為不不同同時時為為，其其中中0 直線直線L的平面束方程的平面束方程(plane pencil)2021-12-1520例例8 8解解.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的方程在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程為為過過直直線線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L2021-12-1521, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2