數(shù)學(xué)物理方法知識點歸納

1、第一章復(fù)述和復(fù)變函數(shù)1.5 連續(xù)若函數(shù)f (x) f ( x) 在 z0 z0 的領(lǐng)域內(nèi)（包括 z0z0 本 身 ） 已 經(jīng) 單 值 確 定 ， 并 且limzzf ( z)f ( z0 ) limzzf (z) f ( z0 )00，則稱 f(z) 在 z0 z0 點連續(xù)。1.6 導(dǎo)數(shù)若函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)存在，則稱函數(shù)在該點可導(dǎo)。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的導(dǎo)數(shù)存在的條件uuuuvvvv(i) xx 、yy 、 xx 、 yy在點不僅存在而且連續(xù)。(ii)C-R條 件在該點成立 。 C-R條件 為u(x, y)v( x, y)xyv(x, y)u( x, y)xyu(x, y)v(

2、 x, y)xyv(x, y)u( x, y)xy1.7 解析若函數(shù)不僅在一點是可導(dǎo)的，而且在該點的領(lǐng)域內(nèi)點點是可導(dǎo)的，則稱該點是解析的。解析的必要條件：函數(shù)f(z)=u+iv在點 zuuuu的 領(lǐng) 域 內(nèi) (i)xx 、yy、vvvvx x 、 y y 存在。(ii)C-R 條件在該點成立。解析的充分條件：函數(shù)f(z)=u+iv在領(lǐng)域uuuuvv內(nèi) (i)xx、yy 、xx、vvy y 不僅存在而且連續(xù)。(ii)C-R 條件在該點成立。1.8 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系拉普拉斯方程的解都是調(diào)和函數(shù)：2u2u2u2 ux 2x 2+y2y 2=0由此可見解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。但是任意

3、的兩個調(diào)和函數(shù)作為虛實兩部形成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)，因為它們不一定滿足 CR 條件。 當(dāng) 知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中 的u(x,y)時，如何求v(x,y)?通過 C R 條件列微分方程第二章復(fù)變函數(shù)的積分2.2 解析函數(shù)的積分柯西定理： 若函數(shù) f(z) 在單連區(qū)域 D 內(nèi)是解析的，則對于所有在這個區(qū)域內(nèi)而且在兩個公共端點 A 與 B 的那些曲線來講，BBf ( z) dzf ( z)dz積分 AA的值均相等?？挛鞫ɡ硗普摚?若函數(shù) f(z) 在單連區(qū)域 D 內(nèi)解析，則它沿 D 內(nèi)任一圍線的積分都f ( z)dz0f ( z) dz 0等于零。 CC二連區(qū)域的柯西定理：若

4、f(z) 在二連區(qū)域D 解析，邊界連續(xù)，則f(z) 沿外境界線 (逆時針方向 )的積分等于f(z) 沿內(nèi)境界線 (逆時針方向 )的積分。n+1 連區(qū)域柯西定理 ：f ( z) dzf (z)dzf ( z)dz .ei1i 2f ( z) dzf (z)dzf ( z)dz .ei1i 2推論： 在 f(z) 的解析區(qū)域中，圍線連續(xù)變形時，積分值不變。2.3 柯西公式若 f(z) 在單連有界區(qū)域 D 內(nèi)解析，在閉區(qū)域 D 的邊界連續(xù)，則對于區(qū)域 D 的任何一個內(nèi)點 a，有f (z)dzinf ( z)dzinf (a)1f ( z) dz2 iz af (a)1f( z) dz2 iza其中是

5、境界線。2.5 柯西導(dǎo)數(shù)公式f ( n) (z)n!C (f ()d2iz)n1f( n)(z)n!f ()1 d2iC (z)n第三章級數(shù)3.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)外爾斯特拉斯定理：如果級數(shù)uk ( z)uk ( z)k 0k0在境界上一致收斂，那么(i) 這個級數(shù)在區(qū)域內(nèi)部也收斂，其值為F(z)(ii) 由它們的 m 階導(dǎo)數(shù)組成的級數(shù)uk(m) ( z)uk( m) (z)k 0k 0在區(qū)域內(nèi)也收斂，而且它們的和等于F(m)(z) 。3.3 冪級數(shù)阿貝爾 (Abel) 定理： 如果冪級數(shù)ck ( z a) kck ( z a) kk 0k 0在點 z0 處收斂，則在任一圓 |z-a|<=

6、p|z0-a|，0<p<1內(nèi)，冪級數(shù)一致收斂，并且絕對收斂。達(dá)朗貝爾 (D Alembert) 判別法 :對于冪級數(shù)，計算下列極限| ck 1 (za)k1| lim | ck 1 ( za)k1|limkkk| ck (za)|k| ck( za)|(i) 當(dāng)極限值小于 1 時，冪級數(shù)在點 z 處絕對收斂 (ii) 當(dāng)極限值大于 1 時，冪級數(shù)在點 z 處發(fā)散 (iii) 當(dāng)極限值等于 1 時，斂散性不能判斷。柯西判別法：計算極限lim k | ck (za) k | lim k | ck ( za) k |kk當(dāng)極限值小于 1 時，冪級數(shù)在點 z 處絕對收斂 ;而當(dāng)極限值大于

7、1 時，冪級數(shù)在點 z 處發(fā)散；極限值等于 1 時，不能判斷3.4 解析函數(shù)與冪級數(shù)定理 ：冪級數(shù)的和是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。Taylor 級數(shù) ：f ( z)f (n) (a) (za)nn0n!f ( z)f (n) (a)a)n(zn0n!ez1zz2.zn.2!n!ez1zz2.zn.2!n!sin zzz3z5.(-1) nz 2n1.3!5!(2n1)!sin zzz3z5.(-1) nz 2n1.3!5!(2n1)!cos z1z2z 4.z 2n.2!4!(2n)!cos z1z2z 4.z 2n.2!4!(2n)!ln(1z)zz2z3.(-1)nzn123n.1ln(1z)z

8、z2z3.(-1)nzn123n.13.5 解析函數(shù)與雙邊冪級數(shù)定理：雙邊冪級數(shù)的和是環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)可展成雙邊冪級數(shù)f ( z)ck ( za) kkf ( z)ck ( za) kkck1i(f ( )d2a)ck1i(f ( )d2a)稱為 Laurant 系數(shù)3.8 孤立奇點非孤立奇點 ：若函數(shù)f(z) 在 z=a 點的無論多么小的領(lǐng)域內(nèi)，總有除z=a 以外的奇點，則 z=a 是 f(z) 的非孤立奇點。孤立奇點 ：若函數(shù)在z=a 不可導(dǎo) (或無定義) ，而在去心領(lǐng)域0<|z-a|< 解析，則z=a 是 f(z) 的一個孤立奇點。3.9 奇點分類有

9、限遠(yuǎn)奇點極限性質(zhì)洛朗級數(shù)可去奇點limf(z)= 有限不含負(fù)冪項值極點limf(z)= 含有限個負(fù)冪項本性奇點limf(z)= 無定含無限個負(fù)值冪項無窮遠(yuǎn)點極限性質(zhì)洛朗級數(shù)可去奇點limf(z)= 有限值不含正冪項極點limf(z)= 含有限個正冪項本性奇點limf(z)= 無定值含無限個正冪項第四章 留數(shù)4.1 柯西公式的另一種形式一階極點留數(shù) ：若 g(z)在單連區(qū)域 D 內(nèi)解析， a 在 D 內(nèi)，在 D 內(nèi)作一環(huán)繞點 a 的圍線 C。令 f(z)=g(z)/(z-a) 則有：f ( z)dz2i Re sf (a)Cf ( z)dz2i Re sf (a)Re sf (a)lim (za

10、) f ( z)zaRe sf (a)lim (za) f ( z)z a一階極點留數(shù)的一種算法 :f ( z)( z)f ( z)( z)如果( z)( z) 那么Resf (a)(a)Resf (a)(a)( a)(a)m 階極點的留數(shù)公式1d m 1mf ( z)|z aRe sf (a)(m1)! dzm 1 ( za)1d m 1mf ( z) |z aRe sf (a)(m1)! dzm 1 ( za)4.2 用級數(shù)分析來分析留數(shù)定理f ( z)kck (za)kf ( z)kck (za)k則有 Res f ( a)c 1f (a) c 1多連區(qū)域的柯西定理:如果在圍線 C 的內(nèi)

11、部包含 n 個孤立奇點，利用多連區(qū)域的柯西定理就有nf (z)dz2iRe sf (ak )Ck1nf (z)dz2iResf (ak )Ck14.3 無限遠(yuǎn)點的留數(shù)Re sf ()1f (z)dzc 12iRe sf ()1f (z)dzc 12i定理 1：如果當(dāng)z時，若zf(z) 0,則CResf( )=0定理 2：nResf(a k )Re sf ()0k 1nResf(a k )Re sf ()0k 14.4 留數(shù)定理計算型積分第一種類型：2R(cos , sin)d02R(cos, sin)d0型積分令 zeizeiddz / iz ddz / izcos1( zz 1 ) cos1

12、 ( zz 1 )22sin1 ( zz 1 ) sin1 ( zz 1 )222R(cos, sin)df ( z)dz0|z| 12R(cos, sin)df ( z)dz0|z| 1在單位圓內(nèi)各個奇點的留數(shù)之和f ( x) dxf ( x)dx第二種類型：型積分注意，需要滿足條件lim zf (z)0 lim zf ( z) 0zzf ( x)dx2 if (x)dx2 i在上半平面的奇點留數(shù)之和（界限上的乘以 0.5）第三種類型：f ( x)eimx dxf ( x)eimx dx型積分注意需要符合條件lim f ( z)0 lim f ( z)0zzf ( x)eimx dx2 if

13、 ( x)eimx dx2 i f(z)e imz 在上半平面的奇點留數(shù)之和4.7 圍線積分方法泊松積分：e ax2cosbxdx1e b2 / 4a02ae ax2cosbxdx1e b2 / 4a02a菲涅爾積分：cosx 2 dxsin x2dx10022cosx 2 dxsin x2 dx10022第六章 積分變換6.1 傅里葉級數(shù)三角函數(shù)系的正交性2 周期 - 展開定理：f ( x)C 0(C m cosmxD m sin mx)m 1f ( x)C 0(C m cosmxD m sin mx)m 1C 01f () d2C01f ( ) d2C m1f () cosm dCm1f

14、() cosm dD m1f () sin m dDm1f ( ) sin m d任意周期 2l- 展開定理：f ( x)C 0(C m cos mxD m sin m x)m 1llF f (x)f ( x) C 0(C m cosm xD m sin mf (k)F f ( x) f (k)x)11m 1llf ( x)FF f (k) f (x) f (k)C01l1l2lf ( )d C02lf ( )dllCm1l) cosmf (dlllCm1l) cosmf (dlllDm1l)sinmf (dlllDm1l)sinmlf (dll6.2 傅立葉積分f ( x) C(k) cos

15、kxD (k ) sin kxdk0f ( x) C (k) coskxD (k) sin kxdk0C (k)1f ( ) cosk dD ( k)1f () sin kdC(k)1f ( ) cosk dD( k)1f ( ) sin k d6.3 傅立葉變換線性定理F C1 f1C2 f 2 C1F f1 C2 F f 2 F C1 f1C2 f 2 C1 F f1 C2 F f 2 導(dǎo)數(shù)定理F f( x)ikF f ( x)d n f (x)nF f ( x)F dxn(ik )積分定理1 F f ( x)F f ( )d xx0ik延遲定理F f ( xx0 )eikx0 F f (

16、 x)相似定理1 k)F f ( ax)f (aa卷積定理F f 1( ) f 2 ( x)d 2 f1(k ) f2 (k )6.4 拉普拉斯變幻C(k) 是偶函數(shù)， D(k) 是奇函數(shù)( p)(t)e pt dt傅里葉公式0令注意當(dāng) t<0 時，(t ) =01iD (k )f ( k) C (k )2( p) =L(t) (t) =L -1 ( p) 1 C(k )iD (k )f ( k)2(t ) ( p)則f ( x)ikxdk線性性質(zhì)：f (k)ea 1 (t ) b 2 (t) a 1 ( p) b 2 ( p)ikxf ( x)dkf (k)ea 1 (t ) b 2

17、(t) a 1 ( p) b 2 ( p)1ikdf ( k)f ( )e2導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)：1ikd (t )p ( p)(0)f ( k)f ( )e ddt2d(t)p( p)(0)延遲函數(shù)的象函數(shù)dt(t )H (t)( p)(t) H (t )( p)d n (t )nn 1n 2n-1dt np( p)p(0)p(0) .(t(0) )H (t)e p( p)d n (t )pn( p)pn 1(0)pn 2(0) .n(-1t)H (t)e p( p)dt n(0)卷積定理積分的象函數(shù)t1 ()2 (t)dL 1(t) L 2 (t)Lt( p)t( p)0(t )dtp(t )dt

18、pt1 ()2 (t)dL 1 (t) L 2 (t)00L0nn!nn!象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ttpn 1pn 1ndn( p)(t )(t)dpn象函數(shù)的位移定理：eat(t)( pa) eat(t )( pa)(t )n(t)d n( p)由此可得dpneatpa積分公式：cos t( p( p)dp(t ) dta) 2200tatpaecost( pa) 22eatsint( pa) 22eatsint( pa) 22eat cht( ppaa)22eat cht( ppaa)22eat sht( pa)22eat sht( pa)22（用來求逆變( p)dp(t ) dt00t第八章數(shù)學(xué)物理

19、方程的導(dǎo)出2u( x,t )a22 u( x,t)t 2x22u( x,t )a 22 u( x,t)t 2x2弦的橫振動方u=弦的橫向位移程a2=FT/FT=張力 =單位長度弦的質(zhì)量弦的縱振動方u=弦的縱向位移程a2=E/E=楊氏模量 =單位長度弦的質(zhì)量u(r ,t )a 22u(r ,t )t換）u(r ,t )a 2 2u( r , t)tu=離子濃度， a2 =D擴散方程D=擴散系數(shù)熱傳導(dǎo)方程u=溫度， a2=k/ ck= 導(dǎo)熱系數(shù)， =質(zhì)量密度c=比熱容2 u(r , t )a2 2u(r , t )t 22 u(r , t )2 2u(r , t )t 2a波動方u=E 或 B 的

20、任一分量程a21/ 0 0 a21/000=真空電容率0 =真空導(dǎo)磁系方u(r ,t ) |t 0(已知函數(shù) )程u( r, t) |t0（已知函數(shù)）tu(r, t) |t0（已知函數(shù)）t邊界條件u已知函數(shù)unu已知函數(shù)un第九章 本征函數(shù)法弦振動方程的第一類邊值問題定解2u(x,t )2u( x, t)問題a2t 2x22u(x,t )a22u( x,t )t 2x2數(shù)E 電場強度 B 磁場強度拉普拉斯方2 u(r ,t ) 02 u(r ,t) 0程穩(wěn)恒狀態(tài)擴u=粒子濃度散方程穩(wěn)恒狀態(tài)傳u=溫度導(dǎo)方程u |t 0u(0,t )u |t 0u(0,t )分離u(x,t)變量u(x,t)( x

21、), ut|t0( x)u(l ,t )0( x), ut|t0( x)u(l ,t )0X ( x)T (t ) X ( x)T (t )靜電場方程u=靜電勢線性算符與解的疊加初始條件擴（已知函數(shù)）散 u(r , t) |t 0方（已知函數(shù)）u(r , t) |t 0程熱傳導(dǎo)方程波已知函數(shù)u(r , t) |t 0)(動解本X ( x)X ( x)0證方X (0)X (l )0程X ( x)X ( x)0X (0)X (l )0本征值n( n) 2n( n)2llX (x)X n (x)sinnx本征函數(shù)l解非a2nT (t )0T (t)本征方程T(t )a2nT (t)0的通解為T(t)

22、Tn(t)n an aCn costDn sintllT(t)Tn(t)Cn cosn atDn sinn atll定解問題u(x,t)n 1Tn (t)Xn (x)的解(Cn cosn at Dn sinn a t)sinnxn 1lllu(x,t)Tn (t)Xn (x)n 1(Cn cosn at Dn sinn a t)sinnxn 1lll由初Cn sin n始條u(x,0)( x)x件和n1l傅里Cn sin n葉級u(x,0)( x)x數(shù)確n1l定系n anut|t(x)D nx數(shù)0lsinln 1ut|t0(x)D nn a sin nxn 1llCn2l() sinndl0l

23、Cn2l() sinnd分離變量解本證方程解非本征方程u( x, t)a22u(x,t )tx2ux |x 00,ux |xl0u(x,0)( x)ux |x 00,ux |x l0u(x,0)( x)u(x,t)X ( x)T (t )u(x,t)X ( x)T (t )X ( x)X (x)0X (0)X (l )0X ( x)X (x)0X (0)X (l )0本征值n ( n ) 2n( n )2llX (x)X n (x)cosn x本征函數(shù)lT(t)a2nT (t )0T(t)a2nT (t )0的通解為an 2t()T(t)Tn(t) Cnelan 2t()T(t)Tn (t)C

24、nell0lD n2l()sin ndna0lDn2l()sin ndna0l熱傳導(dǎo)方程第二類邊值問題定解u(x,t )2u(x,t )問題a2tx2定解問題的解由初始條件和u(x,t)C0 (an2l) t Cnen 1u(x,t)C0an2() t Cneln 1u(x, t )C0ncosxcosnxlCn cosnxn 1l傅里葉級數(shù)確定系u(x,t )1C0Cn cos nxn 1ll1 l定2 v( x,t)2 v( x,t )解a2f ( x, t)問t2x2題數(shù)C0Cnl2l2()d C0l( )d0n0l(d) cos0lln2 v( x,t)a22 v( x,t )f (

25、x, t)t2x2v |x 0 0,v |x l0Cnl( ) cosd0lv |t 00, vt |t 00X ( x)X (x)0 X ( x)X ( x)0本征值和本征函數(shù)系v |x 00,v |xl0v |t 00, vt |t00齊次邊界條件本征值本征函數(shù)系X(0)X(l)0n( n) 2sin nxllX(0)X(l)0n( n) 2sin nxX (0)X (l )0ll( n) 2cos nxX (0)X (l )0nlln( n) 2cos nxX(0)X (l)0ll(n1)(n1)X(0)X (l)0n22sin2xll(n1)(n 1)n22sin2xll第一類邊界條件

26、齊次化的一般方法非齊次邊界條u(0, t)1(t)件u(l, t)2 (t)u(0, t)1(t)本征 X (x)函數(shù)非齊 f (x,t )次項按 f (x,t )本征函fn (t )數(shù)fn (t )展開定解 v(x,t)問題試 v(x,t)解nX n ( x)sinxlfn (t ) sin nxn1lfn (t ) sin n xn1l2l, t ) sinnlf (d0l2l, t ) sinnlf (d0lTn(t)xinnxn 1lTn(t)xinn xn 1lu(l, t)2 (t)齊次化方法v(x, t )1 (t)u( x, t )x2 (t)1(t )lu( x, t )v(x, t )1 (t)xT n(