微積分下第一分冊75冪級數(shù)

1、一、一、 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)設(shè)0210)()()()()(nnnxuxuxuxuxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的上的函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) .對對, I0 x若常數(shù)項級數(shù)若常數(shù)項級數(shù)00)(nnxu斂點斂點, 所有收斂點的全體稱為其所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)若常數(shù)項級數(shù)00)(nnxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)上的函數(shù), 稱稱收斂收斂,發(fā)散發(fā)散 ,所有所有0 x稱為其為其收收 0 x稱為其為其發(fā)散點發(fā)散點, ),2, 1 , 0()(nxun發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 . 第五節(jié)第五節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù), )(xS為級數(shù)

2、的為級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成并寫成)()(0 xuxSnn若用若用)(xSn)()(0 xuxSnkkn則在收斂域上有則在收斂域上有, )()(limxSxSnn表示函數(shù)項級數(shù)前表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和項的和, 即即在收斂域上在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù)的函數(shù) 稱它稱它例如例如, 等比級數(shù)等比級數(shù)它的收斂域是它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是它的發(fā)散域是或?qū)懽骰驅(qū)懽?1x,)1,1(時當(dāng)x有和函數(shù)有和函數(shù) 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxa

3、xxaa的函數(shù)項級數(shù)稱為的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如例如, 冪級數(shù)冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形即是此種情形. .的情形的情形, 即即nnxxa)(0稱稱 ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)若冪級數(shù)0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式則對滿足不等式0 xx 的一切的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂冪級數(shù)都絕對收斂.反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切的一切 x

4、 , 該冪級數(shù)也發(fā)散該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散時該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式則對滿足不等式冪級數(shù)在冪級數(shù)在 (, +) 收斂收斂 ;由由Abel 定理定理可以看出可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間中心的區(qū)間. 用用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為的收斂域是以原點為則則R = 0 時時, 冪級數(shù)僅在冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂收斂 ;R = 時時,0 R冪級數(shù)在冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂收斂 ;R 稱為稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在在R , R 可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散外發(fā)散; 在在(R , R ) 加上收斂

5、端點稱為加上收斂端點稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 若若0nnnxa的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:則根據(jù)比值判別法可知則根據(jù)比值判別法可知:當(dāng)當(dāng),1x原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng),1x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.x即即1x時時,1) 當(dāng)當(dāng) 0 時時,2) 當(dāng)當(dāng) 0 時時,3) 當(dāng)當(dāng) 時時,即即時時,則則 1x0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理據(jù)此定理1limnnnaaR對端點對端點 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(3

6、2的收斂半徑及收斂區(qū)間的收斂半徑及收斂區(qū)間.解解:11nn11對端點對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù)級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂收斂; 級數(shù)為級數(shù)為,11nn發(fā)散發(fā)散 . . 1, 1(故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為例例1.1.求冪級數(shù)求冪級數(shù) limn 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂區(qū)間為所以收斂區(qū)間為. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂處收斂 .規(guī)

7、定規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2,比值判別法求收斂半徑比值判別法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為故收斂半徑為 .21R21x即142x當(dāng)21x即) 1(2nxnx2故直接由故直接由例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.解解: 令令 ,1 xt級

8、數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, 級數(shù)為級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, 級數(shù)為級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)的收斂區(qū)間故原級數(shù)的收斂區(qū)間為為,212x即即.31x)3 , 1定理定理4 若冪級數(shù)若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑的收斂半徑,0R)(xS數(shù)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函則其和函

9、在收斂區(qū)間上在收斂區(qū)間上連續(xù)連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)與與逐項求積分逐項求積分,運算前后收斂半徑相同運算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項積分時逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變運算前后端點處的斂散性不變.三、冪級數(shù)的性質(zhì)三、冪級數(shù)的性質(zhì)例例5. 1nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā)時級數(shù)發(fā),)1,1(時故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散散,例例6. 求級數(shù)求級數(shù)01nnnx的和函數(shù)的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)

10、的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及及收斂收斂 , 有時則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及及內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂區(qū)間的方法求冪級數(shù)收斂區(qū)間的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性再討論端點的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項缺項或通項為或通項為復(fù)合式復(fù)合式)求