數(shù)列復習提綱帶答案

1、數(shù)列復習提綱知識網(wǎng)絡要點歸納一數(shù)列的概念及表示方法(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)(2)表示方法：列表法、圖象法、通項公式法和遞推公式法(3)分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關系可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列二求數(shù)列通項 1 由Sn與an的關系求an （或Sn）已知數(shù)列an的前n項和Sn，則an注意：一定不要忘記對n取值的討論！最后，還應檢驗當n=1的情況是否符合當n2的關系式，從而決定能否將其合并。2由數(shù)列的遞推關系求通項公式已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解.(1)當出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；(

2、2)當出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解；(3)當出現(xiàn)an1panq時，將an1panq的遞推關系式可以化為(an1t)p(ant)的形式，構成新的等比數(shù)列，其中t.三等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an1and(常數(shù))an是等差數(shù)列；q(q為常數(shù)，q0)an是等比數(shù)列(2)中項公式法：2an1anan2an是等差數(shù)列；aan·an2(an0)an是等比數(shù)列3)通項公式法：（a,b為常數(shù)）為等差數(shù)列；anc·qn(c，q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列(4)前n項和公式法：（A,B為常數(shù)）為等差數(shù)列。；Snaqna(a，q為常數(shù)，且a0，q0，q1，nN*)an是等比數(shù)列后兩

3、種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列，主要適合在選擇題中簡單判斷.四等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列的有關性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是an的前n項和.(1)若mnpq(m，n，p，qN+)，則有amanapaq.(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性：當d0時，an是遞增數(shù)列；當d0時，an是遞減數(shù)列；當d0時，an是常數(shù)列.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN+)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列.(5)當項數(shù)為偶數(shù)時，則；.當項數(shù)為奇數(shù)時， ； ；S奇S偶a中(中間項). 。2等比數(shù)列的性質(zhì)已知a

4、n是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和.(1)若klmn(k，l，m，nN+)，則有ak·alam·an.(2)等比數(shù)列an的單調(diào)性：當q1，a10或0q1，a10時，數(shù)列an是遞增數(shù)列； 當q1，a10或0q1，a10時，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當q1時，數(shù)列an是常數(shù)列.(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，akm，ak2m，仍是等比數(shù)列，公比為qm.(4)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列.(5)當q1，或q1且n為奇數(shù)時，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.五求數(shù)列的前n項和的基本

5、方法(1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項和Sn公式；(2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列(3)裂項(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和常見的裂項公式 . .(4)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.題型一方程的思想解數(shù)列問題在等差數(shù)列

6、和等比數(shù)列中，通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中首項a1和公差d(或公比q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1，an，n，d(或q)，Sn的方程組，通過方程的思想解出需要的量例1 設an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S721，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn的最大值解設等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1n(n1)d.S721，S1575，即解得a19，d2.Snna1d9n(n2n)10nn2.則10n.1，數(shù)列是以9為首項，公差為1的等差數(shù)列Tnn2n(n)2.nN*，當n9，或n10時，Tn有最大值45.

7、跟蹤演練1記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，設S312，且2a1，a2，a31成等比數(shù)列，求Sn.解設數(shù)列an的公差為d，依題設有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)題型二轉化與化歸思想求數(shù)列通項由遞推公式求通項公式，要求掌握的方法有兩種，一種求法是先找出數(shù)列的前幾項，通過觀察、歸納得出，然后證明；另一種是通過變形轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再采用公式求出例2 (2016·鐵嶺質(zhì)檢)已知數(shù)列an中，a1，an1.(1)求an；(2)設數(shù)列bn的前n項和為Sn，且bn·1，求證：Sn1.(1)解由已知得an0則由an1，得，即，而2，是以2為首項，以為公差的等差數(shù)列.2

8、(n1)，an.(2)證明bn·1，則由(1)得bn，Snb1b2bn1關于n單調(diào)遞增，Sn1.跟蹤演練2設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當n1時，a12×12；當n2時，a12a2(a1a2)4，a24；當n3時，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當n2時，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn

9、12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列題型三函數(shù)思想求解數(shù)列問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時，若涉及參數(shù)取值范圍，最值問題或單調(diào)性時，均可考慮采用函數(shù)的思想指導解題值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或其真子集，這一特殊性對問題結果可能造成影響例3已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d>0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列的第二項、第三項、第四項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn (nN*)，Snb1b2bn，是否存在t，使得

10、對任意的n均有Sn>總成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請說明理由解(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.d>0，d2.a11.an2n1(nN*)(2)bn()，Snb1b2bn(1)()()(1).假設存在整數(shù)t滿足Sn>總成立，又Sn1Sn>0，數(shù)列Sn是單調(diào)遞增的S1為Sn的最小值，故<，即t<9.又tZ，適合條件的t的最大值為8.跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)，數(shù)列an滿足a11，an1f ()，nN*，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.解(1)a

11、n1f()an，an是以為公差的等差數(shù)列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)·(2n23n)題型四數(shù)列的交匯問題數(shù)列是高中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，它始終處在知識的交匯點上，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識有較多交匯處它包涵知識點多、思想豐富、綜合性強，已成為近年高考的一大亮點例4已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，對任意正整數(shù)n，Sn(nm)an1<0

12、恒成立，試求m的取值范圍解(1)設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q.依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420，解得或又an單調(diào)遞增，an2n.(2)bn2n·log2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n，2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1，得Sn222232nn×2n1n×2n12n1n×2n12.由Sn(nm)an1<0，得2n1n×2n12n×2n1m

13、5;2n1<0對任意正整數(shù)n恒成立，m·2n1<22n1，即m<1對任意正整數(shù)n恒成立1>1，m1，即m的取值范圍是(，1跟蹤演練4在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN.(1)證明：數(shù)列ann是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn；(3)證明：不等式Sn14Sn對任意nN皆成立 (1)證明由題設an14an3n1得an1(n1)4(ann)，nN.又a111，ann是首項為1，公比為4的等比數(shù)列(2)解由(1)可知ann4n1，于是數(shù)列an的通項公式為an4n1n，數(shù)列an的前n項和Sn.(3)證明對任意的nN.Sn14Sn4(3n2n4)0.不

14、等式Sn14Sn對任意nN皆成立數(shù)列復習題一、選擇題1. 數(shù)列0，1，0，1，0，1，0，1，的一個通項公式是an等于()A. B.cos C.cos D.cos 解析令n1，2，3，逐一驗證四個選項，易得D正確.答案D2. (2016·黃岡模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Snn22n2，則數(shù)列an的通項公式為()A.an2n3 B.an2n3C.an D.an解析當n1時，a1S11，當n2時，anSnSn12n3，由于a1的值不適合上式，故選C. 3. (2016·洛陽統(tǒng)考)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A.63 B.45 C.

15、36 D.27解析 由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故選B.4. 設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a1a3a53，則S5()A.5 B.7 C.9 D.11解析an為等差數(shù)列，a1a52a3，得3a33，則a31，S55a35，故選A.答案A5設an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項和，若S10S11，則a1()A18 B20 C22 D24解析：選BS10S11，a110，即a110d0.a110d20.6.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值

16、是()A0 B1 C2 D4解析：選Dx，a，b，y成等差數(shù)列，abxy，又x，c，d，y成等比數(shù)列，cdxy.224.當且僅當xy時取等號，所以的最小值是4.7在數(shù)列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN+)的個位數(shù)，則a2 015()A.8 B.6C.4 D.2解析由題意得a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108.所以數(shù)列中的項從第3項開始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2 015a335×65a52.答案D8. 若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20()A.20 B.50 C.70 D

17、.80解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a10a11a9a122e5，所以a10·a11e5，于是ln a1ln a2ln a2010ln(a10·a11)10ln e550. 答案B9. 設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若3，則()A.2 B. C. D.3解析由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意，得S3，S6S3，S9S6仍成等比數(shù)列，由已知得S63S3，即S9S64S3，S97S3，.答案B10. (2016·杭州質(zhì)量檢測)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，(n1)SnnSn1(nN+).若1，則()A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最

18、小值是S7解析由條件得，即，所以anan1，所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列.又1，所以a80，a70，即數(shù)列an前7項均小于0，第8項大于零，所以Sn的最小值為S7，故選D.答案D11. (2016·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a11，an1·an2n(nN+)，則S2 016()A.22 0161 B.3·21 0083C.3·21 0081 D.3·21 0072解析a11，a22，又2.2.a1，a3，a5，成等比數(shù)列；a2，a4，a6，成等比數(shù)列，S2 016a1a2a3a4a5a6a2 015a2 016(a1a3a5a2 015)(a2a

19、4a6a2 016)3·21 0083.故選B.答案B12. (2016·青島一模)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6等于()A.5 B.7 C.6 D.4解析把a1a2a3，a2a3a4，a7a8a9各看成一個整體，由題意知它們分別是一個等比數(shù)列的第1項、第4項和第7項，這里的第4項剛好是第1項與第7項的等比中項.因為數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以a4a5a65. 答案A二、填空題13. 等比數(shù)列an的前n項和Sn2n+a, 則a=_.14. (2016·濰坊一模)已知數(shù)列an的前n項和Snan，則an的通項公式an

20、_.解析當n1時，a1S1a1，a11.當n2時，anSnSn1anan1，.數(shù)列an為首項a11，公比q的等比數(shù)列，故an.答案15. 已知數(shù)列an：，若bn，那么數(shù)列bn的前n項和Sn為_.解析an，bn4，Sn44.答案16. 正項數(shù)列an滿足a11，a22，2aaa(nN+，n2)，則a7_.解析由2aaa(nN+，n2)，可得數(shù)列a是等差數(shù)列，公差daa3，首項a1，所以a13(n1)3n2，an，a7.答案17. 在等差數(shù)列an中，a10，a10·a110，若此數(shù)列的前10項和S1036，前18項和S1812，則數(shù)列|an|的前18項和T18的值是_.解析由a10，a10·a