復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)

1、2021/8/141 第二章第二章 復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) 1.1.解析函數(shù)解析函數(shù)1. 極限與連續(xù)性 單值函數(shù)： 對于 G 中的每個 z ，有唯一的 w 與其對應(yīng)。 多值函數(shù)： 至少存在一個 z0 屬于 G，與 z0 對應(yīng)的 w 有 兩個或兩個以上。2021/8/142xyzuvwoo2021/8/1432021/8/144復(fù)變函數(shù)極限的定義, 00)( ，使得如果存在一個復(fù)數(shù)AA內(nèi)有定義。的空心鄰域在設(shè)函數(shù)|0)( 00zzzzfw |)(| )0(|00，都有的一切對滿足Azfzzz時的極限，記作趨于當(dāng)為函數(shù)則稱0)(zzzfA)()( )(lim 00zzAzfAzfzz或2021/8/145

2、當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 當(dāng) 時，2021/8/146設(shè) 則 當(dāng)且僅當(dāng) 證明證明 如果則 使得當(dāng)時，命題命題2021/8/147所以反之，若則當(dāng)時，所以, 當(dāng)時2021/8/148 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為連續(xù)函數(shù)內(nèi)連續(xù)。在中每一點連續(xù)，則稱在區(qū)域 )( )( GzfGzf2021/8/149例例上不連續(xù)。域上連續(xù)，在負實數(shù)軸和負實數(shù)軸的區(qū)在整個復(fù)平面除去原點求證： )0(arg)( zzzf解：有在負實數(shù)軸上時當(dāng), 0zzzzzzzzzarglim,arglim 0Im0Im00在負實數(shù)軸上不連續(xù)；故zarg2021/8/1410. 0Im, 0Re

3、 0zzCz再設(shè)與負實數(shù)軸不相交。使得角狀域00000argarg, 0zzxy，取)sin(|0z時，當(dāng)則 | 0 zz00argargargzzz連續(xù)。在即 )( 0zzf所以，|argarg|0zz0z0,0 0 argz02021/8/1411例設(shè). )(lim 0不存在證明zfz證明設(shè)則所以. )(lim 0不存在所以zfz2021/8/1412 2. 導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)果極限是鄰域內(nèi)任意一點，如值函數(shù)，的某鄰域內(nèi)有定義的單在點設(shè)函數(shù)zzzzfw00)( , )( ,)()(lim 0000或可導(dǎo)可微在，則稱函數(shù)并且等于復(fù)數(shù)存在（為有限的復(fù)數(shù)）zzfAzzfzzfz )( 0的導(dǎo)數(shù)，記為在

4、稱為函數(shù)zzfA , )( 00zzdzdwzf，或 即，zzfzzfzfz)()(lim)( 0000定義2021/8/1413定義時，有使得當(dāng)，可以找到一個正數(shù)對任意的 |0),( 0 0zz,|)()( | 00Azzzfzf. )( 0可微或可導(dǎo)在則稱函數(shù)zzf內(nèi)解析函數(shù)；是析，我們也說內(nèi)解在內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在區(qū)域如果DzfDzfDzf )( )( )( 在區(qū)域內(nèi)解析. )( )( 00處解析在點稱的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則在如果zzfzzf在一點解析2021/8/1414. )( , )( 上解析在閉區(qū)域那么稱每一點都屬于上內(nèi)處處解析，而閉區(qū)域在區(qū)域如果DzfGDGzf在閉區(qū)域上解析 如果

5、一個函數(shù)在一個點可導(dǎo)，則它在這個點連續(xù).證明設(shè) f(z) 在點 a 可導(dǎo)，則. )( )( 000的一個奇點為稱內(nèi)都有解析點存在，則的每個鄰域不解析，但在在如果函數(shù)zfzzzzf2021/8/1415u注解1 “可微”有時也可以稱為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；u注解2 解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個點的可導(dǎo)性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；u注解3 函數(shù)在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個點可導(dǎo)，反之，在一個點的可導(dǎo)不能得到在這個點解析；u注解4 閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個區(qū)域的一個更大的區(qū)域上解析；2021/8/1416四則

6、運算法則2021/8/1417復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 ，內(nèi)解析，又域在區(qū)內(nèi)解析，函數(shù)在區(qū)域設(shè)函數(shù)GDfGgwDzf)( )( )( )()( zhzfgw則復(fù)合函數(shù)內(nèi)解析，并且有：在 D )( )( )()( zfzfgzfgzh2021/8/1418，又反函數(shù)內(nèi)解析，且在區(qū)域設(shè)函數(shù)0)( )( zfDzfw)()( 1wwfz存在且為連續(xù)，則有：)( 1)( 1)( )(wfzfwwz注：利用這些法則，我們可以計算常數(shù)、多項式以及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同。反函數(shù)求導(dǎo)法則 2021/8/1419. 處處不可微證明例 zf(z)證明 因為 所以zzz0lim,不存在. )( 處處

7、不可微zfCauchy-Riemann 方程問題 ? ),(),()( , ),( ),( 內(nèi)解析嗎在那么上可微在區(qū)域和若DyxivyxuzfDyxvyxu2021/8/1420設(shè)可微，則首先設(shè) h 為實數(shù)，得令得再令t 為實數(shù)，得2021/8/1421令得 由 得 Cauchy-Riemann方程2021/8/1422可導(dǎo)，則定義，在點內(nèi)有在區(qū)域設(shè)函數(shù)定理DiyxzDyxivyxuzf ),(),()( 處存在一階偏導(dǎo)數(shù)；在點和虛部）實部（),( ),( ),( 1yxyxvyxu:- ),( ),( )2(方程）黎曼方程（簡稱滿足柯西和RCyxvyxu2021/8/1423 例在處滿足上述

8、定理中的條件，但 f (z)在不可微.證明由于所以.不存在. 0 )( 不可導(dǎo)在所以zzf2021/8/1424: )( ),(),()( 可導(dǎo)的充要條件是在點定義，那么內(nèi)有在區(qū)域設(shè)函數(shù)定理DiyxzzfDyxivyxuzf處可微，在點和虛部實部 ),( ),( ),( ) 1 (yxyxvyxu:- ),( ),( )2(黎曼方程滿足柯西和yxvyxuxvyuyvxu C-R條件 證明 設(shè) 在點 處有導(dǎo)數(shù) 其中a 和 b為實數(shù)， 當(dāng) 時，2021/8/1425處可微，且在及因此，),( ),( ),(yxyxvyxu程成立，則有方處可微，并有在及反之，設(shè)RCyxyxvyxu ),( ),(

9、),( 2021/8/1426 其中 滿足條件設(shè)則所以2021/8/1427其中由于所以即2021/8/1428 注：2021/8/1429條件是內(nèi)解析的充要區(qū)域函數(shù)定理Dyxivyxuzf ),(),()( 內(nèi)處處可微，在區(qū)域和虛部實部Dyxvyxu ),( ),( ) 1 (:- ),( ),( )2(黎曼方程滿足柯西內(nèi)在和Dyxvyxuxvyuyvxu 2021/8/1430且滿足內(nèi)有定義，在區(qū)域設(shè)函數(shù)推論Dyxivyxuzf ),(),()( 導(dǎo)函數(shù)，內(nèi)存在一階連續(xù)偏在區(qū)域和虛部實部 ),( ),( ) 1 (Dyxvyxu:- ),( ),( )2(黎曼方程滿足柯西內(nèi)在和Dyxvyx

10、uxvyuyvxu . )( 內(nèi)解析在區(qū)域則Dzf2021/8/1431條件是內(nèi)解析的充要區(qū)域函數(shù)定理Dyxivyxuzf ),(),()( 導(dǎo)函數(shù)，內(nèi)存在一階連續(xù)偏在區(qū)域和虛部實部 ),( ),( ) 1 (Dyxvyxu:- ),( ),( )2(黎曼方程滿足柯西內(nèi)在和Dyxvyxuxvyuyvxu 2021/8/1432.| 2的可導(dǎo)性與解析性討論例z由于所以解由于在整個復(fù)平面上連續(xù)， RC 但只在原點滿足條件，處可導(dǎo)，只在所以 0 )( zzf.而處處不解析2021/8/1433. )( 2的可微性與解析性討論函數(shù)例iyxzf解由得21 )( , xzfvvuuyxyx在直線所以在整個

11、復(fù)平面上連續(xù)，由于上可導(dǎo)，.但處處不解析2021/8/1434驗證函數(shù)例 上處處解析，在復(fù)平面C.并求其導(dǎo)數(shù)證明由于在平面上連續(xù)，條件，且滿足 RC 所以上處處解析，在復(fù)平面C2021/8/1435 2. 2.初等函數(shù)初等函數(shù).)( )3(xxxeee處處可微，且是單調(diào)增函數(shù)，且）（xe 4 實指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)實指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 1. 1.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)2021/8/1436指數(shù)函數(shù)的定義域的擴充指數(shù)函數(shù)的定義域的擴充滿足下列條件：的函數(shù)要求復(fù)變量 )( zfiyxz;)(, ) 1 (xexfRx上解析；在Czf)( )2();()()(, )3(212121zfzfzzfCzz首先),()(

12、)(yiByAiyf),()()(iyfeiyxfzfx設(shè)),()()( yBieyAezfxx則由于要求解析，所以利用柯西-黎曼條件，有),()( ),( )(yByAyByA2021/8/1437所以，,sin)(,cos)(yyByyA因此，).sin(cos)(yiyezfx則復(fù)函數(shù)設(shè) , iyxz定義定義稱作復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)，記作2021/8/1438.),0( ) 1 (xzeeyxz則若)2(.)( )3(zzzeee處處解析，且證明令則復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：2021/8/1439即的周期函數(shù)是周期為指數(shù)函數(shù),2 )6(iewz.lim )7(不存在zze證明由

13、于.lim不存在所以zze 注：注： , iyz 設(shè)得 EulerEuler公式公式則由2021/8/1440 問題：問題：定理是否成立？在復(fù)分析中 Rolle .答：不再成立例設(shè)在復(fù)平面上處處解析，盡管 )( zf且但2021/8/1441ooxyuv 指數(shù)函數(shù)的幾何性態(tài)指數(shù)函數(shù)的幾何性態(tài)若將直線映射成圓周將直線映射成射線若則則2021/8/1442若則. 2 的水平帶形內(nèi)是一一的在寬度小于zew xyouvoii. Imz- 區(qū)域?qū)嵼S后剩下部分構(gòu)成的平面上的去掉原點及負一對一地映射成：平面上的水平帶形將wzzewz2021/8/1443 三角函數(shù)三角函數(shù)由于Euler公式，對任何實數(shù) y，

14、我們有：所以有定義規(guī)定對于任何復(fù)數(shù) , z2021/8/1444 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì). , ) 1 (實余弦函數(shù)實余弦函數(shù)函數(shù)等于實正弦函數(shù)和函數(shù)等于實正弦函數(shù)和則復(fù)正弦函數(shù)和復(fù)余弦則復(fù)正弦函數(shù)和復(fù)余弦若若Rxz（2 2）coscosz z是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，sinsinz z是奇函數(shù)是奇函數(shù) 證明證明2021/8/1445（3 3）coscosz z 和和 sinsinz z 是以是以 2 2 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù): : 證明證明2021/8/1446證明2021/8/1447證明2021/8/1448 )6(和且在整個復(fù)平面上解析,證明2021/8/1449正弦函數(shù)

15、)7(的零點為余弦函數(shù)的零點為由即得證明2021/8/1450)8(對于.都不成立和.在復(fù)平面上為無界函數(shù)證明設(shè)則2021/8/1451計算例 解2021/8/1452定義上述四個函數(shù)在各自的定義域內(nèi)解析，且定義雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切2021/8/1453初等多值函數(shù)初等多值函數(shù)1. 1. 幅角函數(shù)幅角函數(shù)對于其中是幅角主值：, z 如果對每一個非零復(fù)數(shù)之對應(yīng)，我們選取其一個幅角與一個此函數(shù)稱作幅角函數(shù)的則得到一個單值函數(shù)，單值分支單值分支.個則稱其為幅角函數(shù)的一如果此單值函數(shù)連續(xù)，連續(xù)單值分支連續(xù)單值分支.2021/8/1454設(shè) z是則主值幅角函數(shù)arg.上的一個連續(xù)單值分支D, k 對

16、每一個整數(shù).上的一個連續(xù)單值分支也是D.D單值分支上可分出無限多個連續(xù)在上沿上沿下沿下沿主值幅角函數(shù)的邊界是負實軸及原點區(qū)域D負實軸分上沿和下沿上沿和下沿，可以連續(xù)延拓到負實軸，在上沿取值.在下沿取值2021/8/1455出連續(xù)單值分支？在整個復(fù)平面上能否分幅角函數(shù)思考題：思考題：.答：否2021/8/1456定義定義設(shè)設(shè)是一個多值函數(shù)，是一個多值函數(shù)，是是的任的任意一個鄰域意一個鄰域,是是內(nèi)任一繞內(nèi)任一繞一周的簡單閉曲線一周的簡單閉曲線. 在在上取一點上取一點, 我們從與我們從與對應(yīng)的多個值中取出一個與其對應(yīng)，對應(yīng)的多個值中取出一個與其對應(yīng)，設(shè)為設(shè)為, 讓點讓點從從出發(fā)，沿出發(fā)，沿繞繞一周，

17、回到一周，回到, 對應(yīng)對應(yīng)的值從的值從連續(xù)變化為連續(xù)變化為如果如果則稱則稱為為的一個的一個支點支點. xyo0z1z)(0zU2021/8/1457xyo1zzxyo.的支點是和Argz 0zzzzzArg 0 稱作多值函數(shù)的簡單連續(xù)曲線和每一條連接.的一條支割線.值分支能分出無限多個連續(xù)單上在區(qū)域 Arg zC設(shè)例 的一個連續(xù)是幅角函數(shù)zzArgarg.單值分支假設(shè)計算和2021/8/1458xyii2321i2123oxo234151zz解解設(shè)例 上的一個連續(xù)單值在是Dz Arg . 01arg 分支，滿足).()(4 1 ff和計算2021/8/1459對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義定義的對數(shù)，稱

18、為復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)滿足方程 0 zwzzew)( 。記為zwLn 注意：注意：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)必然是多值函數(shù)。如果令則2021/8/1460即注意：注意：.,)(沒有對數(shù)所以由于 0 0 1we.)(上的多值函數(shù)是定義在0Ln 2 CDz對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì).集合相等上面的等式應(yīng)該理解為和幅角的加減法一樣， 注：注：2021/8/1461由于證明所以從而得問題：問題：是否成立？.答：否的幅角主值，則為因為若 arg zz , 2. 1, 0 ),4i(2arg|z|2ln2Lnz, 2, 1, 0 ,2arg2|ln2Ln2

19、kkzkikzizz2021/8/1462對數(shù)函數(shù)的主值對數(shù)函數(shù)的主值相應(yīng)于Argz的主值，我們定義Lnz的主值主值為：zzzzwarg ,argi|lnln, i2lni2argi|lnLnkzkzzzw從而函數(shù)對于每一個固定的整數(shù) , ki2argi|lnkzzw，是復(fù)平面上的單值函數(shù)不連續(xù)，在此函數(shù)在負實軸及原點其它點處處連續(xù)，一個稱此函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的連續(xù)單值分支.2021/8/1463支稱作時，對應(yīng)的連續(xù)單值分當(dāng)0k對數(shù)函數(shù)的主值支對數(shù)函數(shù)的主值支. .設(shè):D Ln續(xù)單值分支上能分解成無窮多個連在區(qū)域z，函數(shù)對于每一個固定的整數(shù) k , 上的一個單值連續(xù)函數(shù)是區(qū)域 DxyOD.軸上不連

20、續(xù)但此函數(shù)在原點及負實2021/8/1464xyo1z. Ln 0的支點是和zzz的函數(shù)的簡單連續(xù)曲線是對數(shù)和每一個連接zzzLn0作為割線，的任一條無界簡單曲線和連接一般，在復(fù)平面上，取K0分支。無限多個單值連續(xù)函數(shù)上，對數(shù)函數(shù)可分解成則在區(qū)域KCD支割線支割線.KD1z1z),2i(|lnln,01111kzzDz若取設(shè), zD內(nèi)的任意一點則對于有).2i(|lnln01kzz作：由此確定的單值分支記i)2i|lnln( ,ln0111kzzzwxy2021/8/1465并且都是解析的內(nèi)的任何單值連續(xù)分支在區(qū)域?qū)?shù)函數(shù), ln)( Ln zzfKCDz證明證明. Dz設(shè)由于，非零復(fù)數(shù)所以對

21、任何模充分小的h 有 設(shè)則2021/8/1466注：注：. Ln ln)( (1)內(nèi)的一個單值解析分支在區(qū)域稱作KCDzzzf. ln)( )2(上不連續(xù)，故也不解析在割線 Kzzf., Ln 0 )3(特別稱其為對數(shù)支點的無窮階支點是和zw 連接支點首先確定其支點，然后研究初等多值函數(shù)時，）（ 4.成單值解析分支區(qū)域內(nèi)將多值函數(shù)分解作支割線，在所得到的2021/8/1467計算例 .的值解計算例 .的值解2021/8/1468面上分出的在沿上半虛軸割開的平是對數(shù)函數(shù)設(shè)例 Ln ln)( zzzf).1(, 0) 1 (iff求一個單值解析分支，1xy解由于所以可設(shè)從而所以2021/8/146

22、9設(shè).21的一條連續(xù)曲線和是連接點zzC表示. )( 21幅角的增量時移動到點從點沿曲線當(dāng)zfzzCz則證明設(shè)時，移動到從點沿曲線當(dāng)21zzCz從連續(xù)變化為從連續(xù)變化為) 3(2021/8/1470從連續(xù)變化為相應(yīng)地，即所以2021/8/1471. )1Ln( 2分解成單值解析分支后將函數(shù)以適當(dāng)方式割開復(fù)平面例z).2( , 0)0( ln)( ffzzf求支，滿足條件是其中一個單值解析分設(shè)解.1 和可能的支點是1一圈時，逆時針繞沿曲線讓 1 Cz1i,2 )1 (Ln 2的值增加從而z由一支變到另一支，即 )Ln(1 2z 1 為故點)1 (Ln)(2zzf.的支點.)1 (Ln)(12的支

23、點也為同樣可證zzf11L2021/8/147211L一圈時，和逆時針繞沿曲線讓 1 1 Lzi,4 )1 (Ln 2的值增加從而z由一支變到另一支，即 )Ln(1 2z 為故點)1 (Ln)(2zzf.的支點.作右圖所示支割線11, 0)0( f由于即,01ln)01 (Ln)0(2if. 0102的幅角取為時，故當(dāng)zz2C的幅角改變量為時移動到從沿曲線當(dāng)21 ,20zCz2021/8/1473時，所以2z，的幅角是21z故if3ln)21 (Ln)2(2例分成單值解析分支，面后將對數(shù)函數(shù)以適當(dāng)?shù)姆绞礁铋_復(fù)平11Ln zz).( ,2)()( ifiifzf求是其中一個單值分支，設(shè)解11.1

24、11Ln和可能的支點是zz一圈時，逆時針繞沿曲線讓 1 Czi,2 11Ln 的值增加從而zz由一支變到另一支，即1z 1Ln z 1 為故點11Ln)(zzzf.的支點.11Ln)(1的支點也為同樣可證zzzf2021/8/147411L一圈時，和逆時針繞沿曲線讓 1 1 Lz的值沒有改變，從而 11Ln zz.11Ln)( 的支點不是故zzzf.作右圖所示支割線11,2)( iif由于.211的幅角取為時，故當(dāng)zziz即,21ln11Ln)(iiiifii的幅角改變量為時移動到從沿曲線當(dāng) 11 , zziiCzC2021/8/1475，的幅角是時，所以211zziz故iizizif2|)(

25、)(|ln)(i22021/8/1476yoDuvoiii3i3對數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì).arg:zzD )arg(arg|lnlnzikzizzw 2設(shè)映射成水平帶形將區(qū)域則 Dzwlnx2021/8/1477冪函數(shù)冪函數(shù). 0 x設(shè)則是正整數(shù)如果, 1n)(則是正整數(shù)如果, m, 2n)(則是無理數(shù)如果, 3)(.limnnnrr并且是有理數(shù)序列其中,Rx和對于任意02021/8/1478定義定義稱如下定義的函數(shù)和對于任意, 0zC.為復(fù)冪函數(shù)則規(guī)定是正實數(shù)如果,. 00 由定義我們有.,arg,lnZkz01其中.是一個多值函數(shù)一般情況下zw,.,)(值函數(shù)是一個則是既約分數(shù)

26、如果nzwnnm1.,是一個單值函數(shù)則是整數(shù)如果特別地zw ,2021/8/1479.,是一個無限多值函數(shù)則是無理數(shù)或虛數(shù)如果zw .是支點和是多值函數(shù)時當(dāng)zzzw0,2021/8/1480 xyoxyoKD內(nèi)可以分解成在區(qū)域則是既約分數(shù)如果Dzwnnm,)(1.個單值解析分支n內(nèi)可以分解成無限多在區(qū)域則是無理數(shù)或虛數(shù)如果Dzw,.個單值解析分支2021/8/1481,內(nèi)的一個單值解析分支是冪函數(shù)在區(qū)域設(shè)Dzw則其中 應(yīng)當(dāng)理解為對它求導(dǎo)數(shù)的那個分支.2021/8/1482xyouvo)(冪函數(shù)的映射性質(zhì)冪函數(shù)的映射性質(zhì),是正實數(shù)設(shè),20.:0zzCD2021/8/1483例使得函數(shù)的區(qū)域作出一

27、個含點,i.值解析分支在此區(qū)域上可分解為單解xyo120zC, 0zC上任取一點在處的值為在及取0)2Arg( ) 1(Arg,Arg zzzz).2(arg ) 1arg(,arg000z zz及,00時出發(fā)逆時針轉(zhuǎn)一周回到從沿當(dāng)zzCz,2argargArg00zzz變成了從. 0)2Arg( ) 1(Arg的改變量均為及zz2021/8/1484的值從所以w)2arg()1arg(arg0000000221| )2)(1(|zzziezzzw變?yōu)?2arg()1arg(2arg0001000221| )2)(1(|zzziezzzw)2arg()1arg(arg000000221| )2

28、)(1(|zzziezzz0w.0是函數(shù)的支點所以 z., 2 , 1均為函數(shù)的支點類似可證z2021/8/14851zxyo1212xyoxyo123z4zxyo12xyo12:作支割線的方法如下2021/8/1486找出函數(shù) . 2的支點，并作支割線。解xyo120zC, 0 zC上任取一點在0)2Arg( ) 1(Arg,Arg zzzz在及取).2(arg ) 1arg(,arg 000z zz及處的值為, 00時出發(fā)逆時針轉(zhuǎn)一周回到從沿當(dāng)zzCz,2arg arg Arg00zzz變成了從. 0 )2Arg( ) 1(Arg的改變量均為及zz）（12021/8/1487的值從所以w)

29、2arg()1arg(arg0000000331| )2)(1(|zzziezzzw變?yōu)?2arg()1arg(2arg0001000331| )2)(1(|zzziezzzwizzzeezzzi32000331)2arg()1arg(arg000| )2)(1(|032wei.0是函數(shù)的支點所以 z2 1 和類似可證z1zxyo1212xyo3z.都是函數(shù)的支點2021/8/1488）（2xyo120z, 0 zC上任取一點在0)2Arg( ) 1(Arg,Arg zzzz在及取).2(arg ) 1arg(,arg 000z zz及處的值為, 00時出發(fā)逆時針轉(zhuǎn)一周回到從沿當(dāng)zzCz的值分

30、別從及 )2Arg( ) 1(Arg,Argzzz)2(arg ) 1arg(,arg 000z zz及2)2(arg2 ) 1arg(,2arg 000z zz及變?yōu)榈闹祻乃詗)2arg()1arg(arg0000000331| )2)(1(|zzziezzzw2021/8/1489變?yōu)?)2arg()1arg(arg0001000331| )2)(1(|zzziezzzwizzzeezzzi2)2arg()1arg(arg000000331| )2)(1(|0w.不是函數(shù)的支點所以z）（3:作支割線的方法如下xyo12xyo12或者2021/8/1490 . 3證明函數(shù)在區(qū)域上能分解成單

31、.值解析分支. 10 )(分支上沿取正值的單值解析，是在區(qū)間設(shè)zfw . 10 ),( (2) ).1( ) 1 (的下沿，位于區(qū)間其中計算計算zzff 解xyo11C0z處的值為在取0zw時，逆時針方向轉(zhuǎn)一周回到出發(fā)沿曲線從當(dāng)00zCzz變?yōu)楹瘮?shù)值從0w.0是函數(shù)的支點所以 z) 1 (2021/8/14911o2c1z1o0z1. 1 也是函數(shù)的支點同理可證z是否為函數(shù)的支點呢？變成函數(shù)值從時逆時針方向轉(zhuǎn)一圈回到出發(fā)，沿從當(dāng)111,wzCzz取值為在點設(shè)函數(shù)1zw. 不是函數(shù)的支點所以z從而函數(shù)在區(qū)域上能分解成單.值解析分支2021/8/1492假設(shè)則取上沿的任一點對于處于區(qū)間,) 1 ,

32、 0(0z由于. 0 k所以所以2021/8/14931o0z1C)2(. 0)(arg, 0)(00zfzf所以因為2021/8/1494o12ic. )1 ()( 3析分支解成三個單值解在適當(dāng)割開平面后能分證明函數(shù)例zzzf).( . )2( )( )( 111iffzfzf求是負實數(shù)的一個單值解析分支，是設(shè)解. )( , 1 , 0的支點是函數(shù)zf設(shè)則取因為所以即則方法一2021/8/1495所以方法二o12ic2021/8/1496, 0)2( 1f由于),) 12( )2(arg 1kf或（所以2021/8/1497iio1z反三角函數(shù)反三角函數(shù)若則2021/8/1498.不是支點是

33、反正切函數(shù)的支點，ziz余弦函數(shù)：類似可研究反正弦和反2021/8/14992021/8/141002021/8/141012021/8/141022021/8/14103.12zyyuzxxuzuuxy),(yxuu iyuxu2121yuixu21zyyuzxxuzuiyuxu2121yuixu212021/8/14104zvizuzfyvixviyuixu2121xvyuiyvxu221，且000 xvyuyvxuzf.xvyuyvxu且2021/8/14105.13. 0 0 ) 1 (11不解析在不解析，故在處無定義，所以在由于zezezezzz析分支，的鄰域內(nèi)能分出單值解在因為 0

34、 11Ln11Ln )2(11zzzzz. 11Ln 解析在的每一個單值解析分支zzz 所以時當(dāng)mn 不解析，時在解析，當(dāng)在 0 0 zmnznnmmzbzbbzazaa1010所以. 不解析時在解析，當(dāng)時在當(dāng)mnmn由于 ) 3(2021/8/14106)4(由于處取值在設(shè) )( 0zzf連續(xù)變化為的值由時，一周回到逆時針繞出發(fā)，沿曲線從則當(dāng) )( 0 000wzfzzczz2021/8/14107的支點，是多值函數(shù)所以 )( 0 zfz . 1 的支點是多值函數(shù)故zzz.14. )( ) 1 (單值解析分支在正實軸上取正實值的是設(shè)zzf. 0 z在正實軸上取一點. 0)(arg, 0)(

35、00zfzf所以可以取由于0ziC在上半虛軸右側(cè)，則若i.4arg21)(argzzfCC所以)(arg| )(|)(ifieifif)(arg)(arg)(arg00|zfizfifiei)(argzfiCe4ie2222i2021/8/141080ziC在上半虛軸左側(cè)，則若i.43arg21)(argzzfCC所以)(arg| )(|)(ifieifif)(arg)(arg)(arg00|zfizfifiei)(argzfiCe43ie2222i2021/8/14109. Ln )( )2(單值解析分支在正實軸上取正實值的是設(shè)zzg. 0 z在正實軸上取一點所以由于, 0arg|ln)( 000zizzg在上半虛軸右側(cè)，則若i.2argzC0ziC所以iiiigarg