線性代數(shù)課件學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共86頁。行列式行列式矩陣矩陣(j zhn)線性方程組線性方程組向量向量(xingling)空間空間矩陣矩陣(j zhn)的特征值的特征值二次型二次型1.教材內(nèi)容教材內(nèi)容:2.學(xué)習(xí)方法與要求學(xué)習(xí)方法與要求;預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)+課堂學(xué)習(xí)課堂學(xué)習(xí)+課外練習(xí)課外練習(xí) 課本課本+練習(xí)本練習(xí)本+筆筆 本期應(yīng)完成:10次作業(yè)、2次考試（4次考試） 第1頁/共86頁第二頁，共86頁。加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般(ybn)運算。運算。 一一.代數(shù)代數(shù)(dish):是指由字母或符號來研究數(shù)及其結(jié)構(gòu)的科學(xué)。是指由字母或符號來研究數(shù)及其結(jié)構(gòu)的科學(xué)。1.初等代數(shù)初等代數(shù)

2、代數(shù)的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比倫人。 初期的代數(shù)主要源于解方程. 我國古代的九章算術(shù)中就有方程問題。第2頁/共86頁第三頁，共86頁。初等(chdng)代數(shù)研究的對象:代數(shù)式的運算(yn sun)和方程的求解。 整式、分式和根式(gnsh)是初等代數(shù)的三大類代數(shù)式。 四則運算，乘方和開方運算,通常稱為初等代數(shù)的代數(shù)運算.初等代數(shù)的十條規(guī)則: (1)五條基本運算律： 加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律； (2)兩條等式基本性質(zhì): 第3頁/共86頁第四頁，共86頁。等式兩邊(lingbin)同時加上一個數(shù)，等式不變； 等式(dngsh)兩邊同時乘以一個非零

3、的數(shù)，等式(dngsh)不變；(3)三條(sn tio)指數(shù)律： 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加； 指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘； 積的乘方等于乘方的積。人們在解方程的研究過程中發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)、負數(shù)和復(fù)數(shù)，從而使數(shù)的概念得到了擴充。第4頁/共86頁第五頁，共86頁。1799年高斯(o s)（Gauss）證明： 復(fù)數(shù)域上任意一個一元(y yun)n次（n0）方程121210.0nnnnnna xaxaxa x a 任何一個一元n次方程在復(fù)數(shù)域上有且僅有n個根（重根按重數(shù)計算）至少有1個根,這就是說,至少有1個復(fù)數(shù)x滿足這個等式； 第5頁/共86頁第六頁，共86頁。方程(fngchng)的代數(shù)解是

4、指:方程(fngchng)經(jīng)過有限次代數(shù)運算得到的解。 例如：20axbxc 的解. 22024bba xcaa 222424bbacxaa 21,242bbacxa ， 阿貝爾（Abel）(18021829)證明了五次方程不可能有代數(shù)解第6頁/共86頁第七頁，共86頁。20axbxc12,x x12bxxa 12cxxa 韋達定理(dngl):設(shè)一元二次方程在復(fù)數(shù)(fsh)域上的兩個根為,則有 121210.0nnnnnna xaxaxa x a 12,nxxx112nnnaxxxa 212131nnnnax xx xxxa 一般地:設(shè)在復(fù)數(shù)域上的n個根為,則有 第7頁/共86頁第八頁，共8

5、6頁。312312421nnnnnax x xx x xxxxa 0121nnnax xxa 2.高等(godng)代數(shù) 1832年法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦運用年法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦運用“群群”的思想徹的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程底解決了用根式求解代數(shù)方程(dish fngchng)的可能性的可能性,由此由此代數(shù)轉(zhuǎn)變成為研究代數(shù)運算結(jié)構(gòu)的科學(xué)代數(shù)轉(zhuǎn)變成為研究代數(shù)運算結(jié)構(gòu)的科學(xué).第8頁/共86頁第九頁，共86頁。“線性”的含義(hny)是指未知量的一次式。 例如(lr): y=ax表示變量y是變量x的一個線性函數(shù)， y=ax1+bx2表示變量y是x1，x2的線性關(guān)系。 一個線性表示不能包含諸如x2和x

6、1x2的二次項，這些二次項是非線性的。 線性代數(shù)的研究對象:線性方程組、線性空間和線性變換。 行列式和矩陣的是線性代數(shù)的兩個重要工具.第9頁/共86頁第十頁，共86頁。例1：明代程大為著的算法統(tǒng)宗中記載：100個和尚(h shang)分100個饅頭。大和尚(h shang)一人3個，小和尚3人一個，剛好分完。問大、小和尚(h shang)各多少人？解：設(shè)有大和尚(h shang)x人，小和尚(h shang)y人，于是有100131003xyxy 100yx820033x 25,75xy用代入法求得：，代入，解出：第10頁/共86頁第十一頁，共86頁。例2：中國古代算書張丘建算經(jīng)記載百雞問題：

7、公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞三只值一文錢，現(xiàn)在用一百(y bi)文錢買一百(y bi)只雞，問：在這一百(y bi)雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？解：設(shè)有公雞x只，母雞y只，小雞z只，則有1001531003xyzxyz 有（2）3（1）得148200 xy 74100 xy 7254yx第11頁/共86頁第十二頁，共86頁。因為(yn wi)y是整數(shù)，可設(shè) 代入得：4xk4257753xkykzk 又y0,可知(k zh)k=1,2,3,由此得41878xyz 81181xyz 12484xyz 或或或或第12頁/共86頁第十三頁，共86頁。 211322231x+ y-z

8、=x+ y+ z =x- y+ z = 35xk 21322xyzxyz (1)(2)(3)解解: 由由(2)-(1)得得(3)方程組與下列方程組與下列(xili)方程組同解方程組同解 (4)(5)由由(5)2(4):13yk zk k是任意是任意(rny)常數(shù)常數(shù)令令:第13頁/共86頁第十四頁，共86頁。 1231231231232224222130 xxxxxxxxxxxx 解解:利用利用(lyng)高斯（高斯（ Gauss ）消元法求解）消元法求解.將1,2兩個方程(fngchng)互換位置得123123123123422222130 xxxxxxxxxxxx 第14頁/共86頁第十五

9、頁，共86頁。由第1個方程(fngchng)分別乘-2,-2,-3,后與2,3,4方程(fngchng)相加,得12323232344310493xxxxxxxxx 同理:將2,3方程(fngchng)互換位置,得12323232344943103xxxxxxxxx 把第3,4兩個(lin )方程分別加上第2個方程的-4,-1倍,得第15頁/共86頁第十六頁，共86頁。123233344922xxxxxxx 同理;得 123233449200 xxxxxx 從第3個方程(fngchng)回代 123112xxx 第16頁/共86頁第十七頁，共86頁。利用(lyng)高斯消元法求解線性方程組 1

10、2312312343222322xxxxxxxxx 解:原方程組 123232344310432xxxxxxx 無解無解(w ji).若我們(w men)進一步變換可得: 123234431008xxxxx 第17頁/共86頁第十八頁，共86頁。從以上例題(lt)可以看出,線性方程組的解有3種情況:唯一解、無窮解和無解。 當(dāng)未知量或方程組的個數(shù)增多(zn du)時, 常用高斯消元法求解方程組. 一般(ybn)地,方程組可表示為:11111212111212122222221122nnnnmmmmmnmnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb 它是線性代數(shù)的主要研究對象。

11、第18頁/共86頁第十九頁，共86頁。某地區(qū)某地區(qū)(dq)(dq)有有1 1個工廠個工廠, ,生產(chǎn)甲生產(chǎn)甲, ,乙乙, ,丙丙3 3種產(chǎn)品種產(chǎn)品, ,xi(i=1,2,3),xi(i=1,2,3),表示工廠表示工廠(gngchng)(gngchng)生產(chǎn)這生產(chǎn)這3 3種產(chǎn)品的數(shù)量種產(chǎn)品的數(shù)量, ,ai(i=1,2,3)ai(i=1,2,3)表示第表示第i i種產(chǎn)品的單價種產(chǎn)品的單價,y,y表示這表示這3 3種產(chǎn)品的總收入種產(chǎn)品的總收入, ,則有則有: :332211xaxaxay 若某地區(qū)有若某地區(qū)有1,2,3,41,2,3,4個工廠個工廠, ,生產(chǎn)甲生產(chǎn)甲, ,乙乙, ,丙丙3 3種種產(chǎn)品產(chǎn)

12、品,x,xkiki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是是k k工廠生產(chǎn)工廠生產(chǎn)i i種種產(chǎn)品的數(shù)量產(chǎn)品的數(shù)量,a,ai i(i=1,2,3)(i=1,2,3)表示表示i i種產(chǎn)品的單價種產(chǎn)品的單價, ,y yk k表示表示k k工廠的總收入工廠的總收入, ,則有則有: :2、線性代數(shù)的數(shù)學(xué)模型第19頁/共86頁第二十頁，共86頁。1331221111xaxaxay 2332222112xaxaxay 3333223113xaxaxay 4334224114xaxaxay 在一個經(jīng)濟系統(tǒng)中在一個經(jīng)濟系統(tǒng)中,一個企業(yè)既是生產(chǎn)者又是消一個企業(yè)既是生產(chǎn)者又是消

13、費者費者,作為生產(chǎn)者作為生產(chǎn)者,它有產(chǎn)出它有產(chǎn)出,作為消費者它有投作為消費者它有投入入,企業(yè)之間的這種平衡關(guān)系可以企業(yè)之間的這種平衡關(guān)系可以(ky)用一系列的線用一系列的線性方程組來表示性方程組來表示,這就是列昂節(jié)夫這就是列昂節(jié)夫(諾貝爾經(jīng)濟學(xué)諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者獎獲得者)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型.第20頁/共86頁第二十一頁，共86頁。 要想知道卡車在公路上行駛時的位置可利用要想知道卡車在公路上行駛時的位置可利用GPS系統(tǒng)系統(tǒng).這個系統(tǒng)是由這個系統(tǒng)是由24顆高軌道衛(wèi)星組成顆高軌道衛(wèi)星組成(z chn),卡卡車從其中車從其中3顆衛(wèi)星接受信號顆衛(wèi)星接受信號,接受器里的軟件利接受器里的

14、軟件利用線性代數(shù)方法來確定卡車的位置用線性代數(shù)方法來確定卡車的位置. 當(dāng)卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時當(dāng)卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時,接受器從信號往返接受器從信號往返的時間能確定卡車到衛(wèi)星的距離的時間能確定卡車到衛(wèi)星的距離,例如例如14000公里公里,從衛(wèi)星來看從衛(wèi)星來看,知道卡車位于以衛(wèi)星為球心知道卡車位于以衛(wèi)星為球心(qixn),半徑為半徑為14000公里的球面上的某地公里的球面上的某地.設(shè)卡車位置設(shè)卡車位置(x,y,z),第第一顆衛(wèi)星位置一顆衛(wèi)星位置(a1,b1,c1)即即 221212114000 czbyax第21頁/共86頁第二十二頁，共86頁。同理同理 假設(shè)假設(shè)(jish)第第2,3顆衛(wèi)星的位置分

15、別是顆衛(wèi)星的位置分別是(a2,b2,c2)和和(a3,b3,c3)距卡車的距離分別是距卡車的距離分別是17000和和16000公里公里,則有則有 222222217000 czbyax 223232316000 czbyax這些關(guān)系式不是這些關(guān)系式不是(b shi)線性關(guān)系式線性關(guān)系式,要求要求(x,y,z)由由(1)減減(2),(3)得得: 1121212222222Rzccybbxaa 2131313222222Rzccybbxaa 第22頁/共86頁第二十三頁，共86頁。動畫設(shè)計中常常用到坐標(biāo)變換動畫設(shè)計中常常用到坐標(biāo)變換(binhun)如如:平移平移 旋轉(zhuǎn)等旋轉(zhuǎn)等設(shè)平面設(shè)平面(pngm

16、in)上的點為上的點為(x,y)平移變換后為平移變換后為 yx ,則則:byyaxx 設(shè)平面上的點為設(shè)平面上的點為(x,y)旋轉(zhuǎn)變換后為旋轉(zhuǎn)變換后為 yx ,則則: cossinsincosyxyyxx (x,y) yx ,r第23頁/共86頁第二十四頁，共86頁。一一.2階行列式和階行列式和3階行列式的定義階行列式的定義(dngy)(一一)2階行列式的定義階行列式的定義(dngy)(二二)3階行列式的定義階行列式的定義二二.n階行列式的定義階行列式的定義第24頁/共86頁第二十五頁，共86頁。行列式出現(xiàn)(chxin)于線性方程組的求解。 它是數(shù)學(xué)語言(yyn)上的改革, 它的簡化的記法常常是

17、深奧理論的源泉。 P.S.Laplace是一種速記表達式. 行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家 關(guān)孝和提出來的(1683 年 ) Vandermonde 首次對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述 成為行列式理論的奠基人. 第25頁/共86頁第二十六頁，共86頁。用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x(一一)2階行列式的定義階行列式的定義(dngy)第26頁/共86頁第二十七頁，

18、共86頁。;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時，時，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa 1 22222111211baabaa由方程組的四個系數(shù)由方程組的四個系數(shù)(xsh)確定確定.第27頁/共86頁第二十八頁，共86頁。 由四個數(shù)排成二行二列（橫排由四個數(shù)排成二行二列（橫排(hn pi)稱行、豎排稱

19、行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達達式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 第28頁/共86頁第二十九頁，共86頁。11a12a22a12a主對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算(j sun)若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于(duy)二元線性方程組系數(shù)行列式第29頁/共86頁第三十頁，共86頁。 .,222212

20、11212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD 第30頁/共86頁第三十一頁，共86頁。則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,222112112221211aaaaababDD 注意注意(zh y) 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.222112112211112aaaababaDD 211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 第31頁/共86頁第三十二

21、頁，共86頁。 . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 第32頁/共86頁第三十三頁，共86頁。解三元(sn yun)一次方程組 111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得 1111221331111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xb,a xa x

22、a xba xa xa xb 11 23132111223132221 232 1311 33133111233133221 333 13a aa axa aa axbab aa aa axa aa axbab a 第33頁/共86頁第三十四頁，共86頁。由二元一次方程組可知(k zh):若系數(shù)行列式: 11 2313 2112 3313 3211 3313 3112 2313 220D a aa aa aa aa aa aa aa a 即即:11 12 23 3311 13 23 3212 13 21 3313 13 21 3211 12 23 3312 13 23 3111 13 22 3

23、313 13 22 31a a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a a 13112233122331132132aa a aa a aa a a111213132122233132330aaaaaaaaaa 112332122133132231a a aa a aa a a第34頁/共86頁第三十五頁，共86頁。 11 232 1312 3313 321 333 1312 2313 22Dbabaa aa ababaa aa a 13122332133231223ab a ab a ab a a 1121313222233323

24、3baaabaabaa 123322123331322b a ab a ab a a那么那么(n me):1x 112132222333233baabaabaa111213212223313233aaaaaaaaa第35頁/共86頁第三十六頁，共86頁。111213121222323132333a xa ya zba xa ya zba xa ya zb x 三元三元(sn yun)線性方程組線性方程組:111213212223313233aaaaaaaaa112132222333233baabaabaa若系數(shù)若系數(shù)(xsh)行列式不等于零行列式不等于零,有解有解:y 111213212223

25、313233aaaaaaaaa111132122331333abaabaabaz 111213212223313233aaaaaaaaa111212122231323aabaabaab第36頁/共86頁第三十七頁，共86頁。333231232221131211339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個數(shù)排成個數(shù)排成設(shè)有設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)1(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（1）式稱為數(shù)表所確定(qudng)的三階行列式.第37頁/共86頁第三十八頁，共86頁。32312

26、2211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階(sn ji)行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 第38頁/共86頁第三十九頁，共86頁。333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意(zh y) 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號說明(shumng) 對角線法則只適用于二階與三階行列式32

27、2113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 第39頁/共86頁第四十頁，共86頁。2-43-122-4-21D 計算三階行列式計算三階行列式按對角線法則按對角線法則(fz)，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第40頁/共86頁第四十一頁，共86頁。11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa不適用不適用(shyng)對角線定義對角線定義.第41頁/共86頁第四十二頁，共86頁。 10011100011001111+1三階三階(sn ji)行

28、列式的沙路法和對角線法不適用四行列式的沙路法和對角線法不適用四階行列式階行列式第42頁/共86頁第四十三頁，共86頁。134123412312345423214210 xxxxxxxxxxxxxx 134542xxx 41x 求求x4=?(1)(2)(3)(4)由由(2)+(3)得得:得得:504211 2141201111 10504311 2141211110 341DD 第43頁/共86頁第四十四頁，共86頁。觀察觀察(gunch)2階和階和3階行列式階行列式:22211211aaaa21122211aaaa ,312213332112322311322113312312332211aa

29、aaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa=?第44頁/共86頁第四十五頁，共86頁。三階三階(sn ji)行列式行列式:+1232313121322133210個個2個個2個個偶排列偶排列(pili)1個個1個個3個個奇排列奇排列(pili),312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa記記: 321pppN為排列的逆序數(shù)總數(shù)為排列的

30、逆序數(shù)總數(shù).321321pppaaa 3211pppN 第45頁/共86頁第四十六頁，共86頁。1111aa 規(guī)定規(guī)定(gudng)44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa43214321ppppaaaa 43211PPPPN 22211211aaaa21122211aaaa 2121ppaa 21) 1(ppN =行列式的一般行列式的一般(ybn)項定義項定義.第46頁/共86頁第四十七頁，共86頁。332211aaa 333231232221131211aaaaaaaaa補充說明補充說明:行列式的一般行列式的一般(ybn)項定義中列標(biāo)

31、可按自項定義中列標(biāo)可按自然順序排列然順序排列.322311aaa 312312aaa 322113aaa 332112aaa ,aaa312213 231231aaa 133221aaa 233211aaa 331221aaa 132231aaa 例如例如(lr):321321pppaaa 3211kkkN 3213213211ppppppNaaa 第47頁/共86頁第四十八頁，共86頁。 nnnnnnnpppPPPNaaaaaaaaaDaaannnnn212222111211212.)1(2121 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個個元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列

32、列式式等等于于所所有有個個數(shù)數(shù)組組成成的的由由行列式的行列式的一般一般(ybn)項項簡記簡記(jin j) NoImageija其中其中aij是行列式的元數(shù)是行列式的元數(shù).第48頁/共86頁第四十九頁，共86頁。NoImage例：寫出四階行列式中含有(hn yu)因子 的項. NoImage例：計算(j sun)行列式NoImageNoImageNoImageNoImage第49頁/共86頁第五十頁，共86頁。例例1 1計算計算(j sun)(j sun)對角行列式對角行列式0004003002001000分析分析(fnx)展開式中一般展開式中一般(ybn)項中的元素積項中的元素積:43214

33、321ppppaaaa41 p若若, 011 pa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314 432114321 N.24 第50頁/共86頁第五十一頁，共86頁。第51頁/共86頁第五十二頁，共86頁。NoImage行列式 稱為(chn wi)行列式 的轉(zhuǎn)置行列式. NoImageNoImage若記 ，則 .NoImageNoImage記性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置(zhun zh)行列式相等,即 .NoImageNoImage第52頁/共86頁第五十三頁，共86頁。NoImage性

34、質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置(zhun zh)行列式相等.證明(zhngmng)根據(jù)(gnj)行列式的定義，有若記 ，則NoImageNoImageNoImageNoImage行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.det(), det()TijijDaDb 第53頁/共86頁第五十四頁，共86頁。性質(zhì)(xngzh)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.驗證(ynzhng)于是(ysh)NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有 ，所以 . NoImageNoIm

35、age備注：交換第 行（列）和第 行（列），記作 .NoImageNoImageNoImage第54頁/共86頁第五十五頁，共86頁。性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù) ，等于(dngy)用數(shù) 乘以此行列式.驗證(ynzhng)NoImageNoImageNoImage我們(w men)以三階行列式為例. 記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有NoImage備注：第 行（列）乘以 ，記作 .NoImageNoImageNoImageki第55頁/共86頁第五十六頁，共86頁。NoImageNoImageNoImageNoImage推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子(

36、ynz)可以提到行列式符號的外面?zhèn)渥?bizh)：第 行（列）提出公因子 ，記作 .NoImageNoImageNoImage1112131212223313233kkaaaDaaaaaak ki第56頁/共86頁第五十七頁，共86頁。NoImage驗證(ynzhng)我們(w men)以4階行列式為例. 性質(zhì)(xngzh)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零第57頁/共86頁第五十八頁，共86頁。性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素(yun s)都是兩數(shù)之和,例如：NoImage則NoImage第58頁/共86頁第五十九頁，共86頁。NoImageNoImageNoImag

37、eNoImage驗證(ynzhng)我們(w men)以三階行列式為例. 121222221113212331332323aaDaaabababaa 第59頁/共86頁第六十頁，共86頁。性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)(bish)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變則NoImage驗證(ynzhng)NoImage我們(w men)以三階行列式為例. 記 NoImage備注：以數(shù) 乘第 行（列）加到第 行（列）上，記作 .NoImageNoImageNoImageNoImagekij第60頁/共86頁第六十一頁，共86頁。,3122133321123223113

38、22113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如(lr) 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 323122213113333123212112333223221111111aaaaaaaaaaaaaaa 3或或2階行列式的按第階行列式的按第1行展開式歸納如下行展開式歸納如下:四階行列式與四階行列式與n階行列式按行展開式定義階行列式按行展開式定義(dngy).131

39、312121111AaAaAa 第61頁/共86頁第六十二頁，共86頁。按照這一規(guī)律按照這一規(guī)律(gul)觀察觀察2階階:22211211aaaa21122211aaaa 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa=規(guī)定規(guī)定:1111aa 21122211aaaa 21211222111111aaaa 1414Aa 1111Aa1212Aa 1312Aa 12121111AaAa 第62頁/共86頁第六十三頁，共86頁。在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式

40、叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如(lr)44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 的余子式和的余子式和代數(shù)余子式代數(shù)余子式22a第63頁/共86頁第六十四頁，共86頁。44434134333114131122 222222 1.M22 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 第64頁/共86頁第六十五頁，共86頁。,4443424134333

41、2312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M .個代數(shù)余子式個代數(shù)余子式對應(yīng)著一個余子式和一對應(yīng)著一個余子式和一行列式的每個元素分別行列式的每個元素分別 的余子式和的余子式和代數(shù)余子式代數(shù)余子式12a第65頁/共86頁第六十六頁，共86頁。定義定義(dngy):(dngy):由由n2n2個數(shù)個數(shù)aij(ij=1,2,n)aij(ij=1,2,n)組成的組成的n n階階行列式行列式nnAaAaAaD1112121111 njjjAa111nnnnnnaaaaaaaaaD212

42、222111211 是一個是一個(y )算式算式.當(dāng)當(dāng)n=1時時,定義定義D=1111aa 當(dāng)當(dāng)n2時時,定義為定義為 其中其中: jjjMA1111 第66頁/共86頁第六十七頁，共86頁。例例13351110243152113 D3 =40按第按第1行的元素行的元素(yun s)展開展開1414131312121111AaAaAaAa 351102315123511024151133111243511413121 335110431 111 第67頁/共86頁第六十八頁，共86頁。推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)(dish)余子式乘積之和等于零，即NoImage

43、NoImageNoImage分析(fnx) 我們以3階行列式為例. NoImage把第1行的元素(yun s)換成第2行的對應(yīng)元素(yun s)，則 NoImage第68頁/共86頁第六十九頁，共86頁。定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)(dish)余子式乘積之和，即NoImage推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)(duyng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即NoImageNoImageNoImage綜上所述，有同理可得11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 第69頁/共86頁第七十頁，共86頁。NoImage例 計算(j sun)行列式NoImageNoImage第70頁/共86頁第七十一頁，共86頁。例 設(shè) 求NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage及NoImage第71頁/共86頁第七十二頁，共86頁。第72頁/共86頁第七十三頁，共86頁。第73頁/共86頁第七十四頁，共86頁。二元線性方程組 NoImage若令 NoImageNoImageNoImag