均值不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、均值不等式教學(xué)設(shè)計(jì) 湯麗娟教材說明 北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修五）課題 3.2 均值不等式 課型 新授課課時(shí) 2課時(shí)學(xué)情分析（一） 從學(xué)生知識層面看：學(xué)生對不等式的概念和性質(zhì)有了感性的認(rèn)識，在探究學(xué)習(xí)和應(yīng)用實(shí)習(xí)的過程中，會解決最簡單的關(guān)于不等式的問題.（二） 從學(xué)生素質(zhì)層面看：所任班級的學(xué)生已經(jīng)具有較好的邏輯思維能力，因此他們希望能夠自己探索、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高分析問題、解決問題的能力.他們更需要充滿活力與創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的課堂.教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課均值不等式是數(shù)學(xué)必修五（北師大版）第三章第三節(jié)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是通過現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)猜想，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，得到均值不

2、等式；并通過在學(xué)習(xí)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義基礎(chǔ)上，理解均值不等式的幾何解釋；與此同時(shí)在推導(dǎo)論證的基礎(chǔ)上進(jìn)行公式的推廣并學(xué)會應(yīng)用.均值不等式是這一章的核心，對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等應(yīng)用問題都起到了工具性作用。有利于學(xué)生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值、值域進(jìn)一步拓展與研究，起到承前啟后的作用.教學(xué)目標(biāo)依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知水平，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)位：（一） 知識與技能：通過“從生活中發(fā)現(xiàn)問題，實(shí)驗(yàn)中分析問題，設(shè)計(jì)中解決問題、總結(jié)問題，論證后延拓問題”五個(gè)環(huán)節(jié)使學(xué)生深刻理解均值不等式，明確均值不等式的使用條件，能用均值不等式解決簡單的最值問題.（二） 過程

3、與方法：通過情境設(shè)置提出問題、揭示課題，培養(yǎng)學(xué)生主動探究新知的習(xí)慣；引導(dǎo)學(xué)生通過問題設(shè)計(jì)，模型轉(zhuǎn)化，類比猜想實(shí)現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)知識與規(guī)律的形成過程；通過模型對比，多個(gè)角度、多種方法求解，拓寬學(xué)生的思路，優(yōu)化學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生綜合創(chuàng)新與創(chuàng)造能力.（三） 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過問題的設(shè)置與解決使學(xué)生理解生活問題數(shù)學(xué)化，并注重運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生活中的實(shí)際問題，有利于數(shù)學(xué)生活化、大眾化；同時(shí)通過學(xué)生自身的探索研究領(lǐng)略獲取新知的喜悅.教學(xué)重點(diǎn)依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材知識內(nèi)容的特點(diǎn)，確定均值不等式的推導(dǎo)與證明，均值不等式的使用條件為教學(xué)重點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)由于學(xué)生對知識的遷移應(yīng)用能力一般，因此應(yīng)用均值定理求最值

4、作為本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn).教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì) 本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導(dǎo)式的教學(xué)策略.通過設(shè)計(jì)問題引出課題，通過啟發(fā)引導(dǎo)解決問題、總結(jié)問題、論證問題、延拓問題等環(huán)節(jié)讓學(xué)生領(lǐng)悟科學(xué)的探究方法，增強(qiáng)學(xué)生的探究能力.在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，大膽探索，以訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.教學(xué)資源與手段學(xué)案、教科書.以學(xué)案提綱代替多媒體課件，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率.小組討論，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神.教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程師生活動設(shè)計(jì)意圖情景激疑一家金店有一臺壞天平，兩臂長不等，其余均精確.有顧客要買10克黃金，店員先在左盤放5克砝碼，右邊放上黃金保持天平平衡稱一次，又在右盤放5克砝碼，左盤放黃金保持天

5、平平衡再稱一次，兩次稱的黃金總和是10克嗎？教師發(fā)下學(xué)案讓學(xué)生思考.并提出問題：真實(shí)重量是多少？引出問題討論：與的大小引入概念均值不等式：語言敘述：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它的幾何平均值.教師提問：定理中需要注意的問題是什么？學(xué)生討論后總結(jié)：12算術(shù)平均值不小于它的幾何平均值3a=b時(shí)取等號證明方法方法一：作差法證明：因?yàn)榉椒ǘ簬缀畏钫龑?shí)數(shù)a、b為兩條線段的長,用幾何作圖的方法作出長度為 和的兩條線段,然后比較這兩條線段的長。（1）作線段AB=a+b,使AD=a,BD=b; (2)以AB為直徑作半圓O (3)過D點(diǎn)作CDAB于D,交半圓于C（4）連接AC，BC， CO，則 OC= CD

6、=,當(dāng)ab時(shí)，OC>CD，即當(dāng)a=b時(shí)，OC=CD，即教師設(shè)問：如何證明呢？引導(dǎo)與鼓勵學(xué)生尋找多種證明方法，拓寬思路.教師適當(dāng)引導(dǎo).小組討論：提出多種解決方法.讓學(xué)生拓寬思路，培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的習(xí)慣.引申拓展讓學(xué)生進(jìn)行類比推理，大膽猜想.培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，挖掘出更深刻的結(jié)論.變形應(yīng)用讓學(xué)生對定理形式進(jìn)行變形.使學(xué)生能更靈活的應(yīng)用公式定理鞏固練習(xí)：下列結(jié)論中，錯用均值不等式作依據(jù)的是：A 則B a為正數(shù)，則C D E sinx+最小值為4提問學(xué)生，并讓學(xué)生指出錯誤，最后讓學(xué)生總結(jié)三條，一正、二定、三相等，并板書.讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.變形應(yīng)用問題一：求函數(shù)的最小值.變

7、式1： 求函數(shù)的最大值.變式2： 求函數(shù)的最大值.變式3：求函數(shù)的最小值.問題二：求函數(shù)的最大值.變式4：求函數(shù)的最大值.變式5：求函數(shù)的最大值.問題三：已知，求函數(shù)的最小值.解法一：由，解出，因?yàn)樗?，。?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值36.解法二：因?yàn)樗?當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最小值36.變式6：設(shè)，求函數(shù)的最小值.解析：當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，函數(shù)取最小值.變式7：設(shè)，求函數(shù)的最大值以及相應(yīng)的和的值.解法一：由得，又，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最大值.解法二：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最大值.逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式， 變式是一種探索問題的方法.在問題三中引導(dǎo)學(xué)生一題多解.設(shè)計(jì)意圖：

8、使學(xué)生正確理解均值定理應(yīng)用的條件“正、定、等”,掌握均值定理的正用及拓展應(yīng)用.通過變式使學(xué)生對試題進(jìn)行深層的探索，激發(fā)興趣，培養(yǎng)能力.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步體會均值不等式應(yīng)用的“定”的條件，逐步學(xué)會均值定理的逆用和變用.同一道數(shù)學(xué)題，從不同的角度思考可得到多種解題思路，廣泛尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探索、思維等能力.課堂總結(jié)1、 理解均值不等式引出及證明過程2、 均值不等式的使用條件3、 會識別并應(yīng)用均值不等式4、 培養(yǎng)一題多解，一題多變的能力讓同學(xué)總結(jié)，其他同學(xué)補(bǔ)充.學(xué)生總結(jié)能讓學(xué)生對所研究問題有個(gè)總體的認(rèn)識.布置作業(yè)教材P95習(xí)題3-3 B組 1鞏固知識教學(xué)反思國家強(qiáng)盛，

9、社會進(jìn)步都需要有不斷創(chuàng)新的人才.所以作為教育者應(yīng)該為社會培養(yǎng)創(chuàng)新型人才.而作為數(shù)學(xué)教師就應(yīng)該從課堂上發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，培養(yǎng)探索精神.本節(jié)課已充分認(rèn)識到這些問題，所以在教學(xué)中學(xué)生自己能解決的盡量讓他們自己解決，使學(xué)生成為課堂的主人.(一) 對情境創(chuàng)設(shè)的反思本節(jié)課是以問題形式創(chuàng)建的情境，以學(xué)案為媒介.通過學(xué)生感興趣的問題引發(fā)討論，使學(xué)生很快進(jìn)入思考探索的狀態(tài).通過學(xué)生對答案的爭議引出均值定理.因此帶著新的疑問開始了這節(jié)課，激發(fā)了學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣.(二)對小組合作的反思 小組合作學(xué)習(xí)是新課標(biāo)積極倡導(dǎo)的三大學(xué)習(xí)方式之一，小組合作學(xué)習(xí)在形式上成為有別于傳統(tǒng)教學(xué)的一個(gè)最明顯的特征.它能有效地彌補(bǔ)一個(gè)教

10、師難以面向眾多有差異學(xué)生的教學(xué)不足，有利于培養(yǎng)學(xué)生的競爭意識與集體意識.本節(jié)課中，我剛剛提出問題，學(xué)生立刻展開激烈討論，有的學(xué)生提出自己的疑問，這時(shí)老師并不是立刻給予解答，而是讓學(xué)生自己來解答，便于學(xué)生對問題有著更深刻的理解，在解決問題的同時(shí)，學(xué)生又會發(fā)現(xiàn)新的問題，然后積極探索，大膽猜想，尋找解決問題的方案，充分調(diào)動了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.(三)對一題多解的反思同一道數(shù)學(xué)題，從不同的角度思考可得到多種解題思路，廣泛尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探索、思維等能力. 解需有法，解無定法，大法必依，小法必活. 本節(jié)課在一題多解上學(xué)生討論的非常積極，給出了很多可行的，還有不太完善的方法.這足以說明他們真的動腦思考了，培養(yǎng)了解決問題的能力.解需有法，解無定法，大法必依，小法必活.(四)對一題多變的反思數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)突出探索活動，而且探索活動不應(yīng)停留在對原題的探索上，而應(yīng)