湖北省2025屆高三T8聯(lián)盟模擬考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省2025屆高三T8聯(lián)盟數(shù)學模擬考試卷試卷滿分：150分考試用時：120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，若，則實數(shù)（）A. B.0 C.1 D.1或【答案】A【解析】不等式，所以不等式解得，故，所以若，則集合A需滿足，解得故選：A.2.已知，，若，則實數(shù)的值為（）A.-4 B.0 C.-4或0 D.4【答案】D【解析】由可設，且，所以，解得或，當時，不符合，故舍去，當時，，則符合題意，所以.故選：D.3.從集合中任取3個數(shù)，取出的三個數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設集合，，，任取三個數(shù)和為3的倍數(shù)，分為兩類，一類是從集合或或取三個數(shù)，一類是從三個集合各取一個數(shù)，取出的三個數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為故選：B.4.已知，C是關于直線的對稱點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，因為C是關于直線的對稱點，故，解得，即，又，，故，故選：C5.甲、乙、丙等八個人圍成一圈，要求甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，則不同的排列方法有（）A.720種 B.1440種 C.2880種 D.4320種【答案】B【解析】環(huán)排問題線排策略，增加一個凳子．九個凳子排一排，甲放一號和九號，中間剩余七個位置可選，再將其他五人放入中間有種．甲、乙、丙兩兩不相鄰．乙、丙只能放中間四空中共有種，由分步計數(shù)原理得總數(shù)種．故選：B.6.已知三棱錐滿足，，，且其體積為，若點（正投影在內部）到，，的距離相等，則三棱錐的表面積為（）A.18 B.21 C.24 D.27【答案】C【解析】由，，知為直角三角形，設點在底面的射影點為，由題意得為的內心，，得，內切圓半徑為．點到三邊的距離均為，．故選：C7.在中，為邊的中點，若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，如圖AM中點為N，過N做AB垂線NO，使，以O為圓心，OA為半徑做圓O.由題可得，則，即C點部分軌跡為優(yōu)?。ㄟ€有部分軌跡為優(yōu)弧關于AM的對稱優(yōu)弧）.如圖，設CB與圓O交于D，連接AD，由外角定理，，當且僅當C與D重合，即CB與圓O相切時取等號.由圓冪定理，當CB與圓O相切時可知，由弦切角定理可知，設.在中，由正弦定理可得，又注意到，則，解得，結合圖形可得，則此時．故選：B8.已知指數(shù)函數(shù)，若有且只有兩個不等根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，即方程有兩個不等根，函數(shù)與圖象有兩個不同交點，與互為反函數(shù)，則兩函數(shù)圖象關于對稱，則與圖象的交點都分布在直線上，問題等價于與有兩個不同交點，即有兩根，即函數(shù)圖象與直線有兩個交點.設，則，令，則在上單調遞增，在上單調遞減，.又，可得大致圖象如下，則要使圖象與直線有兩個交點，需滿足.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點，直線，其中是的等差中項，過點作直線的垂線，垂足為，則（）A.直線過定點 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】因為是的等差中項，得到，直線，即，由，得到，所以直線過定點，所以選項A正確，又因為，又，所以點的軌跡是以為直徑，即以點為圓心，5為半徑的圓，方程，對于選項B，如圖，當時，即與重合，此時最大，最大值為，所以選項B正確，又易知，，，得到，所以選項C錯誤，選項D正確，故選：ABD.10.已知，滿足，且，則下列結論正確的有（）A. B. C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABC【解析】由展開式得，又，聯(lián)立兩式可得，化簡得到，即，，A，B正確；．，由均值不等式，時取等號，即，解得，當時，取得最小值，C正確，D錯誤，故選：ABC11.已知正項數(shù)列滿足，，則下列說法正確的有（）A. B.存在，使得C. D.【答案】ACD【解析】對于A：正項數(shù)列滿足，，則，故，A正確；對于B：因為，且，則，可得，所以，，設，，所以，，由題意可得，，則，，所以，，所以，，因為，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，其公比為，所以，，則，因為數(shù)列單調遞減，且函數(shù)在上單調遞增，所以，數(shù)列單調遞減，故數(shù)列是遞減數(shù)列，選項B錯誤；對于C：因為，所以，，選項C正確；對于D：設，則，所以，函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，所以，，由此可知，那么，選項D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個極大值點和一個極小值點，則正實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】由題意，當x∈0,π時則由題意得，解得．故正實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知是橢圓的內接三角形，其中原點是的重心，若點A的橫坐標為，直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為_____．【答案】【解析】點A的橫坐標為，點A在橢圓上，∴可知，由對稱性可取，.直線的傾斜角為，.設，，BC中點為N，作差得，可得，即，因是的重心，則N，O，A三點共線，則，，解得．橢圓的離心率為．故答案為：14.定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的最大值與最小值之積為，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】記在上的最大值為，最小值為，．，．①當時，，，，解得；②當時，，，，解得；③當時，，，，，均不合題意，或，則的取值范圍是．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某市為創(chuàng)建全國文明城市，自2019年1月1日起，在機動車斑馬線禮讓行人方面，通過公開違規(guī)行車的照片及車牌號，效果顯著．下表是該市人民廣場某路口連續(xù)5年監(jiān)控設備抓拍到該路口機動車不禮讓行人的統(tǒng)計數(shù)據：記方案執(zhí)行時間為執(zhí)行后第年，不禮讓行人車數(shù)為（單位：百輛）．/年12345/百輛5.85.24.53.72.8（1）求不禮讓行人車數(shù)與執(zhí)行時間之間的經驗回歸方程；（2）預測該路口2025年不禮讓行人車數(shù)．參考公式：經驗回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，．解：（1）由題意得，，，由最小二乘法估計可得，不禮讓行人車數(shù)與執(zhí)行時間經驗回歸方程為；（2）在2025年年底時，該方案已執(zhí)行7年，令得到，2025年該路口不禮讓行人車數(shù)的預測值是140輛．16.在中，三個內角所對的邊分別為，，．（1）求證：；（2）若點是邊上靠近點的三等分點，求的最小值．（1）證明：因為，所以所以可得，即．即，，即，由正弦定理可得．（2）解：設，，由題可知，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理，得，兩式相加得，解得．的最小值是，當且僅當，，時取等號．17.已知函數(shù)在點處的切線與軸重合．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；（2）已知正項數(shù)列滿足，，，記數(shù)列前項和為，求證：．解：（1）因為，且，由題意可得，即，可得，可知的定義域為，且，令，解得；令，解得；可知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以有極大值，無極小值．（2）由（1）可得，當且僅當時取等號，可得，當且僅當時取等號，等價變形為，即，當且僅當時取等號，代入題干中可得，則，即，當時，，即，且符合上式，所以，，則，由，令得，即，所以.18.現(xiàn)有一雙曲線，和分別為的左焦點和右焦點，是雙曲線上一動點，的最大值為3．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過的直線交雙曲線左支于A，B兩點（點在點上方），判斷是否是定值，并給出理由；（3）在（2）的條件下，過點作平行于的直線交雙曲線右支于C，D兩點（點在點上方），與相交于點，求證：為定值．（1）解：設，則，由得．在區(qū)間上單調遞減，時，取最大值3，，解得．．由題意可得雙曲線的標準方程為．（2）解：設Ax1,直線為，聯(lián)立得，，，，.（3）證明：如圖：由對稱性可知，，，．易知，，由（2）可知，代入上式可得，同理可得，，為定值.19.三余弦定理：設A為平面內一點，過點A的斜線在平面上的正投影為直線．為平面內的一條直線，記斜線與直線的夾角（即直線與平面所成角）為，直線與直線的夾角為，直線與直線的夾角為，則．三余弦定理描述了線面角是斜線與平面內任意直線所成角的最小值，又稱最小角定理．（1）證明三余弦定理；（2）如圖，已知三棱柱，為正三角形，，求直線與底面所成角的正弦值；（3）已知平行六面體，記為平行六面體體積，為平行六面體表面積，為平行六面體棱長總和，求證：．（1）解：如圖，不妨設在平面的射影為，則，過點作交直線于點，連接，即為斜線與平面所成角，即為斜線在平面的射影直線與平面內的直線所成角，即為斜線與平面內的直線所成角，，，，又，，，平面，平面，平面，，根據