數(shù)字信號處理重疊保留法

1、武漢理工大學數(shù)字信號處理課程設(shè)計說明書課程設(shè)計任務書學生姓名： 專業(yè)班級： 指導教師： 黃朝兵 工作單位： 信息工程學院 題 目：基于重疊保留法圓周卷積的實現(xiàn)初始條件： 具備數(shù)字信號處理的理論知識；具備Matlab編程能力；分析重疊保留法的圓周卷積的原理；提供編程所需要的計算機一臺要求完成的主要任務：（包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）1、獨立編寫程序?qū)崿F(xiàn)基于重疊保留法的圓周卷積2、用Matlab驗證程序結(jié)果，并分析重疊保留法的圓周卷積的原理3、完成符合學校要求的設(shè)計說明書時間安排：一周，其中3天程序設(shè)計，2天程序調(diào)試指導教師簽名： 年 月 日系主任（或責任教師）簽名：

2、 年 月 日目錄摘要.(1)1 概述. (2)2 理論分析.(3)2.1圓周卷積與線性卷積.(3)2.2圓周卷積的計算.(4)2.3重疊保留法.(5)3 程序設(shè)計.(7) 3.1程序流程.(7) 3.2程序流程圖.(8) 3.3具體程序設(shè)計.(9) 3.4編寫完整的程序.(10)4 結(jié)果及分析.(11)5 心得體會.(12)參考文獻.(13)摘要重疊保留法在運用時，隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增大，運算耗時呈線性增長。當數(shù)據(jù)達到千萬量級時，運算延時最少大約為2.335s，由此可見，此方法可運用于對信號的實時處理，同時重疊保留法具有較好的時間和空間復雜度。本次課程設(shè)計以matlab為工具得到重疊保留法的源程序

3、，通過對序列的線性卷積計算，進而對重疊保留法進行更深層次的認識。關(guān)鍵字：重疊保留法 序列線性卷積 matlab1 概述對于一個長序列和一個短序列，長度分別為，圓周卷積的長度為，在長序列的前面加上個零，然后對長序列進行分段，使得每段的長度為不足的用零補。且前一分段的后個抽樣值和后一分段的前個抽樣值相同。這樣形成的分段序列為：. (1.1)分成的段數(shù)為： (1.2)然后計算與各個分段之間的圓周卷積， (1.3)顯然，的前個值發(fā)生了混疊，不等于和的圓周卷積，把的前個值舍去，保留沒發(fā)生混疊的后個值，形成序列： (1.4)最后將各段相加就可以得到最終的結(jié)果， (1.5) 132 理論分析2.1

4、圓周卷積與線性卷積設(shè)和為長度為N的有限長序列，且，如果，則 (2.1.1)證明：相當于將作周期卷積和后，再取主值序列。 將周期延拓：則有： (2.1.2) 在主值區(qū)間 ，所以： (2.1.3)同樣可以證明： (2.1.4)定義式（1）為序列與的圓周卷積，習慣表示為 (2.1.5)從以上的證明過程也可以得出圓周卷積與周期卷積之間的關(guān)系，即有限長序列圓周卷積結(jié)果的周期延拓等于它們周期延拓后的周期卷積。也就是說，周期卷積的主值序列是各周期序列主值序列的圓周卷積。線性卷積是求離散系統(tǒng)響應的主要方法之一，許多重要應用都建立在這一理論基礎(chǔ)上，如卷積濾波等。用圓周卷積計算線性卷積的方法歸納如下: 將長為N2

5、的序列x(n)延長到L,補L-N2個零，將長為N1的序列h(n)延長到L,補L-N1個零。如果LN1+N2-1,則圓周卷積與線性卷積相等，此時,可有FFT計算線性卷積，方法如下：         a.計算X(k)=FFTx(n)         b.求H(k)=FFTh(n)         c.求Y(k)=H(k)X(k) （ k=0L-1）   

6、0;    d.求y(n)=IFFTY(k) （n=0L-1 ）可見，只要進行二次FFT,一次IFFT就可完成線性卷積計算。上述結(jié)論適用于x(n)、h(n)兩序列長度比較接近或相等的情況，如果x(n)、h(n)長度相差較多。例如，h(n)為某濾波器的單位脈沖響應,長度有限，用來處理一個很長的輸入信號x(n)，或者處理一個連續(xù)不斷的信號，按上述方法，h(n)要補許多零再進行計算，計算量有很大的浪費，或者根本不能實現(xiàn)。為了保持快速卷積法的優(yōu)越性，可將x(n)分為許多段后處理，每小段的長與h(n)接近，其處理方法有兩種：重疊相加法和重疊保留法。本文討論重疊保留法。2.2

7、計算圓周卷積圓周卷積的具體步驟為：第一步：在啞元坐標上做與；第二步：把沿著縱坐標翻轉(zhuǎn)，得到；第三步：對做圓周移位，得； 第四步：與對應的相同m的值進行相乘，并把結(jié)果進行相加，得到的對應于自變量n的一個；第五步：換另一個n，重復第三、四步，直到n取遍0,N-1中的所有值，得到完整的。2.3重疊保留法 為了克服重疊相加法中分段卷積后，仍然需要相加的缺點，人們提出了重疊保留法。這種方法和重疊相加法稍有不同，即將重疊相加法中補零的部分不是補零，而是保留原來的輸入序列值，且保留在各段的前端，這時，如利用DFT實現(xiàn)h(n)和xi(n)的圓周卷積，則每段卷積結(jié)果的前N1-1個點不等于線性卷積值需舍去。 為了

8、清楚地看出這點，研究一下x(n)中一段長為N的序列xi(n)與h(n)（長為N1）的圓周卷積情況： (2.3.1)由于h(n)的長度為N1，當0nN1-2時，h(n-m)N將在xi(m)的尾部出現(xiàn)有非零值，所以0nN1-2這部分yi(n)值中將混入xi(m)尾部與h(n-m)N的卷積值，從而使yi(n)不同于線性卷積結(jié)果，但當n=N1-1N-1時，則有h(n-m)N =h（n-m），因此從n=N1-1點開始圓周圈卷積值完全與線性卷積值一樣，yi(n)的后面N2點才是正確的卷積值，而每一段卷積運算結(jié)果的前N1-1點個值需去掉。圖2.1 重疊保留過程為了不造成輸出信號遺漏，對x(n)分段時，需使相

9、鄰兩段有N1-1個點的重疊（對于第一段，x(n)由于沒有前一段保留信號，在其前填補N1-1點個零點）。為此將xi(n)定義為 每段和h(n)的圓周卷積以yi(n)表示， ,由FFT算出，去掉yi(n)的前N1-1點，再把相鄰各段輸出順次連接起來就構(gòu)成了最終的輸出序列y(n)。 重疊保留法每一輸入段均由N-N1+1=N2個新點和前一段保留下來的N1-1個點所組成。值得注意的是，對于有限長時間序列x(n)（長度為L=MN2），在結(jié)束段（i=M-1）做完后，我們所得到的只是L點的線性卷積，還少了N1-1點，實際上就是h(-n)移出x(n)尾部時的不完全重合點，或者說是最后一段的重疊部分N1-1少做了

10、一次卷積，為此，因再補做這一段N1-1點，在其后填補N2點個零點保證長度仍為N點，一樣舍去前取N1-1點，并從N1-1點開始，保留N1-1點。 重疊保留法與重疊相加法的計算量差不多，但省去了重疊相加法最后的相加運算。一般來說，用FFT作信號濾波，只用于FIR濾波器階數(shù)h（n）大于32的情況下，且取N2=（510）N1，這樣可接近于最高效的運算。 3 程序設(shè)計3.1程序流程要實現(xiàn)基于重疊保留法的圓周卷積，假設(shè)有兩個長度分別為N,M（）的序列，要求做和的圓周卷積。首先要對長序列序列進行分段，分段的長度選圓周卷積的長度，形成的分段序列： (3.1.1)然后將逐一和各分段進行圓周卷積，得到：

11、 (3.1.2) 最后輸出序列： (3.1.3)這樣即完成了基于重疊保留法的圓周卷積的實現(xiàn)。同樣，我們可以根據(jù)FFT計算線性卷積，方法如下：         a.計算Xi(k)=FFTxi(n)         b.求H(k)=FFTh(n)         c.求Y(k)=H(k)Xi(k) k=0L-1       

12、0; d.求y(n)=IFFTY(k) n=0L-1  可見，只要進行二次FFT,一次IFFT就可完成線性卷積計算。3.2程序流程圖開始輸入x(n),h(n),圓周卷積長度N計算x(n),h(n)長度及FFT變換長度x(n)序列前加M-1個0，若長度小于N，補0計算所需段數(shù)a，控制循環(huán)次數(shù)計算h(n)的離散傅里葉變換H(k)截取xi=x(K*N+1,K*N+L);X(k)=FFTxi,Y(k)=X(k)*H(k),y(n)=IFFTY(k)截去前M-1個重疊點，保留M到L點K=a?將保留的點相連，可得y(n)結(jié)束圖3-2 重疊保留法圓周卷積運算流程圖3.3具體程序設(shè)計首先編寫基于重疊

13、保留法的圓周卷積的主函數(shù)。這個主函數(shù)的功能應當是計算出兩個序列的長度Lx、M，將長序列進行分段，然后再將短序列和長序列的各個分段分別進行圓周卷積，將分段卷積的的結(jié)果序列的前M-1個值舍去，將各個結(jié)果合并到一個序列中去，輸出這個新序列，程序功能基本完成。主函數(shù)的編寫過程如下：定義主函數(shù)：function Y=overlpsav(x,h,N)計算兩個序列的長度：Lx=length(x);M=length(h);計算FFT運算序列長度： L=M+N-1;x序列前加M-1個0，序列后加N個0：x=zeros(1,M-1),x,zeros(1,N);求截取的段數(shù)：a=floor(Lx+M-1)/N);對

14、h做快速傅里葉變換：c=fft(h,L);設(shè)置for循環(huán)，截取x的某一段xk，對xk進行FFT變換，對Y(k)=X(k)*H(k)進行反傅里葉變換，截取前M-1點，保留其余點：for K=0:axk=x(K*N+1:K*N+L); b=fft(xk,L);H=ifft(b.*c,L); Y(K*N+1:K*N+N)=H(M:L);end將所有保留的點相連：Y=Y(1:Lx+M-1);3.4編寫完整的程序function Y=overlpsav(x,h,N) Lx=length(x); M=length(h); L=M+N-1; x=zeros(1,M-1),x,zeros(1,N); a=fl

15、oor(Lx+M-1)/N); c=fft(h,L); for K=0:a xk=x(K*N+1:K*N+L); b=fft(xk,L); H=ifft(b.*c,L); Y(K*N+1:K*N+N)=H(M:L); end Y=Y(1:Lx+M-1); 4 結(jié)果及分析假設(shè)有這樣的兩個序列，序列1為x=1,2,3,4,5,6,7,8,9，序列2為h=3,2要求這兩個序列基于重疊保留法的的圓周卷積。顯然第一個序列x的長度為9，第二個序列h的長度為2，在x序列的頭部加上2-1個零，尾部加上N=3個0，拓展為長度為12的序列:x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,0各分段分別為：Xk1=0

16、,1,2,3Xk2=3,4,5,6Xk3=6,7,8,9Xk4=9,0,0,0將每個分段與h卷積后的序列為：Y1=0,3,8,13Y2=9,18,23,28Y3=18,33,38,43Y4=27,18,0,0的前2-1個值舍去，再按順序?qū)⑿蛄泻喜?，得到序列：Y=3,8,13,18,23,28,33,38,43,18以上的結(jié)果是根據(jù)計算所得到的結(jié)果。下面用程序來驗證。運行程序在comand window中輸入>> x=1,2,3,4,5,6,7,8,9;>> h=3,2;>> Y=overlpsav(x,h,3)得到的結(jié)果為：顯然，計算結(jié)果和程序運行結(jié)果相同.

17、5 心得體會在本次課程設(shè)計中，讓我知道了以前所學信號與系統(tǒng)與數(shù)字信號處理的結(jié)合，并在實際運用中設(shè)計濾波器的過程。課程設(shè)計不僅要求對濾波器理論的研究，更重要的是實際設(shè)計中遇到的問題。因為有了這次課程設(shè)計，我不得不對其設(shè)計原理進行更深一層次的理解，對書中原來學到的理論，僅知道了其表面，而不知其原因。在設(shè)計中也使我對一些概念有了更深刻的認識。例如：在指標方面，我混淆了模擬指標和數(shù)字指標的概念，經(jīng)過老師的點撥，自己更加明確，而且記憶深刻。還有在課程設(shè)計中每一次的數(shù)據(jù)輸入都有其重要意義，用MATLAB編譯程序時，可以根據(jù)濾波器指標的要求實時知道對濾波器的影響。例如，編好程序后，調(diào)試成功，任意改變輸入阻帶

18、或者通帶衰減，可以看到輸出波形的變化，改變截止頻率wc（帶通和帶阻濾波器為wcl wcu）同樣可以看到輸出波形的變化。由此，對理論的理解就更加簡單方便，而且記憶力深刻。除此之外，對程序的編譯不是一蹴而就的，而是經(jīng)過多次的編譯與調(diào)試。以前用MATLAB就是簡單的輸入，可以說都不是自己的勞動成果，但這次不一樣，課程設(shè)計沒有別人給你編好，而是自己寫，出錯率就大大提高了，但這是過程，學習就是在過程中進行的，經(jīng)過自己幾天的腦力勞動，再加上同學們的幫助，不僅對讀程序有了很大提高，而且自己的編譯水平也上了一個新臺階，更加熟系了MATLAB的應用，也對其中的函數(shù)有了大概的了解，對其中一些函數(shù)也相當熟練，abs（）、log、exp（）這些都很簡單，濾波器設(shè)計中用到了ceil（）、freqz（）等很重要的函數(shù)，雖然可以用fir1（）、fir2（）可以直接調(diào)用，但那樣就達不到對真正理論設(shè)計過程的 理解和運用。完成整個設(shè)計過程后，學到的東西已經(jīng)不僅僅上面的那些東西，還有同組員的共同努力和探討和設(shè)計過程中的每一個細節(jié)，也許每一個細節(jié)的錯誤就可能導致結(jié)局的失敗，所以我認為這次收獲最大的莫過于靜心，學習不能急，一定要冷靜，心無旁騖，不放過任何一個細節(jié)，就能帶來凱旋的消息。在此，感謝老師一學年以來對我們不僅學習上的關(guān)心，還有生活中的照顧，我也不會辜負老師的期望，繼續(xù)努力深造。參考文獻