特殊三角形講義(1)

1、教育教學(xué)講義知識梳理1 等腰三角形：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。2,相等的兩邊叫腰，另一條邊叫底邊如AB、AC叫腰，BC叫底邊3,兩腰所夾的角，如BAC叫做頂角，底邊與腰的夾角ABC和ACB叫底角2性質(zhì)等腰三角形的兩個底角相等（“等邊對等角”）；等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（“三線合一”）；等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，都等于60°；等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線，底邊上的中線或底邊上的高所在的直線判定有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（定義）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（“等角對等邊”）2. 等邊三角形：三

2、邊都相等的三角形叫做等邊三角形。性質(zhì)： 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。 等邊三角形是軸對稱圖形，等邊三角形每條邊上的中線，高和所對應(yīng)角的平分線都三線合一，它們所在的直線都是等邊三角形的對稱軸。 等邊三角形的判定： （1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。注意：等邊三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。3直角三角形：有一個角是直角的三角形是直角三角形?？捎梅朢t表示。性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角

3、邊等于斜邊的一半；（60°也差不多）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方判定 有一個角是直角的三角形是直角三角形； 有兩個角互余的三角形是直角三角形。如果一個三角形一邊上中線等于這邊一半，那么這個三角形是直角三角形；4如果三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形難點：1在直角三角形中如何正確添加輔助線 通常有兩種輔助線：斜邊上的高線和斜邊上的中線。（求面積）其他還有些特殊的三角形如：等腰直角三角形：頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形中位線三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。考點一：等腰三角形性質(zhì)在邊、角上的

4、應(yīng)用典型例題例1. （1）若等腰三角形的一個外角為70°，則它的底角為_度（2）某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（ ）A9cmB12cmC15cmD12cm或15cm分析：（1）要考慮這個外角是頂角的外角還是底角的外角，當(dāng)頂角的外角是70°時，則底角為×70°35°或頂角是180°70°110°，則底角是（180°110°）35°；若它是底角的外角，則底角為110°，但是兩個底角的和為220°180°，所以這種情況不合理（2）根據(jù)三

5、角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)以3cm為腰時，不能組成三角形，所以只能以3cm為底邊，6cm為腰，所以其周長為66315cm解：（1）35（2）C例2. 已知：如圖所示，ABC中，ABAC，ADDCBC試求A的度數(shù)分析：本題關(guān)鍵是用“等邊對等角”來建立各角之間的關(guān)系，然后借助三角形內(nèi)角和建立等量關(guān)系，從而解決問題解：設(shè)Ax，因為ADDC，所以DCAAx（等邊對等角）所以BDCADCA2x（三角形一個外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和）又因為DCBC，所以BBDC2x（等邊對等角）因為ABAC，所以BACB2x（等邊對等角）因為ABACB180°（三角形內(nèi)角和等于180°），所以x2x2x

6、180°，即x36°，所以A36°評析：（1）在解有關(guān)等腰三角形的問題時，若題設(shè)中對“腰”還是“底邊”或“頂角”還是“底角”指示不明，解題時要分類討論（2）等腰三角形的性質(zhì)經(jīng)常結(jié)合三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理來解決有關(guān)角度計算問題其中等腰三角形的性質(zhì)與三角形外角性質(zhì)是建立角之間關(guān)系的依據(jù)，三角形內(nèi)角和定理是建立等量關(guān)系的依據(jù)同時將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題也是我們要掌握的一種數(shù)學(xué)方法針對性練習(xí)例：1，等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則第三邊長為_鞏固 請寫出周長為8cm，且邊長均為整數(shù)的等腰三角形的各邊長。2. 在等腰三角形ABC中，ABAC，周長為14cm，A

7、C邊上的中線BD把ABC分成了周長差為4cm的兩個三角形，求ABC各邊長。3. 一個等腰三角形的兩個內(nèi)角度數(shù)之比為41，求這個三角形各角度數(shù)?？键c二：三線合一、實際應(yīng)用的圖形轉(zhuǎn)換例1. 如圖所示，已知D、E在BC上，ABAC，ADAE試說明：BDCE分析：本題可以通過ABDACE來證明結(jié)論，但如果抓住圖形的“左右對稱”構(gòu)造“三線合一”來證明結(jié)論，就更為簡捷解：作AFBC于F因為ABAC，AFBC所以BFFC（等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線）同理可證DFEF 所以BDCE例2. 如圖所示，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長BC到E使CECD，試說明BDE是等腰三角形分析：等邊三

8、角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性質(zhì)同樣適用于等邊三角形本題中出現(xiàn)了一邊上的中線，根據(jù)“三線合一”就可以找到解決本題的突破口解：在等邊ABC中，因為BD是AC邊上的中線，所以BD平分ABC又因為ABC60°，所以DBC30°又因為CECD，所以CDEEACB30°所以DBCE所以BDE是等腰三角形例3 如圖所示，上午9時，一條漁船從A出發(fā)，以12海里/時的速度向正北航行，11時到達B處，從A、B處望小島C，測得NAC15°，NBC30°若小島周圍12.3海里內(nèi)有暗礁，問該漁船繼續(xù)向正北航行有無觸礁危險？分析：作CDBN于D，該漁船有無觸

9、礁危險，關(guān)鍵是看CD與12.3的大小關(guān)系，若CD12.3，則無觸礁危險；若CD12.3，則有觸礁危險故解決本題的關(guān)鍵是計算CD解：作CDBN于DAB12×（119）24（海里）因為NAC15°，NBC30°，所以BCANBCNAC30°15°15°所以BCABAC，所以BCAB24（海里）（等角對等邊）在CDB中，CDB90°，DBC30°，所以CDBC12（海里）因為1212.3，所以該漁船繼續(xù)向正北航行，有觸礁危險評析：（1）過去我們習(xí)慣利用三角形全等來證明線段相等和角相等，通過本例可以看出，有時利用等腰三角形

10、的性質(zhì)證明則更為簡便由本例還可以看到，圖形中若具有很強的“左右對稱性”，可以聯(lián)想構(gòu)造“三線合一”（2）解決實際問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把角的問題轉(zhuǎn)化為線段問題針對性練習(xí)：例：1. 如圖，在ABC中，C=25°，ADBC，垂足為D，且AB+BD=CD，則BAC的度數(shù)是多少度。 2、如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120度以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則AMN的周長為多少。 3、如圖，將邊長為2個單位的等邊ABC沿邊BC向右平移1個單位得到DEF，則四邊形ABFD的周長為 4、下圖是由九個等邊三

11、角形組成的一個六邊形，當(dāng)最小的等邊三角形邊長為2cm時，這個六邊形的周長為 課堂練習(xí)例1. 已知，如圖，ABACCD，求證：B2D 例2. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求AD的長。 【考點指要】 等腰三角形、等邊三角形及含30°角的直角三角形是應(yīng)用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經(jīng)常以證明題或計算題頻頻出現(xiàn)，而且經(jīng)常把它們結(jié)合在一道題中加以應(yīng)用，雖然題目的難度不是很大，但也要善于分析，找出圖形中有關(guān)的性質(zhì)?！镜湫屠}分析】 例1. （2005年 蘇州） 如圖，等腰三角形ABC的頂角為120°，腰長為10，則底邊上的高AD_。 例2. 已知

12、，如圖，ABC中，C90°，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，AD8，A30°，求CD的長。 例3. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，E是AB上一點，D是AC上一點，且AECD，又BD與CE交于點F，試求BFE的度數(shù)?！揪C合測試】 1. 已知，如圖，ABAC，ABDACD，求證：DBDC 2. 已知，如圖，D、E是BC上兩點，ABAC，ADAE，求證：BDCE 3. 已知，如圖，ABC中，DE/BC，ABAC，求證：ADAE 4. 已知，如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，DE交BC于F，又BDCE，求證：DFEF 5. 已知，如圖，D是B

13、C上一點，ABC、BDE都是等邊三角形，求證：ADCE 6. 已知，如圖，ABC中，B90°，AC的垂直平分線交AC于D，交BC于E，又C15°，EC10，求AB的長。直角三角形【典型例題】例1 已知一直角三角形兩條直角邊上的中線長分別為AE=5，求其斜邊AB的長。例2如圖所示，點F為RtABC的斜邊AB上的中點，CD=FB，DF的延長線與CB的延長線相交于點E，求證：2E=A。例3 RtABC中，AB=AC，A=90°，點D在BC上，；M為BC中點，請判斷的形狀，并說明你的理由。 【綜合測試】一. 填空題 1. 直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長為 。 2. 已知， RtABC中，BD為斜邊AC上的中線，若A35°，那么DBC 。 3. 已知，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，若ACD35°，那么DBC 。 4. ABC中，C90°，ABc, BCa, ACb,c34, ab815,則a 。二. 選擇題