八年級數(shù)學(xué)上冊課題學(xué)習(xí)最短路徑問題新新人教實(shí)用教案

1、 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條地有三條(sn tio)(sn tio)路可供選擇，你會選路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？走哪條路最近？你的理由是什么？ 兩點(diǎn)之間兩點(diǎn)之間,線段線段(xindun)最短最短FEDCBA第1頁/共22頁第一頁，共23頁。已知：如圖，已知：如圖，A，B在直線在直線L的兩側(cè)，的兩側(cè)，在在L上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)(y din)P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)(jiodin)P ，就是所求。第2頁/共22頁第二頁，共23頁。思考？思考？為什么這樣為什么這樣(zhyng)做就做就能得到最短距離呢？能得到

2、最短距離呢？根據(jù)(gnj)：兩點(diǎn)之間線段最短.第3頁/共22頁第三頁，共23頁。引言： 前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線 段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識探究(tnji)(tnji)數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題” 引入新知(xn zh)(xn zh)第4頁/共22頁第四頁，共23頁。問題1 1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l l 飲

3、馬，然后到B B 地到河邊什么(shn me)(shn me)地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索(tn (tn su)su)新知BAl第5頁/共22頁第五頁，共23頁。精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為(chn wi)(chn wi)“將軍飲馬 問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索(tn (tn su)su)新知BAl第6頁/共22頁第六頁，共23頁。追問1 1這是一個(gè)實(shí)際(shj)(shj)問題，你打算首先做什么？ 將A A，B B 兩地抽象為兩個(gè)(lin )(lin )點(diǎn)，將河l l 抽象為一條直 線 探索(tn (tn su)s

4、u)新知BAl第7頁/共22頁第七頁，共23頁。（1 1）從A A 地出發(fā)，到河邊l l 飲馬，然后到B B 地； （2 2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A A， B B 連接起來的兩條線段的長度(chngd)(chngd)之和，就是從A A 地 到飲馬地點(diǎn)，再回到B B 地的路程之和； 探索(tn (tn su)su)新知追問2 2你能用自己的語言說明這個(gè)問題(wnt)(wnt)的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題(wnt)(wnt)嗎？ 第8頁/共22頁第八頁，共23頁。探索(tn (tn su)su)新知追問2 2你能用自己(zj)(zj)的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)

5、問題嗎？ （3 3）現(xiàn)在的問題(wnt)(wnt)是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線l l上的點(diǎn)設(shè)C C 為直線上的一個(gè)動點(diǎn)，上 面的問題(wnt)(wnt)就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C C 在l l 的什么位置時(shí)， AC AC 與CB CB 的和最小（如圖） BAlC第9頁/共22頁第九頁，共23頁。追問1 1對于問題2 2，如何將點(diǎn)B B“移”到l l 的另一側(cè)BB處，滿足直線l l 上的任意一點(diǎn)C C，都保持CB CB 與CBCB的長度(chngd)(chngd)相等？ 探索(tn (tn su)su)新知問題2 2 如圖，點(diǎn)A A，B B 在直線(zhxin)l (zhxin)l 的同側(cè)，

6、點(diǎn)C C 是直 線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C C 在l l 的什么位置時(shí)，AC AC 與CB CB 的和最??？ BlA第10頁/共22頁第十頁，共23頁。追問2 2你能利用軸對稱的有關(guān)知識(zh shi)(zh shi)，找到上問中符合條件的點(diǎn)BB嗎？ 探索(tn (tn su)su)新知問題(wnt)2 (wnt)2 如圖，點(diǎn)A A，B B 在直線l l 的同側(cè)，點(diǎn)C C 是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C C 在l l 的什么位置時(shí)，AC AC 與CBCB的和最??？ BlA第11頁/共22頁第十一頁，共23頁。作法：（1 1）作點(diǎn)B B 關(guān)于直線(zhxin)l (zhxin)l 的對稱 點(diǎn)BB；（2

7、2）連接ABAB，與直線(zhxin)l (zhxin)l 相交 于點(diǎn)C C 則點(diǎn)C C 即為所求 探索(tn (tn su)su)新知問題(wnt)2 (wnt)2 如圖，點(diǎn)A A，B B 在直線l l 的同側(cè)，點(diǎn)C C 是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C C 在l l 的什么位置時(shí)，AC AC 與CB CB 的和最??？ BlABC第12頁/共22頁第十二頁，共23頁。探索(tn (tn su)su)新知問題(wnt)3(wnt)3你能用所學(xué)的知識證明AC +BCAC +BC最短嗎？ BlABC第13頁/共22頁第十三頁，共23頁。證明：如圖，在直線l l 上任取一點(diǎn)(y din)C(y din)C

8、（與點(diǎn)C C 不重合），連接ACAC，BCBC，BCBC 由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC BC =BC，BC=BCBC=BC AC +BCAC +BC = AC +BC = AB = AC +BC = AB， AC+BC AC+BC = AC+BC = AC+BC探索(tn (tn su)su)新知問題(wnt)3(wnt)3你能用所學(xué)的知識證明AC +BCAC +BC最短嗎？ BlABCC第14頁/共22頁第十四頁，共23頁。探索(tn (tn su)su)新知問題(wnt)3(wnt)3你能用所學(xué)的知識證明AC +BCAC +BC最短嗎？ BlABCC證明(zhngmng)(zhngmn

9、g)：在ABCABC中， AB ABAC+BCAC+BC， AC +BCAC +BCAC+BCAC+BC即AC +BC AC +BC 最短第15頁/共22頁第十五頁，共23頁。若直線l l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C C 不重合(chngh)(chngh)）與A A，B B 兩點(diǎn)的距離和都大于AC +BCAC +BC，就說明AC + AC + BC BC 最小 探索(tn (tn su)su)新知BlABCC追問1 1證明AC +BC AC +BC 最短時(shí)，為什么要在直線l l 上任取一點(diǎn)CC（與點(diǎn)C C 不重合），證明AC +BC AC +BC ACAC+BC+BC？這里(zhl)(zhl)的“CC

10、”的作用是什么？ 第16頁/共22頁第十六頁，共23頁。探索(tn (tn su)su)新知追問2 2回顧(hug)(hug)前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？ BlABCC第17頁/共22頁第十七頁，共23頁。1. 如圖，兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線(zhxin)，橋要與河垂直）ABMNE第18頁/共22頁第十八頁，共23頁。作法：1.1.將點(diǎn)B B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E E， 2. 2.連接(linji)AE(linji)AE交河對岸與點(diǎn)M,M, 則點(diǎn)M M為建橋的位

11、置，MNMN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CDCD處，連接(linji)AC.CD.DB.CE,(linji)AC.CD.DB.CE,則ABAB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACEACE中，AC+CEAC+CEAE, AE, AC+CE+MNAC+

12、CE+MNAE+MN,AE+MN,即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以橋的位置建在CDCD處，ABAB兩地的路程最短。ABMNECD第19頁/共22頁第十九頁，共23頁。已知：如圖A是銳角(rujio)MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當(dāng)分析：當(dāng)ABAB、BCBC和和ACAC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)一條直線上時(shí)(shn sh)(shn sh)，三角形的周長最小，三角形的周長最小第20頁/共22頁第二十頁，共23頁。已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊(lingbin)OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.分別作點(diǎn)A關(guān)于(guny)OM，ON的對稱點(diǎn)A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求第21頁/共22頁第二十一頁，共23頁。感謝您的觀看(gunkn)！第22頁/共22頁第二十二頁，共23頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，