9月23日根與系數(shù)的關(guān)系

1、 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：X=aacbb242(b2-4ac0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-22123算一算(2)(2)求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè) 根分別為根分別為2 2和和3;3;-4-4和和7;7;3 3和和-8;-8;-5-5和和-2-2x2-5x+6=0 x2-3x-28=0(x-3)(

2、x+8)=0 x2+5x-24=0(x+5)(x+2)=0(x+4)(x-7)=0(x-2)(x-3)=0 x2+7x+10=0問題問題1 1：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根 與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是X1 , X2 ,那么X1+x2= , X1x2= ab-ac注：能用

3、公式的前提條件為b2-4ac0如果方程x2+px+q=0的兩根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2=Pq一正根，一正根，一負(fù)根一負(fù)根0X1X20兩個(gè)正根兩個(gè)正根0X1X20X1+X20兩個(gè)負(fù)根兩個(gè)負(fù)根0 0X X1 1X X2 20 0X X1 1+X+X2 20 0說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134說一說例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的

4、一個(gè)根是2 , 求它的另一個(gè)根及k的值。解法一：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1 2= k+1x1 2= 3k解這方程組，得x1 =3 k =2答：方程的另一個(gè)根是3 , k的值是2。1、已知方程3x219x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值。2、設(shè)x1,x2是方程2x24x3=0的兩個(gè)根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1,319則x1+1= , x1= ,316又x11= ,3m m= 3x1 = 16 解： 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =

5、-2+( )+1=2325試一試另外幾種常見的求值另外幾種常見的求值2111. 1xx2121xxxx 1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx解：由根與系數(shù)的關(guān)系得解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）

6、=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8當(dāng)當(dāng)k=4k=4時(shí)，時(shí)， 0 0當(dāng)當(dāng)k=-2k=-2時(shí)，時(shí)， 0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2題：題： 已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 是是且且 求求k k的值。的值。 022kkxx2, 1xx42221xx1、已知方程3x219x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值。2、設(shè)x1,x2是方程2x24x3=0的兩個(gè)根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1,319則x1+1= , x1= ,316又x11= ,3m m= 3x1 = 16

7、解： 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2325試一試引申引申:1、若若ax2 bx c 0 (a 0 0)（1）若兩根互為相反數(shù)）若兩根互為相反數(shù),則則b 0;（2）若兩根互為倒數(shù)）若兩根互為倒數(shù),則則a c;（3）若一根為）若一根為0,則則c 0 ;（4）若一根為）若一根為1,則則a b c 0 ;（5）若一根為）若一根為 1,則則a b c 0;（6）若）若a、c異號(hào)異號(hào),方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1題題9 9 方程方程 有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m m的取值范圍。的取值范圍。) 0( 0122mmmxmx1、RtABC中，C=90。,a、b、c分別是 A、 B、 C的對(duì)邊,a、b是關(guān)于X的方程x2-