二項式定理知識點及題型歸納總結(jié)

1、二項式定理知識點及題型歸納總結(jié)知識點精講一、二項式定理a bn C： anb°C： an1b展開式具有以下特點：（D 項數(shù)：共n 1項C： anbC； a°bn n N*.(2)二項式系數(shù)：依次為組合數(shù)c0,c1,c2, , C:（3 ）每一項的次數(shù)是一樣的，都為n次，展開式依a的降幕、b的升幕排列展開特別地，1 Xn 1 C； X C： X2CnnXn 二、二項式展開式的通項（第 r1項）二項式展開的通項為TnC： an rbrr 0,1,23,n.淇中C的二項式系數(shù)令變量（常用x）取1，可得Tri的系數(shù).注通項公式主要用于求二項式展開式的指數(shù)、滿足條件的項數(shù)或系數(shù)、展開

2、式的某一項或系數(shù)在應用通項公式時要注意以下幾點： 分清C； anb是第r 1項，而不是第r項;在通項公式Th C： anrbr中，含Tri,Cr； ,a,b,r, n這6個參數(shù)，只有a,b,r,n是獨立的，在未知r,n的 情況下利用通項公式解題，一般都需要先將通項公式轉(zhuǎn)化為方程組求n和r.三、二項式展開式中的系數(shù)（1 ）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項式系數(shù)僅指Co,6,C,，CJ而言，不包括字母a,b所表示的式子中的系數(shù)例如：2 x “的展開式中含有燈的項應該是1C： 2nrXn，其中6叫做該項的二項式系數(shù)，而x的系數(shù)應該是C； 2nr （即含x項的系數(shù)）.（2）二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式展開式中，“

3、等距離”的兩項的二項式cn cncn cn ,cn cn '與首末兩端二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大如果二項式的幕指數(shù)n是偶數(shù)，中間項是第21項，其二項式系數(shù)C最大；如果二項式的幕指數(shù)n是奇數(shù)，中間項有兩項，即為第項和第器1項，它們的二項式系數(shù)62和C,相等并且最大.（3） 一項式系數(shù)和與系數(shù)和nn n二項式系數(shù)和-0Cn (1+1 )2奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和,即 C°C； C：135 n 1cn劉cn2系數(shù)和求所有項系數(shù)和，令X1 ;求變號系數(shù)和，令X1 ;求常數(shù)項，令X 0。題型歸納及思路提示題型1二項式定理展開式的應用思路提示對二項展開式的認識不僅要

4、矢注展開式中對各項的特點，更重要的是要理解等式兩邊的矢系, 右邊是左邊個因式ab積的結(jié)果，而左邊是右邊各項和的結(jié)果，這就為此類問題的解決提供了思考的 方向和解決的思路。用計數(shù)原理證明：丫c： an % c： an2b2 L danrbr Lc； bn nN ,r 0,1,2, ,n 中每一個取r個a b中每一個取b相乘取得的這樣的取法（只需從r個a b中取b，自然剩余nr個a b中取a）共有Cn眛中,Ar Cn r 0,1,2 ,n .解析4 2 g4% 2。滬厶？ /4申，其展開式的通項為 Aran rbr，是由n個a b中的 n個01 n 1Cnacna b靠Lr n r rcna bn

5、nCnb變式12x3的展開式中，x的系數(shù)為（A. 15B.85 C.120 D.274變式254x 2的展開式中，X的系數(shù)為（用數(shù)字作答）變式32的展開式中整理后的常數(shù)項為X（用數(shù)字作答）題型2二項展開式通項的應用思路提示二項展幵式的通項從微觀角度反映了二項展幵式的全貌，是展開式的縮影，它可以用于求二項展開式的任意指定項及 其系數(shù)等。21 5例1231（ 1）X22 1的展開式的常數(shù)項是（）XA.3B.2C.2 D.312、XT5展開式中X的系數(shù)為（)A.4B.2C.2 D.4得常數(shù)項為1C545，故展開式中常數(shù)項為3 ，故選D.1 2.x33x變式2變式3 已知1例 12.32(1)(2)求

6、證:解析(1)因為即 2nC°(2)首先6、.X 12x 8x、x展開式中含X的項1求證：2n2nC;-1+C2，顯然有，10x10展開式中的常數(shù)項為2nCn1 5 3 x 10 3 x7 10x1 12x2x.故選 C.n的展開式中沒有常數(shù) 項，N, n3.nN，所以cn2n2.證畢.12!n2!3!13!1n!1 Cn(至少有3故有2n項)，變式a, b0,n求證：變式求證：變式對于n求證：1111±c22cn例 12.33(1)展開式中X的系數(shù)為。，45x 寶 x yx? 故1展開式至少有4項,1 n!L+八72，n N的展開式中常數(shù)項為（A. 35C.354D. 1

7、05.x的系數(shù)為4,得(2) Tri即常數(shù)項為Tr13r3rTr小r9Cq aX=1得©=C82r為 C9a9 rx的幕由展開式中的錯誤！未找到引用源。C8r4r，令 4r0,得r=4，124Bo（用數(shù)字作答）。變式1 J18的展開式中含X15的項的系數(shù)為變式2設二項式0）的展開式中x3的系數(shù)為A,常數(shù)項為B,若B=4A則a的值為（用數(shù)字作答）。變式3 x y io展開式中x3 y?與X? y3的系數(shù)和為4嚴例 12.34 x V3y展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有項。解析：T 1 C：咲2°43y *=錯誤！未找到引用源。（r 0,1,2丄20）依題意，r為4的整數(shù)倍,r 0

8、,4,8,12,16,20 故展開式中系數(shù)為有理項的項共有6項。變式J73/ 2MX11:2,求展開式中有理項有多少個?變式2“2 a b2 ( a, b為有理數(shù))，則a b=(A. 45 B. 55 C. 70 D. 80n變式3 x、.x |展開式中存在常數(shù)項正整數(shù)n的最小值為題型3二項展開式的系數(shù)和問題思路提示有尖系數(shù)和的問題不僅要注意二項式系數(shù)和的結(jié)果，重要的是研究二項式系數(shù)所用的方法即賦值法 要讀者根據(jù)題目結(jié)合已知條件進行賦值。這里就需例12.35已知12x =a° a xa?x2 L(1) ai a2a7 ；(2)ai a3 as37；(3) aa234a6 ； a0 3

9、ia7.解析令x 1，則a。a1 a2az1，貝 U aoai a2 a3 a4a5a6因為a。 c° 1，所以ai a2a7(2)()2得qS3 35371094.（+）錯誤味找到引用源。得aoa2（4）解法一：因為展開式中ao,a2,a4,a6大于2S7X3737.2.34361093'而玄仆玄彳厶耳小于零'所以a。 a(a°a2 a4 a6)(ai aaasa?) =2187.解法二：a0 aia7即為展開式1 2x 7中各項的系數(shù)和故只需要對1 2x 7中令xa0 aia?的值等于 37=2187.評注：求矢于展開式中的系數(shù)和問題，往往根據(jù)展開式的特

10、點給其中字母一些特殊的數(shù)值，如等，此即賦值法。變式1已知二項展開式2x 3ao aixa4Xa° a2 2 a4引昭=變式2Xa12X 的展開式中各項系數(shù)的和為XX2,則該展開式中常數(shù)項為（)A. -40 B. -20 C. 20 D. 40a7 =1即可得1, -1，則例 12.36 若 1 2x2015 = a o aAx2015( x R)，則電卑號的值為(A. 2 B. 0 C. -1 D. -2，令X 0得a。丨，所以a?222吃01522015-a o1，故選C.變式1已知1 X21 xfn1 x =a°a/自然數(shù)n的值為()A. 3B. 4C. 5D.6變式2

11、若172xaix Soa?x7 ，貝 U2a2anXl若 ai a2an 129 n，那么737 = 1 1 1解析：存二項式屆開式中，令 x .得0 % 尹2題型4 二項展幵式中系數(shù)或項的最大、最小問題思路提示系數(shù)或項的最大、最小問題需按該項二項式系數(shù)最大（小）問題按前述“知識點精講”原理求解 大于（或小于）等于相鄰兩項，列不等式組求解。例12.37a bn展開式中：（1）只有第7項的二項式系數(shù)最大，則;（2）第7項二項式系數(shù)取最大值，n =.分析：只有一項的二項式系數(shù)爵大n是偶數(shù)；有兩項二項式系數(shù)最大n是奇數(shù)°解析：（1） Tr仁C討b只有Te 1二項式系數(shù)最大，錯誤！未找到引用

12、源。為偶數(shù)，最大值為Cn2 c；，6，得n 12 . （2）當n為偶數(shù)時，n 12 ；當n為奇數(shù)時，最大二項式系數(shù)為2n 13 或 n 11.所以 n 11,12,13。、，10變式1求1 X展開式的系數(shù)最大項和最小項。11變式2求1 2X展開式中二項式系數(shù)最大項數(shù)和系數(shù)最大項數(shù)。有效訓練題1.2x21 §的二項展開式中，XX的系數(shù)為（A. 10B.-10C.40D. -402. 1n3x (其中6）展開式中，x5與x6的系數(shù)相等貝U n -（）A. 6B. 7C.8D. 95的展開式X3x的系數(shù)為10 則實數(shù)a等干（A. 1 B.丄C. 1D. 27.7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的XA. -24B. -6C. 6D.245若n11展開式中的所有二項式系數(shù)和為XA. -84B. 84C. -36D. 366.設 X?91 2x 1 = aoa2 XA. 2B.-1 C. -2D.4. 2x 1的展開式中的常數(shù)項為（7的展開式中第3項與第X512,則該展開式中的常數(shù)項為（）11aAx，貝U a印an的值為1 X 2。的二項展開式中，X的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為9.10F1 知 X 1ai a?xaux10,若數(shù)列玄皚赳.,ak(1 k 11,kZ）是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值為10.LJ4右