電磁學(xué)(趙凱華)答案[第6章麥克斯韋電磁理論]

1、1一平行板電容器的兩極板都是半徑為的圓導(dǎo)體片，在充電時，其中電場強(qiáng)度的變化率為：。試求：（ 1） 兩極板間的位移電流； （ 2） 極板邊緣的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解: （ 1）如圖所示,根據(jù)電容器極板帶電情況，可知電場強(qiáng)度的方向水平向右（電位移矢量的方向與的方向相同） 。 因電容器中為真空，故。忽略邊緣效應(yīng)，電場只分布在兩板之間的空間內(nèi)，且為勻強(qiáng)電場。已知圓板的面積，故穿過該面積的的通量為由位移電流的定義式，得電容器兩板間位移電流為因，所以的方向與的方向相同，即位移電流的方向與的方向相同。（ 2）由于忽略邊緣效應(yīng)，則可認(rèn)為兩極板間的電場變化率是相同的，則極板間的位移電流是軸對稱分布的 ,因此由它所產(chǎn)生的

2、磁場對于兩板中心線也具有軸對稱性。在平行板電容器中沿極板邊緣作以半徑為的圓，其上的大小相等，選積分方向與方向一致，1則由安培環(huán)路定理可得（全電流）因在電容器內(nèi)傳導(dǎo)電流，位移電流為，則全電流為所以極板邊緣的磁感應(yīng)強(qiáng)度為根據(jù)右手螺旋定則，可知電容器邊緣處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，如圖所示。2 一平行板電容器的兩極板為圓形金屬板，面積均為，接于一交流電源時，板上的電荷隨時間變化，即。試求：（ 1） 電容器中的位移電流密度的大?。唬?） 設(shè)為由圓板中心到該點的距離，兩板之間的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布。解:（1）由題意可知，對于平行板電容器電位移矢量的大小為所以，位移電流密度的大小為（2）由于電容器內(nèi)無傳導(dǎo)電流，故。又

3、由于位移電流具有軸對稱性，故可用安培環(huán)路求解磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)為圓板中心到場點的距離，并以為半徑做圓周路徑。根據(jù)全電流安培環(huán)路定理可知通過所圍面積的位移電流為2所以.最后可得3. 如圖（ a）所示，用二面積為的大圓盤組成一間距為的平行板電容器，用兩根長導(dǎo)線垂直地接在二圓盤的中心。今用可調(diào)電源使此電容器以恒定的電流充電，試求： （ 1） 此電容器中位移電流密度；（2） 如圖（ b）所示，電容器中點的磁感應(yīng)強(qiáng)度；（ 3） 證明在此電容器中從半徑為厚度為的圓柱體表面流進(jìn)的電磁能與圓柱體內(nèi)增加的電磁能相等。解:（ 1）由全電流概念可知，全電流是連續(xù)的。電容器中位移電流密度的方向應(yīng)如圖（c）所示，其大小為通

4、過電源給電容器充電時，使電容器極板上電荷隨時間變化，從而使極板間電場發(fā)生變化。因此，也可以這樣來求：因為由于，因此所以3（2）由于傳導(dǎo)電流和位移電流均呈軸對稱，故磁場也呈軸對稱，顯然過點的線應(yīng)為圓 心 在 對 稱 軸 上 的 圓 ， 如 圖 （ c ） 所 示 。根 據(jù) 全 電 流 安 培 環(huán) 路 定 理 ， 將用于此線上，有得所以（3）在電容器中作半徑為厚度為的圓柱體，如圖（d）所示。由坡印廷矢量分析可知，垂直指向圓柱體的側(cè)壁，這表明電磁場的能量是從側(cè)壁流入圓柱體內(nèi)的。在單位時間內(nèi)流入的能量為因為所以由于傳導(dǎo)電流和位移電流都不隨時間變化，故磁場和磁場的能量也都不隨時間變化。但電容器中的電場是

5、隨時間增強(qiáng)的，故電場的能量是隨時間增加的。圖（d）中圓柱體內(nèi)單位時間內(nèi)增加的電場的能量為4顯然，單位時間內(nèi)流入圓柱體的能量與圓柱體內(nèi)增加的能量相等。4 如圖所示，已知電路中直流電源的電動勢為電阻，電容器的電容，試求：（ 1） 接通電源瞬時電容器極板間的位移電流；（2）時，電容器極板間的位移電流；（3） 位移電流可持續(xù)多長時間。 （通常認(rèn)為經(jīng)過10 倍電路時間常數(shù)后電流小到可忽略不計）解: 對串聯(lián)電路的暫態(tài)過程有求解該方程得：，表示極板上的電荷量是隨時間變化。在電容器內(nèi)，由上題結(jié)論得電容器中的位移電流為對應(yīng)不同的情況，可求得 （ 1）在接通電源的瞬時，電容器極板間的位移電流。（2）當(dāng)時，（3）在

6、時可認(rèn)為電流忽略不計，即。所以55 一球形電容器，其內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為，兩極板之間充有相對介電常數(shù)為的介質(zhì)。現(xiàn)在電容器上加電壓， 內(nèi)球與外球的電壓為，假設(shè)不太大， 以致電容器電場分布與靜電場情形近似相等，試求介質(zhì)中的位移電流密度以及通過半徑為的球面的位移電流。解: 設(shè)電容器極板上帶有電荷，由位移電流密度公式可知由于球形電容器具有球形對稱，用電場高斯定理求出球形極板間的電位移矢量為（為徑向單位向量）球形電容器極板間的電勢差為與上式聯(lián)立，消去，得所以位移電流密度為在電容器中，作半徑為的球面，通過它的位移電流為的流向沿徑向，且隨時間變化。6 如圖所示， 電荷以速度向點運(yùn)動（到點的距離以表示）

7、。在點處作一半徑為的圓，圓面與垂直。試求通過該圓面的位移電流和圓周上各點處6的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解: 電荷在其周圍要激發(fā)電場，同時由于電荷運(yùn)動，根據(jù)麥克斯韋假設(shè)，此時隨時間變化的電場又激發(fā)磁場。 設(shè)時間穿過圓面上的電位移通量為為使計算簡便，可以為球心，為半徑，為小圓半徑的底面，做一球冠，球面上各點的的大小相等，穿過題意圓面的電位移通量與穿過球冠的電位移通量相等。即代入位移電流的定義式，得取半徑為的圓為積分回路，由麥克斯韋方程，有由于運(yùn)動沿圓面的軸線，系統(tǒng)具有對稱性，所以環(huán)路上各點的大小相等，即得7寫成矢量形式有這正是運(yùn)動電荷產(chǎn)生的磁場公式。7 如圖所示，由電容為的電容器和自感系數(shù)為的線圈構(gòu)成一振蕩電

8、路，若忽略線路中的電阻，充電后電容器所帶電量的幅值為。試求：（1）充電時電容器兩極板間電位差隨時間的變化率； （2）電路中電流隨時間的變化率； （3）電場和磁場能量分別隨時間的變化率。解:在圖示中，將開關(guān)先后扳向位置2， 1 使電容器充放電，便可在電路中產(chǎn)生電流的周期性變化。設(shè)電路中電荷隨時間的變化規(guī)律為則電路中的充放電流為由于在電路中，所以回路的振蕩頻率由題意可知，所以代入電容器的電容公式，有8表明電容器兩極板間電壓隨時間作用周期性變化。已知電路中電荷變化規(guī)律，則有電容器儲存的電場能量為線圈儲存的磁場能量為整個電路系統(tǒng)的總能量8. 試證明麥克斯韋方程組中蘊(yùn)含了電荷守恒定律。解 :由麥克斯韋方程（為傳導(dǎo)電