(完整word版)中考數(shù)學壓軸題破解策略專題23《平行四邊形的存在性》

1、1專題 23平行四邊形的存在性破解策略以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復雜，知 識覆蓋面廣，綜臺性較強，對學生分析問題和解決問題的能力要求高，這類題，一般有兩個類型：(1)“三個定點、一個動點”的平行四邊形存在性問題：以A,B, C三點為頂點的平行四邊形構(gòu)造方法有：_xOOO1_ 作平行線：如圖，連結(jié)AB BC AC分別過點A B, C作其對邊的平行線, 三條直線的交點為D E，F(xiàn).則四邊形ABCDACBE ABFC勻為平行四邊形.倍長中線：如圖，延長邊AC AB BC上的中線，使延長部分與中線相等，得點D,E, F,連結(jié)DE EF, FD則四邊形ABCD AC

2、BE ABFC均為平行四邊形.(2)“兩個定點、 兩個動點”的平行四邊形存在性問題：先確定其中一個動點的位置， 轉(zhuǎn)化為“三個定點、一個動點”的平行四邊形存在性問 題，再構(gòu)造平行四邊形.解平行四邊形存在性問題，無論是以上哪種類型，若沒有指定四邊形頂點順序，都需 要分類討論.通常這類問題的解題策略有：(1)幾何法：先分類，再畫出平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)來解答.如圖，若AB/ CD且AB= CD分別過點B, C作一組平行線BE CF,分別過點A D作一組平 行線AEDF則厶AEBDFC從而得到線段間的關(guān)系式解決問題.(2)代數(shù)法：先羅列四個頂點的坐標，再分類討論列方程，然后解方程并檢驗.

3、 如圖.已知平行四邊形ABQ.連結(jié)AC BD交于點0.設(shè)頂點坐標為A(XA,yQ.B(XB,ys),F2C( XC,yc),D( XD,yo)1_x0001_用平移的性質(zhì)求未知點的坐標:2利用中點坐標公式求未知點的坐標:XA+ XcXB+ XD2=2 yA+ ycyB+ y有時候幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又快又好.例題講解例 1 如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+mx+ n經(jīng)過點 A( 3, 0), B( 0,3),P是直線AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M(1)分別求出直線AB和這條拋物線的表達式；(2)是否存在這樣的點P,使得以點P,M B, O為頂點

4、的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.解：(1)將點A, B的坐標代入拋物線的表達式，得y=x2 2x+ 3 .設(shè)直線AB的表達式 為y=kx+b,將點A, B的坐標代入，得y=x 3.(2)存在.因為PM/ OB所以當PM= OB時， 四邊形即為平行四邊形. 根據(jù)題意設(shè)點P的坐標為(p,p3),則點M的坐標為(p,p2 2p 3).所以(p- 3)- (p2- 2p- 3) = 3.解得 p=3士 -21，故滿足條件的點P的橫坐標為 p=.2 2XD，或XB- Xc= XA- XD, yB-yc= yA- yo.DXA= XC-3例 2 邊長為 2 的正方形

5、OAB(在平面直角坐標系中的位置如圖所示，D是OA邊的中點，4連結(jié)CD點E在第一象限，且DEL DC DE= DC以直線AB為對稱軸的拋物線過C, E兩點.(1) 求拋物線的表達式；(2)M為直線上一動點，N為拋物線上一動點，問：是否存在點M N,使得以點M N, D, E為頂點的四邊形是平形四邊形？若存在，請求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.解(1)如圖 1,過點E作EGLx軸于點G易證0D4AGED(AAS,所以GE= 0D=-0A= 1 .2所以點E的坐標為(3, 1). 而直線AB為拋物線的對稱軸，直線 所以可設(shè)拋物線的表達式為y=aAB的表達式為x=2, (x2)2+k,

6、將C, E兩點的坐標代入表達式，得k= 2,+ k =1,a =解得%153k=|.所以拋物線的表達式為3_22令-X2_4x 233(2)存在.由題意可設(shè)點M的坐標為(2, m ,N的坐標為n,-nI 3臺5當DE為平行四邊形的邊時，(i )如圖 2，若DEI MN MDI NE2_1 = n_3由平移的性質(zhì)可得124m-On2n 2-1I 33m=1.解得n =4.此時點M的坐標為(2，1)，N的坐標為(4, 2).(ii )如圖 3，若DE/ MN MIND.N-1=2-3.由平移的性質(zhì)可得124n2n 2 -0二m -1.33丄m =3.解得In =0.此時點M的坐標為(2, 3),N

7、的坐標為(0, 2).當DE為平行四邊形的對角線時，如圖4.卩+3 = 2 + n.由平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)可得1 2 4|0 + 1 = m+ n n + 2.I331I m =_解得3n =2.f 1)f 2)此時點M的坐標為.2廠f, N的坐標為.2, :I 3丿I 3丿例 3 如圖，拋物線y = x2* bx *c的頂點為D(- 1, - 4)，與y軸交于點C(0,63),與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左側(cè)).7（1） 求拋物線的表達式；（2） 若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F,使以A,C, E,F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐

8、標；若不存在，請說明理由.解 （1）將點C, D的坐標代入拋物線的表達式，得y=x22x-3.(2)存在.2令x 2x-3=o,解得洛=1公2=3.所以點A的坐標為（一 3, 0）,B的坐標為（1, 0）. 由點F在拋物線上可設(shè)點F的坐標為m,m2，2m-3.方法一：如圖 1、圖 2,當AC為平行四邊形的邊是，圖 1圖 2過點F作FP垂直于拋物線的對稱軸，垂足為P.易證PEFAO（A.所以PF=AO=3,從而點F的坐標為（2, 5）或（一 4, 5）.如圖 3，當AC為平行四邊形的對角線時，過點F作FP丄y軸于點P.令拋物線的對稱軸交x軸于點Q易證PCFAQ甌.所以PF=AQ=2,從而點F的坐

9、標為（一 2,- 3）,此時點F與點C縱坐標相同，所以 點E在x8軸上.9圖 3方法二：如圖 3,當AC EF為平行四邊形的對角線時,j xEm - -3 0,可得2yE+(m +2m-3)=0+(-3卜又因為點E在拋物線的對稱軸上，所以 m=- 2,則點F的坐標為(一 2, - 3).如圖 1，當AE CF為平行四邊形的對角線時，又因為點E在拋物線的對稱軸上， 所以作4,則點F的坐標為(一 2, - 3).3如圖 2，當AF, CE為平行四邊形的對角線時,可得3“yE= m 2m.又因為點E在拋物線的對稱軸上，所以作 2.則點F的坐標為(2, 5).綜上可得，滿足平行四邊形的點F的坐標為(一

10、 2,- 3)(- 4, 5)( 2, 5)進階訓練1如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AD/BC/B= 90 ,AD=24cm,BC=28cm,點P從點A出發(fā)，沿AD以 1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，沿CB以 3cm/s的速度向 點B運動， 其中一個動點到達終點時， 另一個點也隨之停止運動問： 從運動開始， 經(jīng)過多 長時間， 四邊形PQC成為平行四邊形？2如圖，拋物線y=ax2+bx+c過A(-3, 0),B(1 , 0),C(0, 3) 三點，拋物線的頂點位P.(1)求拋物線的表達式；可得XEYE= m+3,2二m 2m -5.10（2）直線y= 2x+ 3 上是否存在點M

11、使得以A,P, C, M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.3如圖，在矩形OAB（中,OA5,AB=4,點D為邊AB上一點，將BCD&直線CD折疊， 使點B恰好落在0A邊上的點E處，分別以O(shè)C 0A所在的直線為x軸.y軸建立平面直角坐 標系若點N在過O D. C三點的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，問是否存在這樣的點M與點N,使得以M N, C, E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在請求出M點坐標; 若不存在，請說明理由.答案：存在滿足條件的點M其坐標為（2, 16）, （- 6, 16）或（2, -）.3提示:易證DA EOC從而點D的坐標為

12、（-|,-5），得到過點Q D, C的拋物線的 解析式為y=9x2+dx.再分類討論，由對角線互相平分，中點橫縱坐標相等列出方程，33從而找到符合條件的點M（參考例 3 的方法二）4.如圖，拋物線與x軸交于點A（- 5, 0）, B（3, 0），與y軸交于點 C（0, 5）.有一 寬度為 1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線 于點P, Q交直線AC于點M N.在矩形的平移過程中，當以點P, Q M N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標.11答案：點M的坐標為(一 2, 3), (-2- .6,3- 6)或(-2+ . 6,3+ 6)12y=x+ 5,設(shè)點M的坐標為(t,t + 5)，則點(t- 1 ,t+ 4), (t,t2-?t+5) Q(t-1