2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：1.4　生活中的優(yōu)化問題舉例 Word版含解析

1、14生活中的優(yōu)化問題舉例目標(biāo) 1.學(xué)會(huì)解決利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題.2.學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中簡單實(shí)際問題，并體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.3.提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力重點(diǎn) 用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題難點(diǎn) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題知識(shí)點(diǎn)生活中的優(yōu)化問題填一填1優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題2利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路答一答利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時(shí)應(yīng)注意什么問題？提示：(1)在求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去；(2)在解決實(shí)際優(yōu)化問題時(shí)，不僅要注意將問題中

2、涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還應(yīng)確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間；(3)在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f(x)0的情形，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值1利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題，往往歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題2利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)當(dāng)問題中涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，找出變量間的關(guān)系式；(2)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍；(3)所得的結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義3要注意方法的靈活運(yùn)用，如配方法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法類型一利潤最高問題【例1】某種商品每件的成本為9元，當(dāng)售價(jià)為30元時(shí)，每

3、星期可賣出432件如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期可多賣出24件(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？【解】(1)設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)星期里的獲利為f(x)，則有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知條件得24k×22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根據(jù)(1)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12)

4、令f(x)0，即18(x2)(x12)0，得x12，x212.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072極小值極大值0因?yàn)閒(0)9 072<f(12)11 664，所以當(dāng)x12時(shí)，f(x)取得最大值，即當(dāng)定價(jià)為301218(元)時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大實(shí)際生活中利潤最大，容積、面積最大，流量、速度最大等問題都需要利用導(dǎo)數(shù)來求解相應(yīng)函數(shù)的最大值.根據(jù)f(x)0求出極值點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn))后，函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足左增右減，則此時(shí)唯一的極大值就是所求函數(shù)的最大值.當(dāng)前，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣

5、大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生課外學(xué)習(xí)的一種趨勢假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿足的關(guān)系式為y4(x6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(精確到0.1)解：(1)因?yàn)楫?dāng)x4時(shí)，y21，代入關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y4(x6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤為f(x)(x2)4(x6)2104(

6、x6)2(x2)4x356x2240x278(2<x<6)，從而f(x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f(x)0，得x或x6(舍去)當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(，6)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以x是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值故當(dāng)銷售價(jià)格約為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大類型二費(fèi)用最省問題【例2】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每

7、厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用c(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：c(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的解析式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最?。坎⑶笞钚≈怠窘狻?1)由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為c(x)(0x10)，再由c(0)8，得k40，因此c(x).而建造費(fèi)用為c1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20c(x)c1(x)20×6x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x

8、5或x(舍去)當(dāng)0<x<5時(shí)，f(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f(x)>0，故x5是f(x)的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為f(5)6×570.當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元(1)在列函數(shù)解析式時(shí)，要注意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域.(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值.如果函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)或函數(shù)f(x)在開區(qū)間上只有一個(gè)點(diǎn)使f(x)0，則只要根據(jù)實(shí)際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米余下工程只需建兩端橋墩之間的橋

9、面和橋墩經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素記余下工程的費(fèi)用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？解：(1)設(shè)需要新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(1)(2)xm2m256(0<x<m且為正整數(shù))(2)由(1)知， f(x)mx(x512)令f(x)0，解得x64.當(dāng)0<x<64時(shí)，f(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)上單調(diào)遞減；當(dāng)64<x&

10、lt;640時(shí)，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)上單調(diào)遞增所以f(x)在x64處取得極小值，也是最小值，此時(shí)，n119,9n，符合題意，故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小高考應(yīng)用題對生活中優(yōu)化問題的考查【例3】某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為v立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將v表示成r的函數(shù)v(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)v(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大【解】(1)

11、因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100×2rh200rh(元)，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元根據(jù)題意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而v(r)r2h(300r4r3)由h>0，且r>0可得0<r<5，故函數(shù)v(r)的定義域?yàn)?0,5)(2)由(1)知v(r)(300r4r3)(0<r<5)，故v(r)(30012r2)令v(r)0，解得r15，r25(舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，v(r)>0，故v(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5,5)時(shí)，v(r)<0，故v(r)在(5

12、,5)上為減函數(shù)由此可知，v(r)在r5處取得極大值，也是最大值，此時(shí)h8，即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大【解后反思】此類問題多以解答題的形式出現(xiàn)，解題的關(guān)鍵是由題意列出函數(shù)解析式，注意實(shí)際意義對自變量的制約，求出定義域后在定義域內(nèi)討論函數(shù)的最值試題難度偏大，屬于高檔題請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，abcd是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得a，b，c，d四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)p，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒e，f在ab上，且是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)aefbx(cm)(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積s(cm2

13、)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積v(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值解：設(shè)包裝盒的高為h cm，底面邊長為a cm.由已知得，ax，h(30x)，0<x<30.(1)s4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以當(dāng)x15時(shí)，s取得最大值(2)va2h2(x330x2)，v6x(20x)由v0得x0(舍去)或x20.當(dāng)x(0,20)時(shí)，v>0；當(dāng)x(20,30)時(shí)，v<0.所以當(dāng)x20時(shí)，v取得極大值，也是最大值，此時(shí)，即包裝盒的高與底面邊長的比值為.1做一個(gè)容積為256 m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的

14、高為(c)a6 m b8 mc4 m d2 m解析：設(shè)底面邊長為x m，高為h m，則有x2h256，所以h.所用材料的面積設(shè)為s m2，則有s4x·hx24x·x2x2.s2x，令s0得x8，因此h4(m)2已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(c)a13萬件 b11萬件c9萬件 d7萬件解析：因?yàn)閥x281，所以當(dāng)x>9時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<9時(shí)，y>0，所以函數(shù)yx381x234在(9，)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x9時(shí)函數(shù)取

15、最大值3某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為115元時(shí)，利潤最大解析：利潤為s(x)(x30)(200x)x2230x6 000，s(x)2x230，由s(x)0，得x115，當(dāng)x<115時(shí)，s(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>115時(shí)，s(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x115時(shí)，利潤達(dá)到最大4某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站5千米處解析：依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1，每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2k2x，其中x是倉庫到車站的距離，于是由2，得k120；810k2，得k2.因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y，y，令y0，得x5(x5舍去)，經(jīng)驗(yàn)證，此點(diǎn)即為最小值點(diǎn)故當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小5在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去邊長相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？解：