工程優(yōu)化設計與MATLAB實現(xiàn) 第二講2

1、2、matlab的符號運算 matlab 不僅具有數(shù)值運算功能，還開發(fā)了在matlab環(huán)境下實現(xiàn)符號計算的工具包symbolic、math toolbox。 符號計算是matlab數(shù)值運算的擴展，在運算過程中以符號表達式或符號矩陣為運算對象，對象是一個字符，數(shù)字也被當作字符來處理。符號運算的功能o符號表達式、符號矩陣的創(chuàng)建o符號線性代數(shù)o因式分解、展開和簡化o符號代數(shù)方程求解o符號微積分o符號微分方程o 運算對象可以是沒賦值的符號變量 可以獲得任意精度的解osymbolic math toolbox符號運算工具包通過調(diào)用maple軟件實現(xiàn)符號計算的。omaple軟件主要功能是符號運算，它占據(jù)符

2、號軟件的主導地位。 符號運算的特點1.符號運算的基本操作1.什么是符號運算與數(shù)值運算的區(qū)別 數(shù)值運算中必須先對變量賦值數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。 符號運算無須事先對獨立變量賦符號運算無須事先對獨立變量賦值值，運算結果以標準的符號形式表達。2. 符號變量與符號表達式f = sin(x)+5xf 符號變量名sin(x)+5x 符號表達式 符號標識o符號表達式一定要用 單引號括起來matlab才能識別。o 的內(nèi)容可以是符號表達式，也可以是符號方程。例： f1=ax2+bx+c 二次三項式 f2= ax2+bx+c=0 方程 f3=dy+y2=1 微分方程符號表達式或符號方程可以賦

3、給符號變量，以后調(diào)用方便；也可以不賦給符號變量直接參與運算o用字符串直接創(chuàng)建矩陣o模仿matlab數(shù)值矩陣的創(chuàng)建方法o需保證同一列中各元素字符串有相同的長度。例：a = a,2*b; 3*a, 0 a = a, 2*b 3*a, 03.符號矩陣的創(chuàng)建o用函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣（symbolic) 命令格式：a=sym( ) 符號矩陣內(nèi)容同數(shù)值矩陣 需用sym指令定義 需用 標識例如：a = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) a = a, 2*b 3*a, 0 這就完成了一個符號矩陣的創(chuàng)建。注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方括號，這是與 matlab數(shù)值矩陣的一個重要區(qū)別。o符號矩陣的修

4、改 a.直接修改 可用、 鍵找到所要修改的矩陣，直接修改 b.指令修改o 用a1=subs(a, new, old)來修改例如：例如：a = a, 2*b 3*a, 0a(2,2)=4*ba = a, 2*b 3*a, 4*ba2=subs(a, c, b) a2 = a, 2*c 3*a, 4*c o符號矩陣與數(shù)值矩陣的轉(zhuǎn)換o將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣 函數(shù)調(diào)用格式：sym(a) a=1/3,2.5;1/0.7,2/5 a = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(a) ans = 1/3, 5/2 10/7, 2/5v將符號矩陣轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣 函數(shù)調(diào)用格式： num

5、eric(a) a = 1/3, 5/2 10/7, 2/5 numeric(a) ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.40001.符號矩陣運算 數(shù)值運算中，所有矩陣運算操作指令都比較直觀、簡單。例如：a=b+c; a=a*b ；a=2*a2+3*a-5等。 而符號運算就不同了，所有涉及符號運算的操作都有專用函數(shù)來進行。二、符號運算例1：f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+g h = 3*x2+4*x-12例2：f=cos(x);g= sin(2*x); syms x f=cos(x)

6、;g=sin(2*x); f/g+f*g ans = cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x) 2.因式的分解、展開、化簡ofactor函數(shù)的功能為：把多項式s分解為多個因式，各多項式的系數(shù)均為有理數(shù)。格式為： factor(s)oexpand函數(shù)的功能為：把多項式和初等函數(shù)的符號展開，也可以展開三角函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)函數(shù)。格式為：expand(s)osimple函數(shù)的功能為：搜索符號表達式的最簡形式。 格式為： simple(s)例3：syms a x;f1=x5*x3+5*x2+5*x-6;factor(f1) ans = (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)

7、 例4： syms x factor(x9-1) ans = (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)例5：syms x y; expand(cos(x+y) ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) 例6： f=sym(cos(x)2+sqrt(x2+2*x+1)+sin(x)2); f=simple(f); f=simple(f)2.符號極限olimit函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。(2) limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極

8、限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量，即變量x趨近于a。(3) limit(f)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。例7 求下列極限極限1： syms a m x; f=(x*(exp(s

9、in(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a極限2： syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t)odiff(f) 對缺省變量求微分odiff(f,v) 對指定變量v求微分odiff(f,v,n) 對指定變量v求n階微分oint(f) 對f表達式的缺省變量求不定積分oint(f,v) 對f表達式的v變量求不定積分oint(f,v,a,b) 對f表達式的v變量在（a,b) 區(qū)間求定積分3.符號微積分與積

10、分變換mtaylor(f,n) 泰勒級數(shù)展開ztrans(f) z變換invztrans(f) 反z變換laplace(f) 拉氏變換invlaplace(f) 反拉氏變換fourier(f) 付氏變換invfourier(f) 反付氏變換例9:求導數(shù)syms x %定義符號變量diff(sin(x2) %求導運算ans = 2*cos(x2)*xdxxd2sin 例10.計算二重不定積分 syms x y f=int(int(x*exp(-x*y),x),y) f = 1/y*exp(-x*y) 例11.求級數(shù)的和鍵入： 1/12+1/22+1/32+1/42 + syms k symsum

11、(1/k2,1,inf) %k值為1到無窮大ans = 1/6*pi2其結果為： 1/12+1/22+1/32+1/42 + =2/6 syms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x);df=diff(f)dfdt2=diff(f,t,2)dfdxdt=diff(diff(f,x),t) df = 0, 0 -t*sin(x), 1/xdfdt2 = 0, 6*t 0, 0dfdxdt = 0, 0 -sin(x), 0 例12.計算微分4.符號代數(shù)方程求解 matlab符號運算能夠解一般的線性方程、非線性方程及一般的代數(shù)方程、代數(shù)方程組。當方程組不存在符號解時，又無其他自

12、由參數(shù)，則給出數(shù)值解。命令格式：solve(f) 求一個方程的解solve(f1,f2, fn) 求n個方程的解 例13. f = ax2+bx+c 求解f=a*x2+b*x+c;o solve(f) 對缺省變量x求解ans =1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)計算機格式aacbb242一般格式例14. 解方程組 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1g1=x+y+z=1,g2=x-y+z=2,g3=2*x-y-z=1f=solve(g1,g2,g3)f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) disp(f.x), disp(f.y),disp(f.z) x = 2/3 y =-1/2 z =5/65. 符號微分方程求解 用一個函數(shù)可以方便地得到微 分方程的符號解符號微分方程求解指令：dsolve命令格式：dsolve(f,g)of 微分方程，可多至12個微分方程的求 解；g為初始條件o默認自變量為 x,可任意指定自變量t, u等o微分方程的各階