工程優(yōu)化設(shè)計(jì)與MATLAB實(shí)現(xiàn) 第二講2

1、2、matlab的符號(hào)運(yùn)算 matlab 不僅具有數(shù)值運(yùn)算功能，還開(kāi)發(fā)了在matlab環(huán)境下實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算的工具包symbolic、math toolbox。 符號(hào)計(jì)算是matlab數(shù)值運(yùn)算的擴(kuò)展，在運(yùn)算過(guò)程中以符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣為運(yùn)算對(duì)象，對(duì)象是一個(gè)字符，數(shù)字也被當(dāng)作字符來(lái)處理。符號(hào)運(yùn)算的功能o符號(hào)表達(dá)式、符號(hào)矩陣的創(chuàng)建o符號(hào)線(xiàn)性代數(shù)o因式分解、展開(kāi)和簡(jiǎn)化o符號(hào)代數(shù)方程求解o符號(hào)微積分o符號(hào)微分方程o 運(yùn)算對(duì)象可以是沒(méi)賦值的符號(hào)變量 可以獲得任意精度的解osymbolic math toolbox符號(hào)運(yùn)算工具包通過(guò)調(diào)用maple軟件實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算的。omaple軟件主要功能是符號(hào)運(yùn)算，它占據(jù)符

2、號(hào)軟件的主導(dǎo)地位。 符號(hào)運(yùn)算的特點(diǎn)1.符號(hào)運(yùn)算的基本操作1.什么是符號(hào)運(yùn)算與數(shù)值運(yùn)算的區(qū)別 數(shù)值運(yùn)算中必須先對(duì)變量賦值數(shù)值運(yùn)算中必須先對(duì)變量賦值，然后才能參與運(yùn)算。 符號(hào)運(yùn)算無(wú)須事先對(duì)獨(dú)立變量賦符號(hào)運(yùn)算無(wú)須事先對(duì)獨(dú)立變量賦值值，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形式表達(dá)。2. 符號(hào)變量與符號(hào)表達(dá)式f = sin(x)+5xf 符號(hào)變量名sin(x)+5x 符號(hào)表達(dá)式 符號(hào)標(biāo)識(shí)o符號(hào)表達(dá)式一定要用 單引號(hào)括起來(lái)matlab才能識(shí)別。o 的內(nèi)容可以是符號(hào)表達(dá)式，也可以是符號(hào)方程。例： f1=ax2+bx+c 二次三項(xiàng)式 f2= ax2+bx+c=0 方程 f3=dy+y2=1 微分方程符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)方程可以賦

3、給符號(hào)變量，以后調(diào)用方便；也可以不賦給符號(hào)變量直接參與運(yùn)算o用字符串直接創(chuàng)建矩陣o模仿matlab數(shù)值矩陣的創(chuàng)建方法o需保證同一列中各元素字符串有相同的長(zhǎng)度。例：a = a,2*b; 3*a, 0 a = a, 2*b 3*a, 03.符號(hào)矩陣的創(chuàng)建o用函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣（symbolic) 命令格式：a=sym( ) 符號(hào)矩陣內(nèi)容同數(shù)值矩陣 需用sym指令定義 需用 標(biāo)識(shí)例如：a = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) a = a, 2*b 3*a, 0 這就完成了一個(gè)符號(hào)矩陣的創(chuàng)建。注意：符號(hào)矩陣的每一行的兩端都有方括號(hào)，這是與 matlab數(shù)值矩陣的一個(gè)重要區(qū)別。o符號(hào)矩陣的修

4、改 a.直接修改 可用、 鍵找到所要修改的矩陣，直接修改 b.指令修改o 用a1=subs(a, new, old)來(lái)修改例如：例如：a = a, 2*b 3*a, 0a(2,2)=4*ba = a, 2*b 3*a, 4*ba2=subs(a, c, b) a2 = a, 2*c 3*a, 4*c o符號(hào)矩陣與數(shù)值矩陣的轉(zhuǎn)換o將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣 函數(shù)調(diào)用格式：sym(a) a=1/3,2.5;1/0.7,2/5 a = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(a) ans = 1/3, 5/2 10/7, 2/5v將符號(hào)矩陣轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣 函數(shù)調(diào)用格式： num

5、eric(a) a = 1/3, 5/2 10/7, 2/5 numeric(a) ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.40001.符號(hào)矩陣運(yùn)算 數(shù)值運(yùn)算中，所有矩陣運(yùn)算操作指令都比較直觀、簡(jiǎn)單。例如：a=b+c; a=a*b ；a=2*a2+3*a-5等。 而符號(hào)運(yùn)算就不同了，所有涉及符號(hào)運(yùn)算的操作都有專(zhuān)用函數(shù)來(lái)進(jìn)行。二、符號(hào)運(yùn)算例1：f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+g h = 3*x2+4*x-12例2：f=cos(x);g= sin(2*x); syms x f=cos(x)

6、;g=sin(2*x); f/g+f*g ans = cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x) 2.因式的分解、展開(kāi)、化簡(jiǎn)ofactor函數(shù)的功能為：把多項(xiàng)式s分解為多個(gè)因式，各多項(xiàng)式的系數(shù)均為有理數(shù)。格式為： factor(s)oexpand函數(shù)的功能為：把多項(xiàng)式和初等函數(shù)的符號(hào)展開(kāi)，也可以展開(kāi)三角函數(shù)，指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。格式為：expand(s)osimple函數(shù)的功能為：搜索符號(hào)表達(dá)式的最簡(jiǎn)形式。 格式為： simple(s)例3：syms a x;f1=x5*x3+5*x2+5*x-6;factor(f1) ans = (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)

7、 例4： syms x factor(x9-1) ans = (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)例5：syms x y; expand(cos(x+y) ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) 例6： f=sym(cos(x)2+sqrt(x2+2*x+1)+sin(x)2); f=simple(f); f=simple(f)2.符號(hào)極限olimit函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時(shí)，f(x)函數(shù)的極限值。(2) limit(f,a)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極

8、限值。由于沒(méi)有指定符號(hào)函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時(shí)，符號(hào)函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)自變量，即變量x趨近于a。(3) limit(f)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極限值。符號(hào)函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)變量；沒(méi)有指定變量的目標(biāo)值時(shí)，系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0，即a=0的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號(hào)函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號(hào)函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。例7 求下列極限極限1： syms a m x; f=(x*(exp(s

9、in(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a極限2： syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t)odiff(f) 對(duì)缺省變量求微分odiff(f,v) 對(duì)指定變量v求微分odiff(f,v,n) 對(duì)指定變量v求n階微分oint(f) 對(duì)f表達(dá)式的缺省變量求不定積分oint(f,v) 對(duì)f表達(dá)式的v變量求不定積分oint(f,v,a,b) 對(duì)f表達(dá)式的v變量在（a,b) 區(qū)間求定積分3.符號(hào)微積分與積

10、分變換mtaylor(f,n) 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)ztrans(f) z變換invztrans(f) 反z變換laplace(f) 拉氏變換invlaplace(f) 反拉氏變換fourier(f) 付氏變換invfourier(f) 反付氏變換例9:求導(dǎo)數(shù)syms x %定義符號(hào)變量diff(sin(x2) %求導(dǎo)運(yùn)算ans = 2*cos(x2)*xdxxd2sin 例10.計(jì)算二重不定積分 syms x y f=int(int(x*exp(-x*y),x),y) f = 1/y*exp(-x*y) 例11.求級(jí)數(shù)的和鍵入： 1/12+1/22+1/32+1/42 + syms k symsum

11、(1/k2,1,inf) %k值為1到無(wú)窮大ans = 1/6*pi2其結(jié)果為： 1/12+1/22+1/32+1/42 + =2/6 syms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x);df=diff(f)dfdt2=diff(f,t,2)dfdxdt=diff(diff(f,x),t) df = 0, 0 -t*sin(x), 1/xdfdt2 = 0, 6*t 0, 0dfdxdt = 0, 0 -sin(x), 0 例12.計(jì)算微分4.符號(hào)代數(shù)方程求解 matlab符號(hào)運(yùn)算能夠解一般的線(xiàn)性方程、非線(xiàn)性方程及一般的代數(shù)方程、代數(shù)方程組。當(dāng)方程組不存在符號(hào)解時(shí)，又無(wú)其他自

12、由參數(shù)，則給出數(shù)值解。命令格式：solve(f) 求一個(gè)方程的解solve(f1,f2, fn) 求n個(gè)方程的解 例13. f = ax2+bx+c 求解f=a*x2+b*x+c;o solve(f) 對(duì)缺省變量x求解ans =1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)計(jì)算機(jī)格式aacbb242一般格式例14. 解方程組 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1g1=x+y+z=1,g2=x-y+z=2,g3=2*x-y-z=1f=solve(g1,g2,g3)f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) disp(f.x), disp(f.y),disp(f.z) x = 2/3 y =-1/2 z =5/65. 符號(hào)微分方程求解 用一個(gè)函數(shù)可以方便地得到微 分方程的符號(hào)解符號(hào)微分方程求解指令：dsolve命令格式：dsolve(f,g)of 微分方程，可多至12個(gè)微分方程的求 解；g為初始條件o默認(rèn)自變量為 x,可任意指定自變量t, u等o微分方程的各階