立體幾何習(xí)題

1、試卷第 1 頁，總 5 頁立體幾何習(xí)題立體幾何習(xí)題1如圖所示，邊長為 2 的正方形所在的平面與所在的平面交于，且平面ABCDCDECDAE ,1CDE AE （1）求證：平面平面；ABCD ADE（2）設(shè)點是棱上一點，當(dāng)點滿足時，求二面角的余弦值FBCF2CFFB ADEF2如圖，平面平面，其中為矩形，為直角三角形，ABCD ABEABCDABE90AEB.222ABADAE（1）求證：平面平面；ACE BCE（2）求直線與平面所成角的正弦值.CDACE3如圖，已知長方形ABCD中，2 2AB ，2AD ，M 為 DC 的中點.將ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM.（1）求證：ADB

2、M；（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角EAMD的余弦值為55.試卷第 2 頁，總 5 頁4如圖，在四棱錐PABCD中， PA平面ABCD，DAB為直角，/ABCD，22ADCDAB，,E F分別為,PC CD的中點（）證明：AB 平面BEF；（）若2 55PA ，求二面角EBDC.5如圖，是邊長為 3 的正方形，且.ABCD,/ /DEABCD AFDE 平面6,2DEAF（1）試在線段上確定一點的位置，使得；BDM/ /AMBEF平面（2）求二面角的余弦值A(chǔ)BEC6如圖，在底面為正方形的四棱錐 PABCD 中，側(cè)棱 PD底面 ABCD，PDDC，點 E 是線段 PC

3、的中點（1）求異面直線 AP 與 BE 所成角的大??；（2）若點 F 在線段 PB 上，使得二面角 FDEB 的正弦值為，求的值33PFPB試卷第 3 頁，總 5 頁7如圖，在四棱錐 SABCD 中，底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，E 是 SA 的中SD 2SDADAB點SABCDE（1）求證：平面 BED平面 SAB；（2）求直線 SA 與平面 BED 所成角的大小8四棱錐底面是菱形，平面，、分別是、的中PABCDPAABCD60ABCEFBCPC點.（）求證：平面平面；AEFPAD（）若，設(shè)為的四等分點（靠近點） ，求與平面所成角的正弦值.3PAABHPDDEHAEF9如圖，已知四

4、棱錐，底面是菱形，底面，PABCDABCDPA ABCD60ABC，、分別為、的中點。2PAABEFBCPC（）求證；AEPD（）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余HPDEHPAD62EAFC弦值。10在如圖所示的多面體中，EF平面 AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，試卷第 4 頁，總 5 頁AEBE2，G 是 BC 的中點（）求證：BDEG：（）求平面 DEG 與平面 DEF 所成銳二面角的余弦值11如圖，在四棱柱 ABCD-PGFE 中，底面 ABCD 是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面，AB/DC，ABC45o，DC1，AB2，PA1（1）求 PD

5、與 BC 所成角的大小；（2）求證：BC平面 PAC；（3）求二面角 A-PC-D 的大小12如圖 1，在Rt ABC中，90ABC，D、E 分別為線段 AB 、AC 的中點，4,2 2ABBC以DE為折痕，將Rt ADE折起到圖 2 的位置，使平面A DE平面DBCE，連接,A C A B，設(shè) F 是線段A C上的動點，滿足CFCA （）證明：平面FBEA DC平面；（）若二面角FBEC的大小為45，求的值試卷第 5 頁，總 5 頁13如圖，已知圓柱的高為，是圓柱的三條母線，是底面圓的直徑，4111,AA BB CCABO3,5ACAB（1）求證：/平面；1AC1COB（2）求二面角的正切值

6、1ABCC14如圖，正三棱錐111ABCABC的所有棱長都為 2，1.CDCCR （1）當(dāng)12時，求證：1AB 平面1ABD；（2）當(dāng)二面角1AADB的大小為3時，求實數(shù)的值15 （本小題滿分 12 分）正的邊長為 4，是邊上的高，、分別是和邊的中ABCCDABEFACBC點，現(xiàn)將沿翻折成直二面角ABCCDADCB（）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；ABDEF（）求二面角的余弦值；EDFC（）在線段上是否存在一點，使？證明你的結(jié)論BCPAPDE本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 1 頁，總 12 頁參考答案參考答案1 （1）證明見解析；（2）1010試題解析：（

7、1）平面， AE CDEAECD又，面 又面，,ADCD AEADACD ADECD ABCD平面平面，ABCD ADE（2）， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，在中，CDDEDxyzRt ADE1,2AEAD，則，3DE 0,0,0 ,0,2,0 ,E3,0,0 ,3,0,1DCA0,2,0ABDC ，則3,2,1B22 32,0,333CFCB 2 32,0,33F設(shè)平面的法向量為，則，即，取FDE, ,nx y z00n DFn DE2 320330 xyx20, 23n又平面的法向量為，ADE0,1,0m 10cos,10m nm nm n即二面角的余弦值為ADEF10102 （1）證明見解

8、析；（2）.34試題解析：（1）平面平面，平面平面, ，平面ABCD ABEABCDABEABBCABBC ABCD平面，又平面， 又，BC ABEAE ABEBCAEAEBEBCBEB平面 而平面， 平面平面.AE BCEAE ACEACE BCE（2）解法一: 與平面所成角的大小等于與平面所成角的大小/ /ABCDCDACEABACE過作于，連接BBFCEFAF平面平面，平面平面，平面ACE BCEACE BCECEBF BCE本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 2 頁，總 12 頁平面 即為與平面所成的角BF ACEBAFABACE由，得， 1,3BCBE2CE

9、32BF 3sin4BFBAFAB直線與平面所成角的正弦值為.CDACE34解法二：以為原點，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，E,EB EAxyExyz則 于是，(0,0,0), (0,1,0),( 3,0,1),(0,1,1)EACD(0,1,0)EA ( 3,0,1)EC (3,1,0)CD 設(shè)為平面的法向量, 由得 取( , , )nx y zACE00n EAn EC 030yxz(1,0, 3)n 設(shè)與的夾角為 所以CD n3cos4| |CD nCDn 所以與平面所成的角的正弦值為. BEDAB343 （1）詳見解析；（2）E 為 DB 中點。（1）證明：長方形 ABCD

10、中，AB=22，AD=2，M 為 DC 的中點，AM=BM=2，BMAM. 平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，BM平面 ABCM BM平面 ADM AD平面 ADM ADBM. （2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè)DEDB ，則平面 AMD 的一個法向量(0,1,0)n ，(1,2 ,1),MEMDDB ( 2,0,0)AM ，設(shè)平面 AME 的一個法向量( , , ),mx y z 則202(1)0 xyz 取 y=1，得20,1,1xyz本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 3 頁，總 12 頁所以2(0,1,)1m， 因為5cos,5| |m

11、 nm nmn ，求得12，所以 E 為 BD 的中點. 4 （）詳見解析（）4試題解析：（）證：由已知 DFAB 且DAB 為直角，故 ABFD 是矩形，從而 ABBF 又 PA底面 ABCD, 平面 PAD平面 ABCD， ABAD，故 AB平面 PAD,ABPD， 在 PCD 內(nèi)，E、F 分別是 PC、CD 的中點，EF/PD， ABEF 由此得AB平面BEF （）以 A 為原點，以 AB，AD，AP 為 x 軸,y 軸,z 軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則5( 1,2,0),(0,1,)5BDBE 設(shè)平面CDB的法向量為) 1 , 0 , 0(1n，平面EDB的法向量為),(2zyxn ，

12、則 0022BEnBDn 20505xyzy 可取22,1,5n 設(shè)二面角 EBDC 的大小為，則zyxFEPDCBA|,cos|cos212121nnnnnn=522110，所以，4 5 （1）為的一個三等分點（靠近點） ；（2）D15試題解析：（1）取的三等分點（靠近點） ，則有，過作交于BEKB123kMDEKKMBDBD，由平面，可知平面，MDE ABCD/ /AFDEAF ABCDAFBD，且，/ /FAKMFAKM所以四邊形為平行四邊形，可知，F(xiàn)AMK/ / /AMFKAMBEF平面，為的一個三等分點（靠近點） ；13MKBMEDBDMBDB（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系：本卷由系統(tǒng)

13、自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 4 頁，總 12 頁則，3,0,0 ,3,3,0 ,0,0,6 ,0,3,0ABEC3,3, 6 ,0,3,0 ,3,3,0EBABBC 設(shè)平面的法向量為，由，可得AEB111,nx y z1111336030 xyzy2,0,1n 平面的法向量為，由可得，BCE222,mxyz2221336030 xyzy0,2,1m 因為二面角為鈍二面角，可得，ABEC22200211cos52121 所以二面角的余弦值為ABEC156 （1）；（2）612試題解析：（1）在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為正方形，側(cè)棱 PD底面 ABCD，所以

14、DA、DC、DP 兩兩垂直，故以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz,DA DC DP 因為 PDDC，所以 DADCDP，不妨設(shè) DADCDP2，則 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ，B（2，2，0） 因為 E 是 PC 的中點，所以 E（0，1，1） 所以（2，0，2） ，（2，1，1） ，AP BE 所以 cos，從而AP BE 32AP BEAP BE= AP BE 6因此異面直線 AP 與 BE 所成角的大小為6本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 5 頁，總 12 頁（2）由（1）可知，（0，1，1） ，（2，

15、2，0） ，（2，2，2） DE DB PB 設(shè)，則（2，2，2） ，從而（2，2，22） PEPB PF DF DP PF 設(shè) m（x1，y1，z1）為平面 DEF 的一個法向量，則即00m DFm DE= = 11111100()xyzyz+-=+= 取 z1，則 y1，x121所以 m（21，）為平面 DEF 的一個法向量設(shè) n（x2，y2，z2）為平面 DEB 的一個法向量，則即00n DBn DE= = 11222200 xyyz+=+= 取 x21，則 y21，z21所以 n（1，1，1）為平面 BDE 的一個法向量因為二面角 FDEB 的正弦值為，所以二面角 FDEB 的余弦的絕

16、對值為，3363即|cos|，所以，6363m nm n=2241633212()-=-+化簡得，421，因為點 F 在線段 PB 上，所以 01，所以 ，即1212PFPB=7 （1）見解析；（2）45解：（1）SD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD，ABAD，AB平面 SAD，DEABSDAD，E 是 SA 的中點，DESA，ABSAA，DE平面 SAB平面 BED平面 SAB （若用向量法請參照給分）（2）法一：作 AFBE，垂足為 F由（） ，平面 BED平面 SAB，則 AF平面 BED，則AEF 是直線 SA 與平面 BED 所成的角, 設(shè) AD2A，則 ABA，SA2A，

17、AEA，ABE 是等腰直角三角形，則 AFA在 RtAFE 中，sinAEF，AFAE故直線 SA 與平面 BED 所成角的大小 45（2）法二：分別以 DA,DC,DS 為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系 Dxyz，不妨設(shè) AD2，則D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2，0） ，C（0，0） ，S（0，0，2） ，E（1，0，1） （2，0） ，（1，0，1） ，（2，0，0） ，（0，2） DBuuu rDEuuu rCBuurCSuu r設(shè) m（x1，y1，z1）是面 BED 的一個法向量，則本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 6 頁，總 12 頁，因此可取 m（1，1

18、） (2,02),SASA又，設(shè)直線與平面BED 所成的角為，則222.2442 2 2SA si n, 即直線與平面BED 所成的角為8 （1）證明見解析；（2）5 2652試題解析：（） 60ABCDABC底面底面是菱形， 30 ABCEBCAEBCBAE是正三角形又為中點， 1203090 EADBADBAEAEAD 故，即PAABCDPAAE平面，ADPAAAEPAD又、相交于，平面AEAEFAEFPAD而在平面內(nèi)，平面平面（）由（1）知，AE平面 PAD 設(shè) AB = 2a，則，3AEa2 3PAa以 為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 P（0，0，） ，E（，0，0）

19、 ，C（AEADAP、2 3a3a，a，0） ，F(xiàn)（，）,H（3a32a12a3a33(0,)22aa，設(shè)平面 AEF 的一個法向量為 n = （x，y，z） ，則00AEAFnn即() ( 30 0)003132 30() (3 )022xyzaxxyzxyzaaa，可取又，設(shè)與平面所成角為，( 031)n ，-2， 33(3 ,)22aaEHa EHAEF則 所求角的正弦值為5 26sin| cos,|52n EH 5 26529 （）證明見解析；（）.155試題解析：（）證明：底面，底面， PA ABCDAE ABCDAEPA四邊形是菱形，且，為等邊三角形，又是中點，ABCD60ABCA

20、BCEBC本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 7 頁，總 12 頁則，由，得.又,AEBCBCADAEADPAAEA平面，又平面，.AE PADPD PADAEPD（）由（）可知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，AEADAPA以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.AEADAPxyz，0,0,0A3,0,0E3,1,0C3 1,122F， 3,0,0AE 3,1,0AC 3 1,122AF 設(shè)平面的法向量為，則即.EAF1111,nx y z110,0,AE nAF n 111130,310,22xxyz令，可得 11z 10, 2,1n 設(shè)平面的法向量為，則即ACF222

21、2,nxyz 220,0,AE nAF n 2222230,310,22xyxyz令，可得 23x 23, 3,0n 設(shè)二面角的平面角為，則EAFC1212615cos55 2 3nnnn 又由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為 EAFC15510 （1）見解析；（2）33試題解析： （1）證明：平面，平面，平面,EF AEBAE AEBBE AEBEFAE 又,兩兩垂直以點為坐標(biāo)原點，,分別為EFBEAEBEBEEFAEEEBEFEA軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由已知得，, ,x y z(0,0,2)A(2,0,0)B(2,4,0)C(0,3,0)F本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答

22、案僅供參考。答案第 8 頁，總 12 頁,(0,2,2)D(2,2,0)G, (2,2,0)EG ( 2,2,2)BD 22220BD EG BDEG（2）解：由已知得是平面的法向量(2,0,0)EB DEF設(shè)平面的法向量為,DEG( , , )nx y z(0,2,2)ED (2,2,0)EG ，即，令,得00EG nED n 00yzxy1x (1, 1,1)n 設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為DEGDEF則平面與平面所成銳二面角的余弦值為 23coscos,32 3n EBn EBn EB DEGDEF3311 （1） 60o（2）詳見解析（3） 60o試題解析：（1）取的 AB 中點

23、H，連接 DH，易證 BH/CD，且 BD=CD 所以四邊形 BHDC 為平行四邊形，所以 BC/DH所以PDH 為 PD 與 BC 所成角因為四邊形，ABCD 為直角梯形，且ABC=45o， 所以DAAB又因為 AB=2DC=2，所以 AD=1， 因為 RtPAD、RtDAH、RtPAH 都為等腰直角三角形所以 PD=DH=PH=，故PDH=60o 2（2）連接 CH，則四邊形 ADCH 為矩形， AH=DC 又 AB=2，BH=1在 RtBHC 中，ABC=45o ， CH=BH=1，CB= AD=CH=1，AC=22AC2+BC2=AB2 BCAC6 分 又 PA 平面 ABCDPABC

24、 7 分PAAC=ABC平面 PAC （3）如圖，分別以 AD、AB、AP 為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題設(shè)可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，=(0，0，1)，=(1，1，-1) AP PC 設(shè) m=(a，b，c)為平面 PAC 的一個法向量， 則，即00m APm PC 00cabc設(shè)，則，m=(1，-1，0) 1a 1b 本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 9 頁，總 12 頁同理設(shè) n=(x，y，z) 為平面 PCD 的一個法向量，求得 n=(1，1，1) 所以二面角 A-PC-D 為 60o 1

25、1 1 00 11cos m,n222m nmn 考點：二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定12 （1）證明見解析；（2）331【解析】試題分析：（1）先利用線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直，再利用直角三角形得到線線垂直，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進行證明；（2）利用垂直關(guān)系建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求二面角的余弦值，得到關(guān)于的方程進行求解試題解析：（）平面A DE平面DBCE,A DDEA D平面DBCE A DBE,D E分別為中點112,222DEBCBDAB 在直角三角形DEB中，2tan2,tan2BDBDBEDCDEDECB90

26、BEDCDE得BEDC1tanBED tanCDE0BEA DC 平面，又,BEFEB 平面FEBA DC平面平面（）作,FGDCGFGDBCE垂足為則平面設(shè) BE 交 DC 于 O 點，連 OF，由（）知，F(xiàn)OG為二面角 FBEC 的平面角由/ /,FGCFFGA DA DCA2FGA D= 13 1CGCDDGCD= 2同理，得，（）（）2 33BD DEDOBE，2 33 13OGDGDO2（）在2Rttan12 33 13FGOGFFOGOG2中，由（）, 得，313 方法 2：BEA DC平面，設(shè) BE 交 DC 于 O 點，連 OF，則FOC為二面角 FBEC 的平面角本卷由系統(tǒng)自

27、動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 10 頁，總 12 頁又2,2 2DBCB 2 3CD 由:1:2DO OC 得4 33OC 在直角三角形A DC中30 ,4A CDA C，45FOC105OFC由sin105sin75OCCF得4 343CF 從而得，313CFCA 方法 3：以 D 為坐標(biāo)原點 DB，DE，DA分別為 OX，OY，OZ 軸建立空間直角坐標(biāo)系，各點坐標(biāo)分別為D（0，0，0） ，A（0，0，2） ，B（2，0，0） ，C（2，2 2，0） ，E（0，2，0） （）( 2,2,0),(2,2 2,0),(0,0,2)BEDCDA 440,BE DC ,BEDC0,

28、BE DA BEDA 又DCDAD ，BE 平面A DC ,又BE 平面FBE所以平面FBE 平面A DC （）設(shè)( 2,2 2,2)(22 ,2 22 2 ,2 )CFCACFF 設(shè)平面 BEF 的法向量為( , , )nx y z ( 2,2,0),( 2 ,2 22 2 ,2 )BEBF 2202(2 22 2 )20 xyxyz ，取( ,2 ,32)n 又平面 BEC 的法向量為(0,0,1)n 22|32|2cos4523(32)得23620解得313 ，又01313 13 （1）證明見解析；（2）423試題解析：由是直徑，可知,故由ABoACBC3,5ACAB可得：,以點為坐標(biāo)原

29、點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）4BC CCXYZ則1133,0,0 ,0,4,0 ,0,0,4 ,2,0 ,0,4,42ABCOB（1）由 可得平面的一個法向量13,2,020,4,4COCB 1COB4, 3,3n 又 13,0,4AC 1340( 3)430ACn 1ACn 本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第 11 頁，總 12 頁又平面 平面1AC 1COB1/ /AC1COB（2）由 可得平面的一個法向量， 10, 4,43, 4,0BCBA 1ABC14,3,3n 由 可得平面的一個法向量 10, 4,40, 4,0BCBC 1BCC21,0,0n 設(shè)二面角為，則1ABCC1212124coscos,34nnn nn n 23 2sin1cos34sin3 2tancos4所以二面角的正切值為1AB