螞蟻行程模型

1、螞蟻行程模型模型立體圖形展開的最短路徑CDH沿皿加禹展丿FA模型分析 上圖為無底的圓柱體側(cè)面展開圖，如果螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱體表面爬行一周，到點(diǎn)B的最短路徑就是展開圖中AB 的長(zhǎng)，AB'-.AA AB2，做此類題目的關(guān)鍵 就是，正確展開立體圖形，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“兩邊之和大于第三邊” 準(zhǔn)確找出最短路徑。模型實(shí)例例1有一圓柱形油罐，如圖所示，要以A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點(diǎn)的正上方B點(diǎn)，已知油罐的底面周長(zhǎng)為12m高解答：假設(shè)將圓柱體的側(cè)面沿 AB剪開，鋪平得到如圖所示的長(zhǎng)方形 ABDC 貝U AB=DC=5，AC=BD=12m/ BACK C=Z CDBM B= 90 °

2、;因此沿AD建梯子，梯子最短在厶 ACD中，由勾股定理得 AD=AC+CD=122+52=132，解得AD=13m答：建梯子最短需要13米。B例2:如圖，已知圓錐的母線長(zhǎng) 0A=8底面圓的半徑r=2 若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到了 A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路線的長(zhǎng).(結(jié) 果保留根式)解答：小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)是圓錐的展開圖的扇形的弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，v l=2 n r= n r 扇形的圓心角=2 r 360 -901802 兀 OA由勾股定理求得它的弦長(zhǎng)是：.82 82 =82故答案為：8.2。例3:已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：30cm、20cm 10cm,一只螞蟻從A處出發(fā)

3、到B處覓食,求它所走的最短路徑.(結(jié)果保留根號(hào))口、，一十宀 /口I :怕(2) 展開前面上面由勾股定理得；(3) 展開左面上面由勾股定理得. 30V2 < 沏苗 < 10?26 |最短路程長(zhǎng)為30邁歸1、有一圓柱體如圖,高4cm,底面半徑5cm,A處有一螞蟻,若螞蟻欲爬行到C處,AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離.C,D分別是BE,AF的中點(diǎn).AF =H阮.4D 5kI因此，本題正確答案是：16cm.BCE1al"*¥JFA2、如圖，圓柱體的高為8cm,底面周長(zhǎng)為4cm,小螞蟻在圓柱表面爬行，從A點(diǎn)到B 點(diǎn),路線如圖，則最短路程為。解答:沿過A點(diǎn)和過B點(diǎn)的母線剪開

4、，展成平面,連接AB則AB的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱 表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程,AC=-xl = G2ZC= 90= 8由勾股定理得：2 ，因此，本題正確答案是：10.3、如圖，桌上有個(gè)圓柱形玻璃杯，高為12 cm ，底面周長(zhǎng)18 cm ，在杯內(nèi)壁離杯口3 cm 的 A處有一滴蜂蜜，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜂蜜相對(duì)方向離桌面3 cm 的 B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜂蜜問小蟲怎樣爬去吃蜂蜜最近？它至少爬多少路才能到達(dá)蜂蜜所在的位置解答：按如圖所示的方向B - C - A（其中 MNPQ為圓柱的側(cè)面展開圖， A與A '關(guān)于 MQ對(duì)稱）， 小蟲爬的路程為BC + CA =BA '

5、= 15cm .4、已知0為圓錐頂點(diǎn)，OA 0B為圓錐的母線，C為0B中點(diǎn)，一只小螞蟻從點(diǎn)C 開始沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn) A,另一個(gè)小螞蟻也從C點(diǎn)出發(fā)，繞著圓錐側(cè)面爬行到 點(diǎn)B,它們所爬行的最短路線的痕跡如圖所示若沿0A剪開，貝U得到圓錐側(cè)面展開圖為（）答案此題答案為：C.解：根據(jù)題意可知，兩只螞蟻一只從 C到A, 只從C到B,選項(xiàng)B中第二只螞 蟻的終點(diǎn)不是點(diǎn)B,故排除B選項(xiàng)；第一只螞蟻沿圓錐的前面從 C到A，故路線AC是在展開圖的左側(cè)的線段，排除D 選項(xiàng)；第二只螞蟻經(jīng)過0A從C到B,所以展開圖對(duì)稱軸 0B的兩面都有路線，故排除 A 選項(xiàng).故選C.5、如圖,一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出

6、發(fā),經(jīng)過3個(gè)面爬到點(diǎn)B, 如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則最短距離為。解答：將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上 ，展開圖如 圖所示，此時(shí)AB最短,AB =6上+滬=2帀J因此，本題正確答案是：汽.AQ = 26如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方體木箱，點(diǎn)Q在上底面的棱上， ',一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿木箱表面爬行到點(diǎn) Q,求螞蟻爬行的最短路程.解答：如圖所示,二R?=丿鹽+昭=血+護(hù)=10答:螞蟻爬行的最短路程是10.7、如圖,是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于 5cm,3cm和1cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā),沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn),最短線路是多少？解答:將臺(tái)階展開，如下圖,+時(shí)（7 = 3x3 1x3 = 12 BC1