《信號與系統(tǒng)》講義教案-第5章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 1第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 5.0 引言 通過前兩章的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)看到，在信號與系統(tǒng)的研究中，傅里葉變換是一個強有力的分析工具，很大程度上是因為相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。傅里葉變換的理論基礎(chǔ)是將信號分解為正弦指數(shù)信號，即和,基于這一原理，j tenje也可以將一個信號分解為復(fù)指數(shù)信號和，從而得到拉普拉斯變換和 Z 變換。將傅里stenz葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。通過本章及下一章，會看到拉氏變換和 Z 變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重

2、要性質(zhì)，不僅能適用于用傅里葉變換的方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，而且還能解決傅里葉分析方法不適用的許多方面,這主要表現(xiàn)在系統(tǒng)函數(shù)及其零極點的應(yīng)用方面。本章將介紹拉氏變換的基本內(nèi)容，從下面的分析可以看出，拉氏變換分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它的特例。5.1 雙邊拉普拉斯變換5.1.1 雙邊拉普拉斯變換的定義復(fù)指數(shù)信號是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果 LTI 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 h(t)，ste則系統(tǒng)對產(chǎn)生的響應(yīng)是： ste2 信號與系統(tǒng)其中 當(dāng)時，就是傅里葉變換。js 下面給出拉普拉斯變換的定義： (5.1)稱為的雙邊拉氏變換 ，其中。)(txsj若，則就是的傅里葉變換。

3、js , 0dtetxjXtj)()()(tx表明：連續(xù)時間傅里葉變換是拉氏變換在或是在軸上的特例。 0j由于( )( )tj tX sx t eedt (5.2)所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要)(txtetx)(有合適的存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入后滿足該條件。te即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這說明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。5.1.2 雙邊拉普拉斯變換的收斂域 我們首先來看幾個常用信號的例子。例 5.1 分析右邊信號的拉普拉斯變換。 ( )( )atx teu t由拉普拉斯變換的定義 ，有第 5 章 連

4、續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 3 (5.3)當(dāng)時上式收斂，當(dāng)時，的傅里葉變換存在： Re sa 0a)(tx (5.4)顯然，在時，使拉氏變換收斂的區(qū)域（如圖所示） ，包括了即（0aRe sa 0軸） 。j比較和，顯然有：)(sX)(jX (5.5) 當(dāng)時， 可知：0a( )( )( )atx teu tu t， (5.6) 圖 5.1 收斂域（例 5.1） 圖 5.2 收斂域（例 5.2）例 5.2 分析右邊信號 的拉普拉斯變換。( )()atx teut 由拉普拉斯變換的定義 ，有 4 信號與系統(tǒng) ， (5.7)將例 5.1 與例 5.2 進(jìn)行比較，其拉氏變換的表達(dá)式完全相同，但收斂域不同

5、，所以對應(yīng)的原始信號也不同?？梢钥闯霎?dāng)拉氏變換表達(dá)式完全相同時并不能唯一地確定原始信號，必須結(jié)合收斂域才能唯一確定一個原始信號。由以上例子，總結(jié)如下：1、拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。 2、使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù) S 的集合，稱為拉氏變換的收斂域 ROC（Region of Convergence） ，常用 S 平面的陰影部分表示。拉氏變換的 ROC 是非常重要的概念。 3、不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。4、只有拉氏變換表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的

6、關(guān)系。5、如果拉氏變換的 ROC 包含軸，則有 j。 (5.8)5.1.3 拉氏變換的幾何表示：零極點圖 若是有理函數(shù)：)(sX (5.9)我們把分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。將的全部零點（用)(sX“”標(biāo)示）和極點（用“” 標(biāo)示）表示在 S 平面上，就構(gòu)成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個，最多與真實的相差一個因子 M。因此， 用)(sX)(sX在 S 平面的零點和極點來表示，它結(jié)合收斂域給出了拉氏變換的完整描述。)(sX)(sX第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 5例 5.3 分析 的拉氏變換及收斂域。 2( )( )( )ttx te u teu t其拉

7、氏變換為圖 5.3 對應(yīng)的收斂域 圖 5.4 對應(yīng)的收斂域( )te u t2( )teu t可見:拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。例 5.4求信號的拉氏變換及收斂域。 241( )( )( )( )33ttx tte u te u t解： 零點： 極點：1s2, 1ss6 信號與系統(tǒng) 圖 5.5 例 5.4 的收斂域5.1.4 收斂域的特征通過上面的分析可以歸納出 ROC 的以下性質(zhì)：1、ROC 是 S 平面上平行于軸的帶狀區(qū)域。j2、在 ROC 內(nèi)無任何極點。3、時限信號的 ROC 是整個 S 平面。4、右邊信號的 ROC 是 S 平面內(nèi)某一條平行于軸的直線的右邊。j5、左邊信號的

8、 ROC 是 S 平面內(nèi)的一條平行于 軸的直線的左邊。j6、雙邊信號的 ROC 如果存在，一定是 S 平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。j例 5.5 分析的拉氏變換。 其它00)(Ttetxat解： 有極點?？疾榱泓c，令，得： 顯然在)(sXas1)(TasekTjas2也有一階零點，零極點相抵消，致使整個 S 平面上無極點。所以收斂域為整個 Sas第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 7平面。 例 5.6 分析雙邊信號的拉氏變換及收斂域。 tbetx)(解： 當(dāng)時，上述 ROC 有公共部分：0b，。收斂域如圖所示。當(dāng)時，上述 ROC 無公共部分，表明不存在。0b)(sX圖 5.6 例 5.6

9、收斂域當(dāng)是有理函數(shù)時，其 ROC 總是由的極點分割的。)(sX)(sX ROC 必然滿足下列規(guī)律：1、右邊信號的 ROC 一定是最右邊極點的右邊。)(sX2、左邊信號的 ROC 一定是最左邊極點的左邊。)(sX3、雙邊信號的 ROC 可以是任意兩相鄰極點之間的帶狀區(qū)域。8 信號與系統(tǒng) 下面通過一個例題來看一下收斂域的分布情況。例 5.7 分析對應(yīng)信號的特征。2111231)(2sssssX可以形成三種 ROC : (1) ROC ：，此時是右邊信號。 1Res)(tx (2) ROC ：，此時是左邊信號2Res)(tx(3) ROC ：，此時 是雙邊信號。1Re2s)(tx5.2 雙邊拉普拉斯

10、變換的性質(zhì)拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于 ROC 的討論。1、線性：若 ，；，則， ROC 至少是：。 )()()()(2121sbXsaXtbxtax21RR(5.10)當(dāng)與無交集時，表明不存在。1R2R)(sX例 5.8 ， )()()(1tettxt)()(2tetxt，；， 第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 9 而 ,ROC 為整個 S 平面 1)()()(21ttxtx2、時移性質(zhì)若 ， 則 ， ROC 不變。 (5.11)00()( )stx ttX s e3、S 域平移若 ， 則 ，。 (5.12)表明：的 ROC 是將的 ROC 平移了一個。)

11、(0ssX)(sXRe0s例 5.9 已知,，)()(tetxt11)(ssX1則 ,顯然： 圖 5.7 和對應(yīng)的收斂域( )( )tx te u ttetx2)(4、時域尺度變換若 ， 10 信號與系統(tǒng)則 (5.13)1()( ),:|sx atXROC aRaa 當(dāng)時，收斂； R)(sX當(dāng)，收斂，所以。RasRe)(asXaRs Re例 5.10 已知 ， (5.14)1( )( )( )1tx te u tX ss1則 的拉普拉斯變換為/2( )( )2ttxeu t (5.15)121( ),:12122X sROCss 即，若信號在時域尺度變換，拉氏變換的 ROC 在 S 平面上作相

12、反的尺度變換。 特例： ，。 (5.16)5、共軛對稱若 ， 則 ， (5.17)當(dāng)為實信號時，； 如果是實信號且在有極點(或)(tx)()(sXsX)(tx)(sX0s零點)，則一定在也有極點（或零點） 。表明實信號的拉氏變換其復(fù)數(shù)零極點必共)(sX0s軛成對出現(xiàn)。6、卷積性質(zhì)若 ，；第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 11，則 ，包括 (5.18)1212( )( )( )( )x tx tX s Xs:ROC21RR例 5.11 ；11( ),11X ss ；21( ),2(2)(3)sXsss 則收斂域的交集為 121RR 故 ，)3)(2(1)()(21sssXsX2 ROC

13、 擴大 。 7、時域微分若 ，則 , ROC 包括 R，有可能擴大。(5.19)( )( )dx tsX sdt8、S 域微分若 ，則 ，(5.20)( )( )dX stx tds例 5.12 已知，求。2)(1)(assXaROC:)(tx解：因為，所以。 asdsdas1)(12( )( )atx tteu t12 信號與系統(tǒng)可證明： 。 (5.21)1!( ),Re 0nnnt u tss9、時域積分若 ， 則 ，包括。 (5.22)(1)(sXsdxt:ROC)0(ResR10、復(fù)頻域積分若 ， 則 。 (5.23)RROCdssXttxs:,)()(1111、初值與終值定理 （1）

14、如果是因果信號，且在不包含奇異函數(shù)，則)(tx0t初值定理(5.24)(lim)0(ssXxs（2）如果是因果信號，且在不包含奇異函數(shù)，除了在)(tx0t)(sX可以有單階極點外，其余極點均在 S 平面的左半邊，則終值定理(5.25)(lim)(lim0ssXtxst下圖是極點在 S 平面的分布與終值的關(guān)系:第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 13圖 5.8 極點在 S 平面的分布與終值的關(guān)系5.3 常用雙邊拉普拉斯變換對表 5. 1 常用雙邊拉普拉斯變換對信號變換ROC信號變換ROC1全部 S全部 S14 信號與系統(tǒng)全部 S5.4 雙邊拉普拉斯變換反變換一、拉氏變換反變換的定義由，若

15、在 ROC 內(nèi)，則：dtetxsXst)()(js 所以： 從而： 由，得 當(dāng)從時, s 從，jsjdwds jj所以： 第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 15 (5.26)拉氏反變換表明：可以被分解成復(fù)振幅為的復(fù)指數(shù)信號的線性組合。)(txdssXj)(21ste二、拉氏反變換的求法對有理函數(shù)形式的求反變換一般有兩種方法，即部分分式展開法和留數(shù)法。我)(sX們這里只介紹最常用的部分分式法。具體如下：1、將展開為部分分式； )(sX2、根據(jù)的 ROC ，確定每一項的 ROC ； )(sX3、利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì)對每一項進(jìn)行反變換。例 5.13 已知 ，求其反變換。)2

16、)(1(1)(sssX1Re2:sROC解： 所以： 16 信號與系統(tǒng)5.5 連續(xù)時間 LTI 系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.5.1 系統(tǒng)函數(shù)以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立 LTI 系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即 (5.27)其中是的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)。)(sH)(th如果的 ROC 包括軸，則和的 ROC 必定包括軸，以代)(sYj)(sX)(sHjjs 入，即有 (5.28)這就是 LTI 系統(tǒng)的傅里葉分析。即是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。)(jH這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于復(fù)指數(shù)函數(shù)是一 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。當(dāng)以為基底分解信號時，LTI 系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)就是，而以為基底tje)()(jHjX

17、ste分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是。連同相應(yīng)的 ROC 也能完全描述一個)()(sHsX)(sHLTI 系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在及其 ROC 中一定有具體的體現(xiàn)。)(sH5.5.2 系統(tǒng)函數(shù)與線性常系數(shù)微分方程相當(dāng)廣泛的可實現(xiàn)的連續(xù)時間 LTI 系統(tǒng)，都可以用零初始條件的線性常系數(shù)微分方程來表示，其一般形式為第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 17對其等式兩邊同時進(jìn)行拉氏變換，可得 (5.29) 是一個有理函數(shù)。的 ROC 需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。)(sH)(sH5.5.3 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)函數(shù)起著相當(dāng)重要的作用，借助于系統(tǒng)函數(shù)來表征 LTI 系統(tǒng)，可以簡明

18、直觀地確定系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。1、因果性 如果時，則系統(tǒng)是因果的；如果時，則系統(tǒng)是反因果的。0t0)(th0t0)(th因此，因果系統(tǒng)的是右邊信號，其的 ROC 必是最右邊極點的右邊。反因果系統(tǒng))(th)(sH的是左邊信號，的 ROC 必是最左邊極點的左邊。)(th)(sH應(yīng)該強調(diào)指出，由 ROC 的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。 ROC 是最右邊極點的右邊并不一定系統(tǒng)因果。只有當(dāng)是有理函數(shù)時，逆命題才成立。)(sH2、穩(wěn)定性如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有 因此必存在。意味著的 ROC 必然包括軸。)(jH)(sHj綜合以上兩點，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的，其全部極點必須位于 S 平面的左)(sH

19、半邊。18 信號與系統(tǒng)例 5.14 某系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),已知該系統(tǒng)是因果的。2( )( )( )tth te u teu t, 顯然 ROC 是最右邊極點的右邊。因為 ROC 包括軸，系統(tǒng)也是穩(wěn)定的, 的全部極點都在 S 平面的左半邊。j)(sH例 5.15 有某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 的 ROC 是最右邊極點的右邊，但是非有理函數(shù),，系統(tǒng)是)(sH)(sH(1)( )(1)th teu t非因果的。由于 ROC 包括軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。j 對 ( ),Re 11seH sss 仍是非有理函數(shù)，ROC 是最右邊極點的右邊，但，系統(tǒng)顯然是)(sH(1)( )(1)th teu t因果的。結(jié)論： 1

20、、如果一個 LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部極點位于 S 平面的左半邊，則該系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。2、如果 LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC 是最右邊極點的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC 是最左邊極點的左邊。3、如果 LTI 系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC 必然包括軸。j例 5.16 求由下列微分方程描述的因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及收斂域 解：由方程可得第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 193223221(1)(1)( )464(2)(1)1sssssH ssssss 因系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，故 1Re:sROC5.5.4 系統(tǒng)函數(shù)零極點圖與

21、頻率響應(yīng)的幾何求值可以用零極點圖表征的特征。當(dāng) ROC 包括軸時,以代入即可得到)(sXjjs 。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點圖求得的特性。這在定性分)(jX)(jX析系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。 1、 單零點情況： 零點assX)(as 要求出時的，可以作兩個矢量，如圖所示，則。1ss )(1sXas和111( )X ssa 矢量稱為零點矢量，它的長度表示，其幅角即為。)(1sXas 1| )(|1sX1( )X s 圖 5.9 單零點情況 圖 5.10 單極點情況2、單極點情況： 極點 assX1)(as 同理，如圖所示20 信號與系統(tǒng)，直接由極點向點作矢量（稱為極點矢量） ，其長

22、度的倒量為，幅角的負(fù)值即為1s| )(|1sX。1( )X s3、一般情況：對有理函數(shù)形式的： )(sX (5.30) 因此 (5.31)111()( )()iiiisX sMs (5.32)111|( )| |iiiisX sMs (5.33)111( )()()iiiiX sss 即：從所有零點向點作零點矢量，從所有極點向點作極點矢量。1s1s所有零點矢量長度之積除以所有極點矢量長度之積即為。| )(|1sX所有零點矢量幅角之和減去所有極點矢量幅角之和即為。1( )X s當(dāng)取為軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值。考查在軸上移動時所1sj1sj有零、極點矢量的長度和幅角的變化，即可得出。)

23、(jX第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 21例 5.17 一階系統(tǒng)： )()()(txtydttdy 。111( ),Re H sss 1()( )|1sjH jH sj，221|()|1( )H j1()tan ()H j 隨著,單調(diào)下降，時，下降到最大值的，最大值在 時取| )(|jH1120得。相位特性，當(dāng)時，隨著，逐步趨向。()H j0()0H j()H j2該系統(tǒng)表現(xiàn)為低通特性。例 5.18 一階全通系統(tǒng)：考查零極點對稱分布的系統(tǒng) ，零點矢量和極asassH)(點矢量如圖所示。 （1） 、該系統(tǒng)的在任何時候都等于 1，所以稱為全通系統(tǒng)。 | )(|jH（2） 、其相位特性：

24、 111()()2H j22 信號與系統(tǒng)圖 5.11 零極點對稱分布的系統(tǒng)5.6 系統(tǒng)的方框圖表示5.6.1 系統(tǒng)的互聯(lián)一、系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1、 級聯(lián)：，ROC：包括。 (5.34)()()(21sHsHsH21RR2、 并聯(lián)：，ROC：包括。 (5.35) )()()(21sHsHsH21RR 3、反饋聯(lián)結(jié)： (5.36) (5.37) ，ROC：包括。 (5.38)11( )( )( )( )1( )( )H sY sH sX sG s H s21RR第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 23(a)級聯(lián) (b)并聯(lián) (c)反饋聯(lián)結(jié)圖 5.12 系統(tǒng)互聯(lián)5.6.2 由微分方程和有理系

25、統(tǒng)函數(shù)描述的因果 LTI 系統(tǒng)的方框圖表示 LTI 系統(tǒng)可以由一個線性常系數(shù)微分方程來描述： (5.39)Nkkkkdttyda0)(0( )kMkkkd x tbdt對其進(jìn)行拉氏變換有： (5.40)0( )Nkkka s Y s0( )Mkkkb s X s整理可得 (5.41)00( )MkkkNkkkb sH sa s它是一個有理函數(shù): (5.42)1、級聯(lián)結(jié)構(gòu)：將的分子和分母多項式因式分解：)(sH24 信號與系統(tǒng) (5.43) 一個 N 階的 LTI 系統(tǒng)可以分解為若干個二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級聯(lián)。在 N 為偶數(shù)時，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級聯(lián)形式。 (5.44) 其中 (5.45)

26、如果 N 為奇數(shù)，則有一個一階系統(tǒng)出現(xiàn)。 圖 5.13 級聯(lián)結(jié)構(gòu)2、并聯(lián)結(jié)構(gòu)：將的分子和分母多項式因式分解，展開為部分分式 (假定的分子階數(shù)不)(sH)(sH高于分母階數(shù)，所有極點都是單階的)，則有 (5.46)將共軛成對的復(fù)數(shù)極點對應(yīng)的兩項合并：第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 25 (5.47)N 為偶數(shù)時又可將任兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu):圖 5.14 并聯(lián)結(jié)構(gòu)例 5.19 試寫出圖 5.15 所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。圖 5.15 例 5.19 圖解：26 信號與系統(tǒng)本例系統(tǒng)由兩個積分器、兩個相加器和若干倍乘器組成。為求得系統(tǒng)函數(shù)，可設(shè)一中間變量 ，并寫出與激

27、勵信號之間的變換式關(guān)系:( )w t)(tw)(tx于是由圖 5.15 可知將代入此式中，可求得系統(tǒng)函數(shù)為：)(sW （5.48） 式（5.48）是一個二階系統(tǒng)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，它有兩個極點和兩個零點，只需用兩個積分器就可實現(xiàn)。而且，在圖 5.15 中，極點是以反饋環(huán)路的方式出現(xiàn)，有幾個極點，就有幾個反饋環(huán)路。將式（5.48）和圖 5.15 進(jìn)行比較可以看到，系統(tǒng)函數(shù)中的各項系數(shù)都是很有規(guī)律地直接出現(xiàn)在圖中，具體而言，分子中的系數(shù)按 s 的階次依次出現(xiàn)在前向通路中，而分母中的系數(shù)則依次出現(xiàn)在反饋環(huán)路中，因此，圖 5.15 這種系統(tǒng)的實現(xiàn)分式稱為直接實現(xiàn)形式。這種直接形式的方便之處在于，根據(jù)式（5

28、.48）這種標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)構(gòu)，可以直接從系統(tǒng)函數(shù)畫出系統(tǒng)框圖，或者直接從系統(tǒng)框圖寫出系統(tǒng)函數(shù)。第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 27從原理上講，雖然系統(tǒng)的實現(xiàn)可以用微分器，也可以用積分器，然而，由于積分器的抗干擾能力優(yōu)于微分器，可實現(xiàn)的精度也高于微分器，因此，實際系統(tǒng)往往采用積分器來實現(xiàn)。一般而言，對于一個高階系統(tǒng)，往往將其化成低階系統(tǒng)(如一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng))后再通過級聯(lián)或并聯(lián)的方式來實現(xiàn)，這樣做的好處是可以降低對系數(shù)精度的要求。5.7 單邊拉普拉斯變換單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析由線性常系數(shù)微分方程描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。

29、5.7.1 單邊拉普拉斯變換舉例 我們先給出單邊拉普拉斯變換的定義： (5.49)如果是因果信號，對其作雙邊拉氏變換和作單邊拉氏變換是完全相同的。)(tx 單邊拉氏變換也同樣存在 ROC 。其 ROC 必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定位于最右邊極點的右邊。單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反)(s變換相同。正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一般不再強調(diào)其 ROC。 例 5.20 分析的雙邊和單邊拉氏變換。(1)( )(1)a tx teu t28 信號與系統(tǒng)圖 5.16 作雙邊拉氏變換： ， (5.50) 作單邊拉氏變換有： ， (5.51)與不同，是因為在的部分對有作

30、用，而對沒有任何)(sX)(s)(tx0t)(sX)(s作用所致。例 5.18 已知，由于其 ROC：,求其反變換。23)(2sss2解 212)(sss 5.7.2 單邊拉普拉斯變換性質(zhì)單邊拉氏變換具有與雙邊拉氏變換相同的大部分性質(zhì)，也有幾個不同的性質(zhì)。1、時域微分第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 29若 則 (5.52)0()()(xssdttdx (5.53)2、時域積分 (5.54)3、時延性質(zhì)當(dāng)是因果信號時，單邊拉氏變換的時延特性與雙邊變換時一致。即：)(tx若 ，則 ， (5.55)當(dāng)不是因果信號時，)(tx (5.56)5.7.3 利用單邊拉普拉斯變換分析增量線性系統(tǒng)單

31、邊拉氏變換特別適合于求解由線性常系數(shù)微分方程描述的增量線性系統(tǒng)。例 5.21 某 LTI 系統(tǒng)由微分方程描述：，求響應(yīng)。5)0(, 3)0(yy)(ty解：對方程進(jìn)行單邊拉氏變換：30 信號與系統(tǒng) 代入可得5)0(, 3)0(yy (5.57) 所以 )()31 ()(2teetytt 習(xí)題五5.1 對下列每個積分,給出保證積分收斂的實參數(shù)值: (a) (b) 0)(5dteetjt0)(| | 5dteetjt5.2 考慮信號第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 31) 1()(5tuetxt其拉普拉斯變換記為。)(sX(a)利用(5.1)式求，并指出它的 ROC。)(sX(b)確定有限數(shù)和,以使A0t)(tg)()(05ttuAetgt的拉普拉斯變換與有相同的代數(shù)式。對應(yīng)于的 ROC 是什么?)(sG