第六章-多元函數(shù)微積分6.7二重積分的概念與性質

1、第六章第六章- -多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分6.76.7二重積二重積分的概念與性質分的概念與性質一、一、 二重積分的概念二重積分的概念例例6.6.2例例6.6.3例例6.6.4二、二、 二重積分的性質二重積分的性質三、三、 內容小結內容小結 作業(yè)作業(yè) 習題解答習題解答例例6.6.1本節(jié)內容本節(jié)內容:上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄柱體柱體(cylindrical body)體積體積=底面積底面積高高特點特點：平頂：平頂.曲頂柱體體積曲頂柱體體積=？特點特點：曲頂：曲頂(curved vertex surface).),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積(volume)問題的提出

2、問題的提出上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄解法解法: 類似定積分解決問題的思想:引例引例6.7.1 求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xOy 面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜让妫阂?D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求求 極限極限” D),(yxfz 一、一、 二重積分的概念二重積分的概念上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄D),(yxfz 1)“大化小大化小”用任意曲線網分D為 n 個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變常代變”在每個k, ),(

3、kk3)“3)“近似和近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點小曲頂柱體k),(kk上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄4)“4)“取極限取極限”的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄引例引例6.7.2 平面薄片的質量平面薄片的質量 有一個平面薄片, 在 xOy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計算該薄片的質量 M .度為),(),(常數(shù)若yx設D 的面積為 , 則M若),(yx非常數(shù) , 仍可用

4、其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求極限” 解決.1)“大化小大化小”用任意曲線網分D 為 n 個小區(qū)域,21n相應把薄片也分為小塊 .i xyO上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄yx2)“常代變常代變”中任取一點k在每個),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第 k 小塊的質量O上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄兩個問題的共性：兩個問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同解決問題的步驟相同(2) 所求量的結構式相同所求量的結構式相同“大化小, 常代

5、變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質量: 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄二重積分的定義二重積分的定義定義定義6.7.1),(yxf設將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nkk任取一點,),(kkk若存在一個常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄對定義的幾點說明

6、對定義的幾點說明：;),(d),()1(的取法無關的取法無關式及點式及點的分割方的分割方與積分區(qū)域與積分區(qū)域二重積分二重積分iiDyxDyxf (2)( , )d,Df x yD 二二重重積積分分是是一一個個數(shù)數(shù)值值 只只與與積積分分與與積積分分變變量量用用區(qū)區(qū)域域和和被被積積函函數(shù)數(shù)有有字字母母表表示示關關無無關關而而即即 DDvufyxfd),(d),(（3）面積元素面積元素dd dx y 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄 在直角坐標系下用平行在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域域D，( , )d( , )d dDDf x yf x yx y dd

7、dx y 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyO則則面積元素面積元素(areal element)為為,kkkyx 這時這時上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質量:Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄( , )0( , )Df x yf x y d 時時，表表曲曲頂頂柱柱體體積積體體( , )0( , )Df x yf x y d 時時，表表曲曲體體積積頂頂柱柱體體的的負負值值( , )( , )Df x yf x y d 符符號號不不定定時時，表表曲曲頂頂柱柱體體積積代代

8、數(shù)數(shù)和和體體（4）二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義( , ),f x yD當當在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 上上連連續(xù)續(xù)時時上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄221Dxy dD221xy2210zxy221Dxy d221zxyD2211 42122 33Dxy dV球 例例6.7.16.7.1 利用二重積分的幾何意義求利用二重積分的幾何意義求的值，其中的值，其中是區(qū)域是區(qū)域解解 由二重積分的幾何意義有：由于被積函數(shù)由二重積分的幾何意義有：由于被積函數(shù)所以所以在數(shù)值上等于以曲面在數(shù)值上等于以曲面為頂，以為頂，以 為底的曲頂柱體的體積，它實際上是為底的曲頂柱體的體積，它實際上是一個半徑為一個

9、半徑為1 1的上半球體的體積，所以的上半球體的體積，所以上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略)定理定理1.在D上可積可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界有界閉區(qū)域閉區(qū)域 D上連續(xù)連續(xù),則 若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 （補充）（補充）上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄性質性質6.7.6.7.( , )( , )dDf x yg x y ( , )d( , )d.DDf x yg x y （二重積分與定積分有類似的性質）（二重積分與定積分有類似的性質）設

10、設 、 為常數(shù)為常數(shù)，則，則 二、二重積分的性質二、二重積分的性質上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄性質性質6.7.26.7.2 （對積分區(qū)域具有可加性）（對積分區(qū)域具有可加性）12( , )d( , )d( , )d .DDDf x yf x yf x y性質性質6.7.36.7.3 若若 為為D D的面積的面積, ,則則1dd .DD性質性質6.7.46.7.4（不等式性）（不等式性） 若在若在D D上上),(),(yxgyxf ( , )d( , )d .DDf x yg x y 特殊地特殊地( , )d( , ) d .DDf x yf x y )(21DDD 則有則有上一頁上一頁

11、 下一頁下一頁 目目 錄錄性質性質6.7.56.7.5性質性質6.7.66.7.6（二重積分中值定理）（二重積分中值定理）( , )dDmf x yM ( , )d( , )Df x yf （二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄證證: 由性質5 可知,),(maxd),(1),(minyxfyxfyxfDDD由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD使因此D),(yxfD( , ) ( , )f 二重積分中值定理的幾何意義二重積分中值定理的幾何意義：在閉區(qū)域：在閉區(qū)域上以曲面上以曲面為頂?shù)那斨w的體積

12、總可以等于以區(qū)域為頂?shù)那斨w的體積總可以等于以區(qū)域內某一點內某一點的函數(shù)值的函數(shù)值為高的平頂柱體的體積為高的平頂柱體的體積. .上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質質 6 知知222()d,xyaDee 解解2222()2d, xyaDaeae 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內內有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,oxy121D上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄P236 3.P236 3.（1 1）（）（3 3） 4.4.（2 2） 5.5. 作業(yè)作業(yè)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄1. 二重積分的定義二重積分的定義Dyxfd),(iiinif