動(dòng)力學(xué)普遍方程與拉格郎日方程

1、16 動(dòng)力學(xué)普遍方程與拉格動(dòng)力學(xué)普遍方程與拉格朗日方程朗日方程 達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理，把質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為虛擬的靜力學(xué)平衡問題求解。 虛位移原理虛位移原理是用分析法求解質(zhì)點(diǎn)系靜力學(xué)平衡問題的普遍原理。 將二者相結(jié)合，就可得到處理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程（General equations of dynamics）對(duì)此方程進(jìn)行了廣義坐標(biāo)變換，可以導(dǎo)出拉格朗日拉格朗日方程方程（Lagranges equations of motion）。 拉格朗日方程為建立質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程提供了十分方便而有效的方法，在振動(dòng)理論、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題中有著廣泛地應(yīng)用。 16. .1 動(dòng)力學(xué)

2、普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程 對(duì)于 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，在任一瞬時(shí)，作用于系統(tǒng)內(nèi)的任一個(gè)質(zhì)點(diǎn) Mi 上的力有：iFNiF主動(dòng)力主矢，約束反力主矢 。 在該質(zhì)點(diǎn)上虛加慣性力Iiiim Fa 達(dá)朗伯原理： N0 1 2iiiimi, ,n FFairN10 niiiiiimFFar虛平衡狀態(tài) 虛位移原理：給任一組虛位移 理想約束N10 niiiFr10 niiiiimFar10 nixiiiyiiiziiiFm xxFm yyFm zziii（16-2） （16-1） 表示：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，任一瞬時(shí)作用于其上的具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，任一瞬時(shí)作用于其上的主動(dòng)力和慣性力在系統(tǒng)的任一組虛位移上的虛功

3、之和等主動(dòng)力和慣性力在系統(tǒng)的任一組虛位移上的虛功之和等于零。于零。 動(dòng)力學(xué)普遍方程。動(dòng)力學(xué)普遍方程。 共同點(diǎn)：不含理想約束反力，獨(dú)立方程數(shù)等于自由度數(shù)。 區(qū)別：動(dòng)力學(xué)普遍方程中除主動(dòng)力外，還有慣性力。 動(dòng)力學(xué)普遍方程與靜力學(xué)普遍方程： 例16-1 瓦特離心調(diào)速器以勻角速度w 繞鉛垂固定軸Oy轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖16-1所示。小球A和B的質(zhì)量為m，套筒C的質(zhì)量為M，可沿鉛垂軸無摩擦地滑動(dòng)。其中OA = OB = l，OD = OE = DC =EC = a，不計(jì)各桿重，不計(jì)各鉸鏈及軸承的摩擦，試求穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)調(diào)速器的張角a 。 解：（1）受力分析，球A、B作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度為awsin2laaBA 虛

4、加在小球A、B上的慣性力的大小分別為awsin2lmFFIBIA （2）虛位移分析，系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，取a 為廣義坐標(biāo)。asinlxAacoslyAasinlxBacoslyBacos2ayC取變分 aacoslxAaasinlyAaacoslxBaasinlyBaasin2ayC （3）應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解 0BBIAAICBAxFxFygMygmygm222sin2sin2sincos0mglMgamlaawaa aglmaMlm22coswa0sina 第二個(gè)解 a = 0 是不穩(wěn)定的，只要稍加擾動(dòng)，調(diào)速器就會(huì)有張角，而最終在第一個(gè)解給出的位置上處于相對(duì)平衡。 例16-2 在圖16-

5、2所示系統(tǒng)中，物塊A的質(zhì)量為m，與接觸面處的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 fs，均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為 M。不計(jì)繩重及定滑輪質(zhì)量，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求物塊 A和圓柱體質(zhì)心 C 的加速度 。 B C MIC xC xA Mg Fs FIA FIC FN xA xC 圖 16-2 A 解：此系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)，視 A 塊的滑動(dòng)摩擦力為主動(dòng)力，可應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解。 （1）受力分析，取xA及xC為廣義坐標(biāo)，物塊A、柱體質(zhì)心C的加速度以及圓柱的角加速度分別為 給 A 物塊以虛位移 ，給 C 點(diǎn)以虛位移 ，AAxa CCxa ACACxxraar 11a系統(tǒng)的慣性力和慣性力偶矩分別為 AAIAxmamF CCICxMa

6、MF ACACCICxxrMxxrrMJM 211212aAxCx （2）虛位移分析，當(dāng)系統(tǒng)虛加慣性力后，系統(tǒng)處于虛平衡狀態(tài)。圓柱體的虛轉(zhuǎn)角則為 ACxxr1 （3）用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解 0ICCICAIAASCMxFxFxFxMg1102CSAAACCCACAMg xFxmxxMxxMr xxxxr12102CCACSACAAMgMxMxxxFmxMxxx由 和 的獨(dú)立性，得AxCx 021021ACASACCxxMxmFxxMxMMg即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 333323ssAAsCCMgf mgMf maxgMmMmMmf maxgMm 討論： （1） 只有 時(shí)符合題意。 30sMf m

7、若 ，則30sMf m 0Aa3sMfmggmMmmMmMaC32332 （2）由于廣義虛位移的獨(dú)立性，當(dāng)系統(tǒng)虛加慣性力后，可分別令 ， ；以及 ， 。應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程，可直接得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 0Cx0Ax0Ax0Cx16. .2 拉格朗日方程拉格朗日方程 由于系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移并不獨(dú)立，在應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，尋求虛位移間的關(guān)系將十分麻煩。 如果利用廣義坐標(biāo)，對(duì)動(dòng)力學(xué)普遍方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，則可得到與自由度數(shù)目相同的一組獨(dú)立運(yùn)動(dòng)微分方程，從而使這一方程更加簡(jiǎn)潔，便于應(yīng)用。 設(shè)具有理想完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，有 k 個(gè)自由度，取廣義坐標(biāo)為q1，q2，qk。任一質(zhì)點(diǎn) mi

8、的矢徑 ri 可表示為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù) 16.2.1 拉格朗日方程ri =（q1，q2，qk；t） （16-3） （16-4） 虛位移： niqqjjikj, 2, 1 1rri代入動(dòng)力學(xué)普遍方程，可得 0 11kjjjiniiiqqmraF（16-5） 111 0knniiiiijjiijjmqqqrrFa對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) qj 的廣義力 Qj對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) qj 的廣義慣性力廣義慣性力（Generalized force of inertia）QIj （16-7） （16-8） 01jIjjkjqQQ廣義慣性力12121 iiiiiikkkiijjjqqqqqqtqqtrrrrvrrrj

9、q 廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為廣義速度，廣義速度， 質(zhì)點(diǎn)的速度是廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的已知函數(shù)。質(zhì)點(diǎn)的速度是廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的已知函數(shù)。（16-9） 拉格朗日變換式： （1）速度對(duì)廣義速度的偏導(dǎo)數(shù)jijiqqrv 1212 iiiiiikkqqqqqqtrrrrvr 、 中不包括廣義速度，該式兩端對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)jq jiqr tir（16-11） （2）速度對(duì)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)2121122211d + d iiiiikjkkjkkiiiisssssjjjsqqqtqqqqqqqqtqqqqqtqqtrrrrrrrrr速度iv jijiqqtvrdd（16-12） jijiqqtvrd

10、d11ddddniIjiiijniiiiiiijjQmqmmtqtq rvrrvv212112121ddddiinijiinijjiiijiiiniIjvmqvmqtqmqtmQvvvv2121iinivmTkjqTqTtQjjIj, 2, 1 dd（16-13） 0 dd1jjjjkjqqTqTtQ廣義坐標(biāo)形式的動(dòng)力學(xué)普遍方程 。jqkj, 2, 1 對(duì)于完整約束系統(tǒng)，由 的獨(dú)立性，得d()djjjTTQtqqkj, 2, 1 （16-14） 式（16-14）是 k 個(gè)二階常微分方程組成的方程組，求解該方程組，則得質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)方程。 第二類拉格朗日方程，簡(jiǎn)稱拉格朗日方程拉格朗日方程。拉氏方程

11、 若主動(dòng)力是有勢(shì)力，勢(shì)能是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)，即 V V（q1, q2, qk, t） ，則 jjqVQkj, 2, 1 d()djjjTTVtqqq d()0djjTVTVtqqVTLd()0djjLLtqqkj, 2, 1 L 稱為拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)（Lagrangian function）或動(dòng)勢(shì)動(dòng)勢(shì)（Kinetic potential） 主動(dòng)力為有勢(shì)力的拉格朗日方程拉格朗日方程 拉格朗日方程是以廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，適用于理想完整約束的任意質(zhì)點(diǎn)系。 特點(diǎn)： （1）由于拉格朗日方程的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)，無論廣義坐標(biāo)如何選取，而拉氏方程的形式不變。因而可按統(tǒng)一的程序和步驟

12、直接建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 （2）在拉氏方程中，只包含系統(tǒng)的動(dòng)能、廣義坐標(biāo)、廣義力或勢(shì)能等標(biāo)量，因而不必進(jìn)行加速度分析，不必虛加慣性力，對(duì)于保守系統(tǒng)，也不必分析系統(tǒng)的虛位移，極大地簡(jiǎn)化了復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的分析和求解過程，改變了傳統(tǒng)的矢量動(dòng)力學(xué)方法。 拉格朗日方程求解動(dòng)力學(xué)問題的步驟： （1）分析系統(tǒng)的自由度，適當(dāng)選擇與自由度數(shù)相同的廣義坐標(biāo)。 （2）分析速度，用廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的函數(shù)表示系統(tǒng)的動(dòng)能。 （3）分析主動(dòng)力，求廣義力。若主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)，用廣義坐標(biāo)表示系統(tǒng)的勢(shì)能，從而求出拉氏函數(shù)。若主動(dòng)力為非有勢(shì)力，廣義力一般由虛功法求較方便，即jjjqWQ/ （4）將廣義力，動(dòng)能T（或

13、拉氏函數(shù)L）代入拉氏方程，即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 （2）計(jì)算動(dòng)能。任一瞬時(shí)，滑塊A的速度為 ，點(diǎn)B的速度為 16.2.2 應(yīng)用舉例 例16-3 由滑塊A、無重剛桿AB和擺錘B所組成的橢圓擺如圖16-3所示。設(shè)滑塊 A質(zhì)量為 m1，擺錘 B質(zhì)量為m2，AB = l，不計(jì)摩擦。試寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 解：（1）以系統(tǒng)為研究對(duì)象。該系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊 A 的坐標(biāo) x 及桿 AB 的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。xBAABvvv cos2cos2222222lxlxvvvvvBAABAAB系統(tǒng)的動(dòng)能 cos2121cos22121212122222212222212221xlmlmxmmlxlx

14、mxmvmvmTBA （3）求廣義力。給系統(tǒng)以虛位移 x 及 0/xWQxxsin/sin/22lgmlgmWQ （4）應(yīng)用拉格朗日方程 d()dxTTQtxxd()dTTQt0 xTcos221lmxmmxT21222d()cossindTmmxm lm ltxsin2xlmTcos22xlmlmT2222d()cossindTm lm l xm l xt 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 0sincos22221 lmlmxmm0sincos gxl 討論： 取點(diǎn)A的水平面為零勢(shì)能面，系統(tǒng)勢(shì)能cos2lgmV2221222211coscos22Lmmxm lm lxm gl 代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程式

15、 0ddxLxTt0ddLTt得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 解：（1）以系統(tǒng)為研究對(duì)象。輪A作定軸運(yùn)動(dòng)，輪B作平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。取兩輪的轉(zhuǎn)角為1和2廣義坐標(biāo)，設(shè)順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?例16-4 兩半徑均為 r、質(zhì)量均為 m 的均質(zhì)圓輪 A和 B，用繩纏繞連接如圖16-4所示。不計(jì)繩重和摩擦，求輪 B 下落時(shí)兩輪的角加速度及 B 輪質(zhì)心 C 的加速度。 （2）計(jì)算動(dòng)能。兩輪的角速度分別為 和 輪B質(zhì)心C的速度為 1221rrvC 系統(tǒng)的動(dòng)能 22201222222211222222211221112221 111 12 222 23344CCTJmvJmrmrmrmrmrmr 012Vmg lr

16、r （3）計(jì)算拉氏函數(shù)，以過點(diǎn)O的水平面為勢(shì)能零面，系統(tǒng)的勢(shì)能 l0為系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)兩輪心的高度差 2102222122124343rrlgmrmrmrmVTL （4）應(yīng)用拉格朗日方程 rgmL12212123rmrmL2212123dd rmrmLtrgmL22212223rmrmL2212223dd rmrmLt0dd11LLt0dd22LLt 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程grrgrr2322232121 rg5221 graC541 Ca的方向?yàn)殂U垂向下。 例16-5 物塊A和B的質(zhì)量為m，用剛度系數(shù)為k的三根彈簧連接如圖16-5所示。不計(jì)摩擦，試求物塊A、B的運(yùn)動(dòng)微分方程。 （2）任一瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能