齊次線性方程組論文：一類常系數(shù)非齊次線性微分方程組的幾種解法

1、齊次線性方程組論文：一類常系數(shù)非齊次線性微分方程組的幾種解法摘要 微分方程的解法是學(xué)習(xí)微分方程最基本的問題，但是它的解法種類繁多，求解過程復(fù)雜，一般教材只是介紹常數(shù)變易法和可積組合法。本文歸納了解非齊次線性微分方程組的各種方法，從介紹常系數(shù)齊次線性方程組的解法入手，進而討論、研究、比較求解常系數(shù)非齊次線性方程組的特解的幾種方法的異同。關(guān)鍵詞 齊次線性方程組 非齊次線性方程組 通解 特解微分方程的解法是學(xué)習(xí)微分方程最基本的問題，但是它的解法種類繁多，求解過程復(fù)雜，一般教材只是介紹常數(shù)變易法和可積組合法。本文歸納了解非齊次線性微分方程組的各種方法，從介紹常系數(shù)齊次線性方程組的解法入手，進而討論、研

2、究、比較求解常系數(shù)非齊次線性方程組的特解的幾種方法的異同。下面，我們首先研究常系數(shù)齊次線性微分方程組的解法。對于常系數(shù)非齊次線性方程組（1）的求解問題，可以先求出它對應(yīng)的齊次方程組（2）的通解，再求出它本身的任何一個特解，疊加起來就是它的通解。我們記得階線性非齊次微分方程組為（1）它所對應(yīng)的齊次方程組為（2）其中是維向量，a是矩陣，在某個區(qū)間上連續(xù).當a是常矩陣時，稱為常系數(shù)線性微分方程組。我們通常采用以下三種方法來解答常系數(shù)齊次線性微分方程組：待定系數(shù)法、消元法和拉氏變換法。待定系數(shù)法又稱歐拉法，是解常系數(shù)齊次線性微分方程組的常用方法.其具體步驟是：（1）寫出特征方程，算出特征根及重數(shù)，是互

3、不相同的特征根，重數(shù)分別為；（2）對每一特征根作形式解代入方程組（2），比較t的同次冪的系數(shù)，得的代數(shù)方程組，解之可（比例地）確定它們，從而得到個線性無關(guān)解，若a是實數(shù)矩陣，是虛根時，所得的解要轉(zhuǎn)換為實解；（3）對一切，我們共得個線性無關(guān)解，它們構(gòu)成（2）的基本解組，線性組合之，即得（2）的通解。消元法的基本思想是先設(shè)法消去方程組中的某些變元，得到只含一個變元的一個方程（在這里是一個高階常系數(shù)齊次線性微分方程），求出這個方程的解，再回原方程組，求出變元的解。以二階組為例，說明具體步驟.設(shè)方程組為引進算子記號，則方程組可寫為且記，則顯然滿足高階常系數(shù)線性方程解出第一個高階方程得，代入原方程組中第

4、一個方程求得；或解出第二個高階方程得，代入原方程組中第二個方程求得；或同時從兩個高階方程解出.代入原方程組決定任意常數(shù)間關(guān)系，均可得到原方程組的通解。拉氏變換法對解常系數(shù)線性系統(tǒng)的初值問題特別有效，它不必經(jīng)過通解，而直接求得滿足初始條件的特解。求解思路是：同樣，以二階組為例，說明具體步驟，設(shè)方程組為，滿足初始條件則對方程取拉氏變換，得：（3）故（3）為象原函數(shù)滿足的代數(shù)方程組，再由（3），代入初值可解出象函數(shù)，并對進行有理分式分解.最后，反查拉氏表，得初值問題解。以上是本文的常系數(shù)齊次線性方程組的介紹,接下來，我們將進入對常系數(shù)非齊次線性方程組的研究,考察求常系數(shù)非齊次線性方程的特解的方法。2

5、、常系數(shù)非齊次線性方程組求常系數(shù)非齊次線性方程組的特解,一般有五種方法，它們分別是：待定系數(shù)法、算子法、拉氏變換法、常數(shù)變易法和可積組合法。用待定系數(shù)法解常系數(shù)非齊次線性方程組時，右端函數(shù)必須具有特定形狀，即必須是多項式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，這幾類函數(shù)的乘積以及它們的系數(shù)線性組合，當方程組（1）的右端函數(shù)具形式：其中是實常數(shù)，分別是次多項式，且個這種形式函數(shù)（每個函數(shù)的可以不同）的和時，可按下表立即寫出它的特解的待定形式，用以代入方程組（1）得系數(shù)方程組，解之就能確定它。（如表1所示）例1：用待定系數(shù)法求方程組的特解解：特征方程為有特征根，它們分別對應(yīng)特征向量.故得齊次線性方程組的基本解矩陣為

6、再求一個非齊的特解，因是單重特征根，故令特解形式為代入原方程組，約去公因子，得到比較t的同次冪系數(shù)，得取，則.由此得特解故原方程組的通解為算子法與1.2的消元法有點類似.下面我們也以二階組為例，說明算子法的具體步驟，設(shè)方程組為（5）用算子法來求（5）的一個特解，可先將方程組寫成形式然后把算子多項式看成系數(shù)，用克萊姆法則，可形式地解出，最后，進行算子的正運算與逆運算，即可求得特解。例2：用算子法求方程組的一個特解.解：方程組可寫成形式由克萊姆法則，有再進行算子的正運算與逆運算，可得即得特解：注：由于逆算子運算的不唯一性導(dǎo)致當右端函數(shù)具體形式，而又是特征方程的根時，單純形式使用克萊姆法則不一定得到

7、真正的解，所以，用這種解法解出結(jié)果后，需要代入方程驗算，而經(jīng)檢驗，可知例2中求得的特解的確是原方程的解。用拉氏變換法解常系數(shù)非齊次線性方程組的步驟與解常系數(shù)齊次線性方程組的步驟基本相同，稍有不同的地方,本文通過下面的例子指出。例3：用拉氏變換法求方程組，滿足的解。解：取拉氏變換即有故得反查拉氏表，即得滿足初始條件的特解現(xiàn)以解如下三階常系數(shù)非齊線性方程組為例，說明解題步驟：第一步，求出相應(yīng)齊次方程組的通解這里是任意常數(shù)。第二步，設(shè)其中是待定函數(shù).把從2.4.4解出后再積分之，可得.第三步，把求得的代回2.4.3即可寫出原方程組2.4.1的解.例4：用常數(shù)變易法解方程組解：先解相應(yīng)的齊方程組用消元法，由把此式代入再設(shè)其中待定，把解得這里是任意常數(shù)，把2.4.8代入2.4.7，得原方程組的通解為現(xiàn)以解二階線性方程組為例介紹可積組合法，考慮以入乘2.5.1中的第二個方程后，與第一個方程相加，得選入使則積分這個方程得假