齊次線(xiàn)性方程組論文：一類(lèi)常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程組的幾種解法

1、齊次線(xiàn)性方程組論文：一類(lèi)常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程組的幾種解法摘要 微分方程的解法是學(xué)習(xí)微分方程最基本的問(wèn)題，但是它的解法種類(lèi)繁多，求解過(guò)程復(fù)雜，一般教材只是介紹常數(shù)變易法和可積組合法。本文歸納了解非齊次線(xiàn)性微分方程組的各種方法，從介紹常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程組的解法入手，進(jìn)而討論、研究、比較求解常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組的特解的幾種方法的異同。關(guān)鍵詞 齊次線(xiàn)性方程組 非齊次線(xiàn)性方程組 通解 特解微分方程的解法是學(xué)習(xí)微分方程最基本的問(wèn)題，但是它的解法種類(lèi)繁多，求解過(guò)程復(fù)雜，一般教材只是介紹常數(shù)變易法和可積組合法。本文歸納了解非齊次線(xiàn)性微分方程組的各種方法，從介紹常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程組的解法入手，進(jìn)而討論、研

2、究、比較求解常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組的特解的幾種方法的異同。下面，我們首先研究常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程組的解法。對(duì)于常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組（1）的求解問(wèn)題，可以先求出它對(duì)應(yīng)的齊次方程組（2）的通解，再求出它本身的任何一個(gè)特解，疊加起來(lái)就是它的通解。我們記得階線(xiàn)性非齊次微分方程組為（1）它所對(duì)應(yīng)的齊次方程組為（2）其中是維向量，a是矩陣，在某個(gè)區(qū)間上連續(xù).當(dāng)a是常矩陣時(shí)，稱(chēng)為常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組。我們通常采用以下三種方法來(lái)解答常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程組：待定系數(shù)法、消元法和拉氏變換法。待定系數(shù)法又稱(chēng)歐拉法，是解常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程組的常用方法.其具體步驟是：（1）寫(xiě)出特征方程，算出特征根及重?cái)?shù)，是互

3、不相同的特征根，重?cái)?shù)分別為；（2）對(duì)每一特征根作形式解代入方程組（2），比較t的同次冪的系數(shù)，得的代數(shù)方程組，解之可（比例地）確定它們，從而得到個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，若a是實(shí)數(shù)矩陣，是虛根時(shí)，所得的解要轉(zhuǎn)換為實(shí)解；（3）對(duì)一切，我們共得個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，它們構(gòu)成（2）的基本解組，線(xiàn)性組合之，即得（2）的通解。消元法的基本思想是先設(shè)法消去方程組中的某些變?cè)?，得到只含一個(gè)變?cè)囊粋€(gè)方程（在這里是一個(gè)高階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程），求出這個(gè)方程的解，再回原方程組，求出變?cè)慕?。以二階組為例，說(shuō)明具體步驟.設(shè)方程組為引進(jìn)算子記號(hào)，則方程組可寫(xiě)為且記，則顯然滿(mǎn)足高階常系數(shù)線(xiàn)性方程解出第一個(gè)高階方程得，代入原方程組中第

4、一個(gè)方程求得；或解出第二個(gè)高階方程得，代入原方程組中第二個(gè)方程求得；或同時(shí)從兩個(gè)高階方程解出.代入原方程組決定任意常數(shù)間關(guān)系，均可得到原方程組的通解。拉氏變換法對(duì)解常系數(shù)線(xiàn)性系統(tǒng)的初值問(wèn)題特別有效，它不必經(jīng)過(guò)通解，而直接求得滿(mǎn)足初始條件的特解。求解思路是：同樣，以二階組為例，說(shuō)明具體步驟，設(shè)方程組為，滿(mǎn)足初始條件則對(duì)方程取拉氏變換，得：（3）故（3）為象原函數(shù)滿(mǎn)足的代數(shù)方程組，再由（3），代入初值可解出象函數(shù)，并對(duì)進(jìn)行有理分式分解.最后，反查拉氏表，得初值問(wèn)題解。以上是本文的常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程組的介紹,接下來(lái)，我們將進(jìn)入對(duì)常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組的研究,考察求常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的特解的方法。2

5、、常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組求常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組的特解,一般有五種方法，它們分別是：待定系數(shù)法、算子法、拉氏變換法、常數(shù)變易法和可積組合法。用待定系數(shù)法解常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組時(shí)，右端函數(shù)必須具有特定形狀，即必須是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，這幾類(lèi)函數(shù)的乘積以及它們的系數(shù)線(xiàn)性組合，當(dāng)方程組（1）的右端函數(shù)具形式：其中是實(shí)常數(shù)，分別是次多項(xiàng)式，且個(gè)這種形式函數(shù)（每個(gè)函數(shù)的可以不同）的和時(shí)，可按下表立即寫(xiě)出它的特解的待定形式，用以代入方程組（1）得系數(shù)方程組，解之就能確定它。（如表1所示）例1：用待定系數(shù)法求方程組的特解解：特征方程為有特征根，它們分別對(duì)應(yīng)特征向量.故得齊次線(xiàn)性方程組的基本解矩陣為

6、再求一個(gè)非齊的特解，因是單重特征根，故令特解形式為代入原方程組，約去公因子，得到比較t的同次冪系數(shù)，得取，則.由此得特解故原方程組的通解為算子法與1.2的消元法有點(diǎn)類(lèi)似.下面我們也以二階組為例，說(shuō)明算子法的具體步驟，設(shè)方程組為（5）用算子法來(lái)求（5）的一個(gè)特解，可先將方程組寫(xiě)成形式然后把算子多項(xiàng)式看成系數(shù)，用克萊姆法則，可形式地解出，最后，進(jìn)行算子的正運(yùn)算與逆運(yùn)算，即可求得特解。例2：用算子法求方程組的一個(gè)特解.解：方程組可寫(xiě)成形式由克萊姆法則，有再進(jìn)行算子的正運(yùn)算與逆運(yùn)算，可得即得特解：注：由于逆算子運(yùn)算的不唯一性導(dǎo)致當(dāng)右端函數(shù)具體形式，而又是特征方程的根時(shí)，單純形式使用克萊姆法則不一定得到

7、真正的解，所以，用這種解法解出結(jié)果后，需要代入方程驗(yàn)算，而經(jīng)檢驗(yàn)，可知例2中求得的特解的確是原方程的解。用拉氏變換法解常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程組的步驟與解常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程組的步驟基本相同，稍有不同的地方,本文通過(guò)下面的例子指出。例3：用拉氏變換法求方程組，滿(mǎn)足的解。解：取拉氏變換即有故得反查拉氏表，即得滿(mǎn)足初始條件的特解現(xiàn)以解如下三階常系數(shù)非齊線(xiàn)性方程組為例，說(shuō)明解題步驟：第一步，求出相應(yīng)齊次方程組的通解這里是任意常數(shù)。第二步，設(shè)其中是待定函數(shù).把從2.4.4解出后再積分之，可得.第三步，把求得的代回2.4.3即可寫(xiě)出原方程組2.4.1的解.例4：用常數(shù)變易法解方程組解：先解相應(yīng)的齊方程組用消元法，由把此式代入再設(shè)其中待定，把解得這里是任意常數(shù)，把2.4.8代入2.4.7，得原方程組的通解為現(xiàn)以解二階線(xiàn)性方程組為例介紹可積組合法，考慮以入乘2.5.1中的第二個(gè)方程后，與第一個(gè)方程相加，得選入使則積分這個(gè)方程得假