(自己整理)圓錐曲線常考題型總結(jié)——配有大題和練習(xí)精編版

1、圓錐曲線大綜合第一部分圓錐曲線?？碱}型和熱點(diǎn)問(wèn)題一常考題型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題題型三：動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題題型五：共線向量問(wèn)題題型六：面積問(wèn)題題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值的問(wèn)題題型八：角度問(wèn)題題型九：四點(diǎn)共線問(wèn)題題型十：范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題）題型十一： 存在性問(wèn)題 （存在點(diǎn)， 存在直線ykxm ，存在實(shí)數(shù)， 三角形（等邊、 等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓 ）二熱點(diǎn)問(wèn)題1. 定義與軌跡方程問(wèn)題2. 交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問(wèn)題3. 弦長(zhǎng)及面積問(wèn)題4. 對(duì)稱問(wèn)題5. 范圍問(wèn)題6. 存在性問(wèn)題7. 最值問(wèn)題8. 定值，定

2、點(diǎn)，定直線問(wèn)題第二部分知識(shí)儲(chǔ)備一與一元二次方程 ax2bxc0(a0) 相關(guān)的知識(shí)（三個(gè)“二次”問(wèn)題）1.判別式：b24ac2.韋達(dá)定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1, x2，則x1x2b ， x1 x2caa3.求根公式：若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1, x2，則x1, 2bb24 ac2a二與直線相關(guān)的知識(shí)1. 直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式，斜截式，截距式，兩點(diǎn)式，一般式12. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率：y tan ，0, ) ；點(diǎn)到直線的距離公式：dAx0By0C （一般式） 或 dkx0 y0b （斜截式）A2B 2

3、12k 23.弦長(zhǎng)公式：直線ykxb 上兩點(diǎn) A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 間的距離：AB1 k 2 xx2(1k 2 )( xx )24x x ( 或 AB11yy2)11212k 214.兩直線 l1 : y1k1x1b1 ,l2 : y2k2 x2b2 的位置關(guān)系： l1 l2k1 k21 l1 / / l2k1 k2且b1b25.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2)，若點(diǎn) M x, y線段AB 的中點(diǎn)，則xx1x1 , yy1y222三圓錐曲線的重要知識(shí)考綱要求：對(duì)它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，文理要求有所不同。文

4、科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3.圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)a,b, c 三者的關(guān)系，p 的幾何意義等4.圓錐曲線的其他知識(shí)：通徑：橢圓2b2，雙曲線2b2，拋物線 2 paa焦點(diǎn)三角形的面積： p 在橢圓上時(shí) S F1PF2b2tan2p 在雙曲線上時(shí) S F1PF2b2 / tan2四常結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查1 圓的相關(guān)知識(shí)：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系2 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)：求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則，特

5、別是與切線方程相關(guān)的知識(shí)3 向量的相關(guān)知識(shí)：向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4 三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)：各類公式及圖像與性質(zhì)5 不等式的相關(guān)知識(shí)：不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題（ 1）圓錐曲線與圓例 1.（本小題共14 分）2223已知雙曲線 C : x2y21(a0, b 0) 的離心率為3 ，右準(zhǔn)線方程為xab3（）求雙曲線 C 的方程；（）設(shè)直線 l 是圓 O : x2y22 上動(dòng)點(diǎn) P( x0 , y0 )( x0 y00) 處的切線， l 與雙曲線 C交于不同的兩點(diǎn)A, B ，證明AOB 的大小為定值 【解法 1】本題主要考查雙

6、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力a23（）由題意，得c3，解得 a1,c3 ，c3a b2c2a22 ，所求雙曲線C 的方程為 x2y21 .2（）點(diǎn) P x0 , y0x0 y00在圓 x2y22 上，圓在點(diǎn) Px0 , y0 處的切線方程為yy0x0x x0，y0化簡(jiǎn)得 x0 xy0 y2 .由x2y21222 得 3x24 x24x x 8 2x20 ，2及 x0y0000x0 xy0 y2切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A、 B，且 0x022 ，3x0240，且16x024 3x0248 2x020 ，設(shè)

7、A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1, y1 , x2 , y2，則 x1 x24x04, x1 x28 2 x02 ，3x023x024 cos AOB OA OB ，且OA OB1OAOBx1 x2 y1 y2 x1 x2 y02 2 x0 x1 2 x0 x2 ，3x1 x2212 4 2x0 x1 x2x02 x1 x2x08 2x02148x02x02 8 2x022224243x04 2 x03x03x082 x0282x020 .3x0243x024 AOB 的大小為 90 .【解法2】（）同解法 1.（）點(diǎn)Px0 , y0x0 y00在圓 x2y22 上，圓在點(diǎn) Px0, y0處的切

8、線方x0 x2 . 由 x2y21及 x02y022程為 yy0x0 ，化簡(jiǎn)得 x0 xy0 y2y0x0 xy0 y2得3x024 x24x0 x 8 2x0203x024 y28 y0 x 8 2x020切線l 與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn)A、 B，且 0x022， 3x0240 ，設(shè) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 x1 , y1,x2, y2 ，則 x1 x282x02 , y1 y22x028 ，3x0243x024OAOBx1x2y1y20 ，AOB 的大小為 90 .（ x02y022 且 x0 y00， 0x022,0y022 ，從而當(dāng) 3x0240 時(shí)，方程和方程的判別式均大于零）

9、 .練習(xí) 1：已知點(diǎn) A 是橢圓 C : x2y21 t 0 的左頂點(diǎn)， 直線 l : xmy 1(m R ) 與橢9t圓 C 相交于 E, F 兩點(diǎn)，與 x 軸相交于點(diǎn) B . 且當(dāng) m0 時(shí)， AEF 的面積為 16.3（）求橢圓C 的方程；4（）設(shè)直線AE ， AF 與直線 x3 分別交于 M ， N 兩點(diǎn)，試判斷以MN 為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)B ？并請(qǐng)說(shuō)明理由 .（ 2）圓錐曲線與圖形形狀問(wèn)題例 2.1 已知 A， B， C 是橢圓 W：x22 y 1 上的三個(gè)點(diǎn)， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)4(1)當(dāng)點(diǎn) B 是 W 的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC 為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn) B 不是 W 的

10、頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC 是否可能為菱形，并說(shuō)明理由x22解： (1) 橢圓 W： y 1 的右頂點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (2,0) 4因?yàn)樗倪呅?OABC為菱形，所以AC與 OB相互垂直平分所以可設(shè) A(1 ，m) ，代入橢圓方程得123.m 1，即 m42所以菱形 OABC的面積是 1 | OB|·|AC| 1 ×2×2| m| 3 .22(2) 假設(shè)四邊形 OABC為菱形因?yàn)辄c(diǎn) B 不是 W的頂點(diǎn)，且直線 AC不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè) AC的方程為 y kx m( k0，m0) x24 y24,222由kx消 y 并整理得 (1 4k ) x 8kmx 4m 4 0.

11、ym設(shè) A( x1，y1) ， C( x2，y2) ，則 x1 x214km 2， y1y2kx1x2m24k22所以 AC的中點(diǎn)為 M14km 2,m2.4k14k因?yàn)?M為 AC和 OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為因?yàn)?k·1 1，所以AC與 OB不垂直m.14k21.4k4k所以 OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn) B 不是 W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形x2y21(a b 0) 過(guò)點(diǎn) (2 ， 1)，且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和練習(xí) 1：已知橢圓 C ：b2a2一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.( )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；( )設(shè) M （ x, y) 是橢圓 C 上的

12、動(dòng)點(diǎn)，P（ p,0) 是 X 軸上的定點(diǎn)，求MP 的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo) .5（ 3）圓錐曲線與直線問(wèn)題例 3.1 已知橢圓 C : x2 2y2 4 ，（1）求橢圓 C 的離心率 .（2）設(shè) O 為原點(diǎn)， 若點(diǎn) A 在橢圓 C 上，點(diǎn) B 在直線 y2 上，且 OAOB，求直線 AB與圓 x2y22 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 .22解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：xy1，42a 2 ， b2則 c2，離心率 ec2;a2直線 AB 與圓 x2y22 相切 . 證明如下：法一：設(shè)點(diǎn) AB 的坐標(biāo)分別為x0y0t 2，其中 x00 .因?yàn)?OA OB ，所以 OAOB0 ，即 tx02 y

13、00 ，解得 t2y0 .x0當(dāng) x0t 時(shí)， y0t2，代入橢圓 C 的方程，得 t2 ,2故直線 AB 的方程為 x2 . 圓心 O 到直線 AB 的距離 d2 .此時(shí)直線 AB 與圓 x2y22相切.當(dāng) x0t 時(shí)，直線 AB 的方程為 yy02t，2x0xt即 y02 xx0t y 2 x0ty00 .圓心 O 到直線 AB 的距離2 x0ty0.dy02x022t又 x022 y024 ， t2y0，故x02x02 y024 x02x0x0d2 .4y02x048x021622x0y0x0242x02此時(shí)直線 AB 與圓 x2y22相切.法二：由題意知，直線OA 的斜率存在，設(shè)為k

14、，則直線 OA 的方程為 ykx ， OA OB ，6當(dāng)k0時(shí)， A20，易知B02 ，此時(shí)直線AB的方程為 xy2 或xy 2 ，原點(diǎn)到直線 AB 的距離為2，此時(shí)直線 AB 與圓x2y22相切；當(dāng) k0 時(shí)，直線 OB 的方程為 y1，xk22k22k聯(lián)立ykx得點(diǎn) A 的坐標(biāo)212或122；x22 y21 2k2k2k1 2k4聯(lián)立y1 x得點(diǎn) B 的坐標(biāo)，k2k2y2由點(diǎn) A 的坐標(biāo)的對(duì)稱性知，無(wú)妨取點(diǎn)A22k進(jìn)行計(jì)算，12k212k22k2212k2k1于是直線 AB 的方程為： y2x2k2kx2k，222k1 k 12 k122k即 k1 2k2 x 1 k 1 2k 2 y2k

15、 22 0 ，原點(diǎn)到直線 AB 的距離 d2 k222 ,k12k 221k 122k 2此時(shí)直線 AB 與圓2y22相切。x綜上知，直線AB 一定與圓x2y22相切 .法三：當(dāng)k0時(shí)， A20，易知B02 ，此時(shí) OA2OB2，22OAOB22AB2222 ，原點(diǎn)到直線AB 的距離 d2，、AB22此時(shí)直線 AB 與圓 x2y22 相切；當(dāng) k0 時(shí)，直線 OB 的方程為 y1x ，k設(shè)A x1y1B x2y2，則OA 1 k2 x1， OB122 1 k2，k y27ykx22k22k得點(diǎn) A 的坐標(biāo)12k212k212k212k2聯(lián)立2 y2或；x24于是 OA 1 k2 xA2 1 k

16、2， OB 2 1 k2 ,12k24 1222 1k2kk2，AB24 1212k12kOA OB21k 221k 2所以 d12k 2k 22, 直線 AB 與圓 x2y22 相切；AB22 112k2綜上知，直線 AB 一定與圓 x2y22相切練習(xí) 1：已知橢圓 C :x2y21(ab0) 過(guò)點(diǎn) (0,1) ，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍. 過(guò)橢a22b圓左焦點(diǎn) F 的直線交橢圓 C 于 A，B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) .（）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線 AB 垂直于 x 軸，判斷點(diǎn) O 與以線段 AB 為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（）若點(diǎn) O 在以線段 AB 為直徑的圓內(nèi)，求直線A

17、B 的斜率 k 的取值范圍 .（ 4）圓錐曲線定值與證明問(wèn)題例 4.1已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn) O ，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為3 ，且橢圓 C 上的點(diǎn)到2兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4 （）求橢圓 C 的方程；（）設(shè) A 為橢圓 C 的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A 的直線 l 與橢圓交于點(diǎn)M ，與 y 軸交于點(diǎn) N ，過(guò)原點(diǎn)與 l 平行的直線與橢圓交于點(diǎn)P證明： | AM | | AN | 2|OP|2解：（）設(shè)橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y 21(ab0) ，a2b2a2b2c2 ,由題意知c3 ,解得 a2 ， b1a22a4,8所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y21 5 分4（）設(shè)直線AM 的方程為： yk

18、 (x2)，則 N (0,2 k) y，k( x 2)16k 2 x16k240（*）由x24 y2得 (1+4k 2 ) x24,設(shè) A(2,0)， M ( x1 , y1) ，則2， x1 是方程（ * ）的兩個(gè)根，所以 x128k 2 14k 2所以 M(28k 2,4k2 ) 14k24k1|AM|28k228k 2)2(4k2 )21616k 241 k 2(14k24k(14k2)214k21| AN | 4 4k 22 1 k 2 41k 221k28(1k 2 )|AM |AN |14k214k 2設(shè)直線 OP 的方程為： ykx y，由kx得 (1 4k2 ) x24 0 x

19、24 y24,設(shè) P( x0 , y0 ) ，則 x024， y0 214k 22 14k 24k所以 |OP|244k 2，2| OP |288k 214k 214k2所以 |AM | |AN | 2|OP|2例 4.2:X 2y21（）的離心率為3已知橢圓 C：，A（ a,0）,B(0,b)，O（ 0，a>b>0a2b220）， OAB的面積為 1.（I ）求橢圓 C 的方程；(I I) 設(shè) P的橢圓 C上一點(diǎn)，直線PA 與 Y 軸交于點(diǎn) M，直線 PB 與 x 軸交于點(diǎn) N。求證： AN BM 為定值。9練習(xí) 1：已知橢圓 C : x2y21(a b 0) 的離心率為6, 橢

20、圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)a2b23焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為523.()求橢圓 C 的方程 ;( ) 已知?jiǎng)又本€y k( x 1) 與橢圓 C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn) . 若線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1, 求斜率k 的值 ; 若點(diǎn) M (7,0) ,求證: MA MB 為定值 .23練習(xí) 2：已知拋物線 C : y 2 2 px （ p 0），其焦點(diǎn)為 F， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB （不垂直于x軸）過(guò)點(diǎn) F 且拋物線 C交于A ， B兩點(diǎn)，直線 OA 與OB 的斜率之積為p （1）求拋物線 C 的方程；（2）若 M為線段 AB的中點(diǎn)，射線 OM交拋物線 C 于點(diǎn)D ，求證：| OD | 2|OM

21、 |101練習(xí) 3： 動(dòng)點(diǎn) P( x, y) 到定點(diǎn) F (1,0) 的距離與它到定直線l : x4 的距離之比為.( ) 求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程；（）已知定點(diǎn)A( 2,0) ， B(2,0) ，動(dòng)點(diǎn) Q (4, t ) 在直線 l 上，作直線AQ 與軌跡 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為M ,作直線 BQ 與軌跡 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為N ，證明： M , N , F 三點(diǎn)共線 .（ 5）圓錐曲線最值問(wèn)題例 5： 已知橢圓 C : x2y2的離心率為3 ，橢圓 C 與 y軸交于 A，B 兩點(diǎn)，a2b21(a b 0)2|AB|2.（）求橢圓C 的方程；（）設(shè)點(diǎn) P 是橢圓 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 且點(diǎn) P

22、 在 y 軸的右側(cè) . 直線 PA， PB 與直線 x4 分別相交于 M ， N兩點(diǎn) . 若以 MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點(diǎn)E， F ，求點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的取值范圍及 | EF |的最大值 .解：（）由題意可得，b1，c3e，a2a2 13得，a24解 a24 ，橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21.4（）設(shè) P( x0 , y0 )(0x02)， A(0,1) ， B(0,1) ，所以 kPAy0 1y0 1x 1 ，直線 PA 的方程為 yx0x0同理：直線 PB 的方程為 yy0 1x 1 ，x0直線 PA 與直線 x 4的交點(diǎn)為 M (4, 4( y0 1)1) ，x01 分2 分3 分

23、4 分5 分6 分7 分11直線 PB 與直線 x4的交點(diǎn)為 N (4, 4( y01) 1)，x0線段 MN 的中點(diǎn) (4,4 y0 ) ，8 分x0所以圓的方程為 ( x4) 2( y4 y0 ) 2(14 )2，9 分x0x0令 y 0，則 ( x 4) 216 y02(1x0 )2 ，10 分x024因?yàn)?x02y021，所以y0211，11 分4x024所以 (x4)2850 ，x0因?yàn)檫@個(gè)圓與 x 軸相交 , 該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以 580 ，解得 x0 (8 ,2.12 分x05設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo) ( x1 ,0),( x2 ,0) ，則 | x1x2 | 2 58（ 8x0 2

24、 ）x05所以該圓被 x 軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2.14 分練習(xí) 1：已知橢圓 C： x2y21 a ba2b2點(diǎn)F 的直線 l 與橢圓 C交于 A，B兩點(diǎn)，線段圓于 M ，N 兩點(diǎn)。（1）求橢圓 C 的方程；（2）求四邊形 AMBN 面積的最大值。的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2，0)，離心率為6 。過(guò)焦3AB中點(diǎn)為 D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò) O，D的直線交橢練習(xí) 2： 已知橢圓 C ： mx23my21(m0) 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) .（）求橢圓C 的方程和離心率；（）設(shè)點(diǎn)A(3,0) ，動(dòng)點(diǎn) B 在 y 軸上，動(dòng)點(diǎn)P 在橢圓 C 上，且 P 在 y 軸的右側(cè)，若| BA | | BP | ，求四邊形OPAB 面積的最小值 .12（ 6）圓錐曲線存在性問(wèn)題例 6.已知橢圓 C ： x 2y21 a b 0 的離心率為2 ，點(diǎn) P 0,1 和點(diǎn) A m, n m 0a 2b22都在橢圓 C 上，直線 PA 交 x 軸于點(diǎn) M （）求橢圓 C 的方程，并求點(diǎn)M 的坐標(biāo)（用 m n