矩陣的特征值與矩陣的相似對角化PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1矩陣的特征值與矩陣的相似對角化矩陣的特征值與矩陣的相似對角化二二. 矩陣相似對角形矩陣相似對角形nA對對 階方陣階方陣 ，如果可以找到可逆矩陣，如果可以找到可逆矩陣 ，P使得使得 為對角陣，就稱為為對角陣，就稱為把方陣把方陣 對角化。對角化。1P AP A定義定義:定理定理2： 階矩陣階矩陣 可對角化（與對角陣相似）可對角化（與對角陣相似）nA 有有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量。個(gè)線性無關(guān)的特征向量。An(逆命題不成立逆命題不成立)推論推論1 :若若 階方陣階方陣 有有 個(gè)互不相同的特征值個(gè)互不相同的特征值,nAn則則 可對角化。（可對角化。（與對角陣相似與對角陣相似）A說明：說明：如果的特

2、征方程有重根，此時(shí)不一定有個(gè)線性如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有個(gè)線性An無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對角化無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對角化A第1頁/共21頁推論推論2:階方陣相似于對角陣的充要條件階方陣相似于對角陣的充要條件是的是的nAA每一個(gè)每一個(gè)it重特征值對應(yīng)個(gè)線性無關(guān)的特征向量重特征值對應(yīng)個(gè)線性無關(guān)的特征向量it第2頁/共21頁 把一個(gè)矩陣化為對角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡化，而且把一個(gè)矩陣化為對角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義。在理論和應(yīng)用上都有意義。可對角化的矩陣主要有以下可對角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：幾種應(yīng)用：1. 由特征值、特征向量反求矩

3、陣由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣已知方陣 的特征值是的特征值是A1230,1,3, 相應(yīng)的特征向量是相應(yīng)的特征向量是1231111 ,0,2 ,111 求矩陣求矩陣.A第3頁/共21頁解：解：因?yàn)樘卣飨蛄渴且驗(yàn)樘卣飨蛄渴?維向量，所以矩陣維向量，所以矩陣 是是3 階方陣。階方陣。A因?yàn)橐驗(yàn)?有有 3 個(gè)不同的特征值，所以個(gè)不同的特征值，所以 可以對角化。可以對角化。AA即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P1P AP 其中其中111102 ,111P 01,3 求得求得1111333110,22111636P 第4頁/共21頁1AP P 1113331110111021022

4、1113111636 110121011 第5頁/共21頁2. 求方陣的冪求方陣的冪例例4：設(shè)設(shè) 求求45,23A 100.A解：解：4523AE (2)(1)0 121,2. A可以對角化。可以對角化。齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，11 0AE x 1100 5522AE 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣12xx 令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:21x 111p 第6頁/共21頁齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，22 20AE x2500 25225AE 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣1252xx 令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:21x 252p 令令12(,)Ppp 1512 求得求得1251311

5、P 即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P112PAP 第7頁/共21頁1AP P 1001001APP 10015102513120211 1001001525( 1)013121102 100100101101252552132252 第8頁/共21頁3. 求行列式求行列式例例5：設(shè)設(shè) 是是 階方陣，階方陣， 是是 的的 個(gè)特征值，個(gè)特征值，An2,4,2nAn計(jì)算計(jì)算3.AE 解解：方法方法1 求求 的全部特征值，的全部特征值， 再求乘積即為行列式的值。再求乘積即為行列式的值。3AE ( )3f xx 設(shè)設(shè)A的特征值是的特征值是2,4,2n即即2 ,ii 3AE 的特征值是的特征值

6、是()23ifi 1323( 1) 1 3(23)niAEin 第9頁/共21頁方法方法2：已知已知 有有 個(gè)不同的特征值，所以個(gè)不同的特征值，所以 可以對角化，可以對角化，AnA即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P1242PAPn 1AP P 1133AEP PPEP 1(3)PE P 13PE P 3E 234323n ( 1) 1 3(23)n 第10頁/共21頁4. 判斷矩陣是否相似判斷矩陣是否相似解：解：方法方法13( )3,Bf AAAE B的特征值為的特征值為(1)1(2)3(3)19fff 令令3( )31f xxx3階矩陣階矩陣 有有3個(gè)不同的特征值，所以個(gè)不同的特征

7、值，所以 可以對角化?？梢詫腔?。BB例例6：已知已知3階矩陣階矩陣 的特征值為的特征值為1，2，3，A23,BAAE 設(shè)設(shè)問矩陣問矩陣 能否與對角陣相似？能否與對角陣相似？B第11頁/共21頁即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P1123PAP 113(3)P BPPAAE P 1311(3 )PA PPA PPEP 1111()()()3PAPPAPPAPPAPE 31112321331 1319 方法方法2：因?yàn)榫仃囈驗(yàn)榫仃?有有3個(gè)不同的特征值，所以可以對角化，個(gè)不同的特征值，所以可以對角化，A所以矩陣所以矩陣 能與對角陣相似。能與對角陣相似。B第12頁/共21頁例例7：設(shè)設(shè) 階

8、方陣階方陣 有有 個(gè)互異的特征值，個(gè)互異的特征值，nAn 階方陣階方陣 與與 有相同的特征值。有相同的特征值。nBA證明：證明：BA與與 相似。相似。證：證：設(shè)設(shè) 的的n個(gè)互異的特征值為個(gè)互異的特征值為A12,n 則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣 , 使得使得1P12111nPAP 第13頁/共21頁又又12,n 也是矩陣也是矩陣 的特征值，的特征值，B所以存在可逆矩陣所以存在可逆矩陣 , 使得使得2P12122nPBP 111122PAPPBP 112112P PAP PB 即即1111212()()P PA P PB 即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 ,使得使得1PAPB 112P PP BA即即

9、 與與 相似。相似。第14頁/共21頁相相似似，其其中中與與已已知知矩矩陣陣BA,00010002 aA,32020002 bB;,)2(,)1(1ABPPPba 使使求求可可逆逆陣陣的的值值；求求.)3(nB求求解解特特征征值值及及由由相相似似矩矩陣陣具具有有相相同同的的)1(BAniin 121, )()(BtrAtr nii1 解解之之得得得得),43(22; 3212 baba. 3, 5 ba例例8第15頁/共21頁解方程解方程，的特征值為的特征值為由由, 512)2(321 B0)(xBIi為為得得對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量分分別別,0011 ,1102 ,1103 .,1321

10、成成立立則則令令A(yù)BPPP ,)3(1 PAPB因因,)(11 PPAPAPBnnn所所以以 2121021210001,1101100011PP可可解解得得由由第16頁/共21頁于是于是 215215021521500021nnnnnnnPPAB第17頁/共21頁 問問取何值時(shí)，取何值時(shí)， ,332263132321321321 xxx,xxx,xxx設(shè)設(shè)方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)，求通解。多解時(shí)，求通解。解解 對增廣矩陣對增廣矩陣B施行初等行變換化為行階梯形矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣 33226311321B 23101310132121312 rrrr第18頁/共21頁 231013101321 10001310130122123 rrrr,1, 01時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) R(A) = R(B) = 2 3 , 有無窮多解，此時(shí)有無窮多解，此時(shí) 0000