高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸及獨(dú)立性檢驗(yàn)知識精講素材北師大版選修1-2

1、變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)【知識精講】1會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量的相關(guān)關(guān)系2了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程3掌握獨(dú)立檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法簡單應(yīng)用.4. 掌握假設(shè)檢驗(yàn)和聚類分析的基本思想、方法簡單應(yīng)用.【基礎(chǔ)梳理】1相關(guān)關(guān)系的量：當(dāng)自變量一定時，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系2回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析3散點(diǎn)圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖4正相關(guān)與負(fù)相關(guān)概念：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右

2、上角的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān)如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān)6 相關(guān)系數(shù)：r叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度7相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：|r|1，且|r|越接近1，相關(guān)程度越大；且|r|越接近0，相關(guān)程度越小8獨(dú)立性檢驗(yàn)：一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為： 2×2列聯(lián)表若要推斷的論述為H1：X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論H1成立的可能性：(1)通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無

3、法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上的兩個柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大在二維條形圖中，可以估計(jì)滿足條件Xx1的個體中具有Yy1的個體所占的比例 ，也可以估計(jì)滿足條件Xx2的個體中具有Yy2的個體所占的比例.“兩個比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大”(2)可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度具體做法是：根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值k0；利用公式K2 ，由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量K2的觀測值k；如果kk0，就以(1P(K2k0)×100%的把握認(rèn)為“X

4、與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)【要點(diǎn)解讀】要點(diǎn)七 相關(guān)關(guān)系的判斷【例7】山東魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上對某棉花新品種進(jìn)行施化肥量x對產(chǎn)量y影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷是否具有相關(guān)關(guān)系【命題立意】考查相關(guān)關(guān)系的分析方法.【標(biāo)準(zhǔn)解析】用施化肥量x作為橫軸，產(chǎn)量y為縱軸可作出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖即可分析是否具有線性相關(guān)關(guān)系【誤區(qū)警示】正確選擇坐標(biāo)描點(diǎn)，并準(zhǔn)確觀察散點(diǎn)的實(shí)際分布判斷兩變量的正相關(guān)和負(fù)相關(guān)是常用方法.【答案】(1)散點(diǎn)圖如右圖所示， (2)由散點(diǎn)圖知，各組數(shù)據(jù)對應(yīng)點(diǎn)大致都在一

5、條直線附近，所以施化肥量x與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系.【變式訓(xùn)練】(2009·寧夏、海南)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對變量u、v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(2)由這兩個散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)【標(biāo)準(zhǔn)解析】由圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢，x與y負(fù)相關(guān)，由圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢，u與v正相關(guān)【技巧點(diǎn)撥】注意正負(fù)相關(guān)的判斷標(biāo)準(zhǔn).【答案】C要點(diǎn)八 線性回歸分析【例8】一臺機(jī)器使用時間較長，

6、但還可以使用它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會有缺點(diǎn)，每小時生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果： (1)對變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；(2)如果y與x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；(3)若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件最多為10個，那么，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【命題立意】考查線性回歸分析方法?！緲?biāo)準(zhǔn)解析】利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)(也可利用散點(diǎn)圖)如果線性相關(guān)，再求回歸直線方程并加以判斷(2) 0.728 6x0.857 1.(3)要使 100.728 6x0.857 110，所以x14.901 3.所以機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在14.

7、901 3轉(zhuǎn)/秒以下【答案】【變式訓(xùn)練】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：(1)y與x間是否有線性相關(guān)關(guān)系？若有，求出線性回歸方程；(2)估計(jì)使用年限為10年時的維修費(fèi)用【標(biāo)準(zhǔn)解析】先作出散點(diǎn)圖，然后檢驗(yàn)相關(guān)性，再求其回歸直線【技巧點(diǎn)撥】對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時，首先要作出散點(diǎn)圖，然后進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線?！敬鸢浮恳c(diǎn)九 獨(dú)立性檢驗(yàn)【例9】(2009·遼寧)某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500

8、件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：甲廠： 乙廠：(1)試分別估計(jì)兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.【命題立意】考查由采集樣本的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)獨(dú)立性.【標(biāo)準(zhǔn)解析】利用公式計(jì)算K2的值，比較它與臨界值的大小關(guān)系，來判斷事件X與Y是否有關(guān)的問題【誤區(qū)警示】圖表數(shù)據(jù)及利用計(jì)算數(shù)據(jù)判斷獨(dú)立性的步驟必須正確理解.【答案】(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為64%.（2） 所以有99%的把握認(rèn)為“

9、兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異” 【變式訓(xùn)練】在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人的休閑方式是運(yùn)動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)畫出二維條形圖；(3)檢驗(yàn)休閑方式是否與性別有關(guān)，可靠性有多大【標(biāo)準(zhǔn)解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查?！炯记牲c(diǎn)撥】先由已知條件轉(zhuǎn)化聯(lián)表及條形圖，然后由公式計(jì)算k2與臨界值的關(guān)系?！敬鸢浮?1)2×2列聯(lián)表如圖： (2)二維條形圖如圖：(3)假設(shè)休閑方式與性別無關(guān),則K26.2015.024

10、，所以有理由認(rèn)為休閑方式與性別無關(guān)是不合理的，即我們有97.5%的把握認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)【原創(chuàng)題探討】【原創(chuàng)精典1】 某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3 000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1 300樣本容量130由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了，統(tǒng)計(jì)員只記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是_件【解析】設(shè)樣本的總?cè)萘繛閤，則×1 300130，x300.A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300130170(件)設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則yy10170，y80.C產(chǎn)品

11、的數(shù)量為×80800.【答案】800【原創(chuàng)精典2】如右圖是某電視臺綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A84,4.84 B84,1.6 C85,4 D85,1.6【解析】由莖葉圖可知評委打出的最低分為79，最高分為93，其余得分為84,84,86,84,87，故平均分為85，方差為3×(8485)2(8685)2(8785)21.6.【答案】D【原創(chuàng)精典3】近年來，由于亂砍濫伐，掠奪性使用森林資源，我國長江、黃河流域植被遭到破壞，土地沙化嚴(yán)重，洪澇災(zāi)害時有發(fā)生沿黃某地區(qū)為積極響

12、應(yīng)和支持“保護(hù)母親河”的倡議，建造了長100千米，寬0.5千米的防護(hù)林有關(guān)部門為掌握這一防護(hù)林共約有多少棵樹，從中選出10塊（每塊長1千米，寬0.5千米）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，每塊樹木數(shù)量如下（單位：棵）65 100 63 200 64 600 64 700 67 30063 300 65 100 66 600 62 800 65 500請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算這一防護(hù)林共約有多少棵樹（結(jié)果保留3個有效數(shù)字）【解析】要求學(xué)生有用樣本估計(jì)總體的思想方法，另一方面要求學(xué)生有應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，這是今后中考命題發(fā)展的趨勢【答案】先計(jì)算出（65 10063 20064 60064 70067 30063 30065 10

13、066 60062 80065 500）64 820于是，可以估計(jì)這一防護(hù)林平均每塊約有64820株樹又64 820×1006 482 0006.48×106（株），于是可以估計(jì)這一防護(hù)林大約共有6.48×106株樹新動向前瞻【樣題1】已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是_【解析】中位數(shù)為10.5，10.5，ab21，x10，s2(102)2(103)2(103)2(107)2(10a)2(10b)2(1012)2(1013.7)2(1018

14、.3)2(1020)2令y(10a)2(10b)22a242a22122，當(dāng)a10.5時，y取最小值，方差s2也取最小值a10.5，b10.5.【答案】10.510.5【樣題2】某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K23.918，經(jīng)查對臨界值表知P(K23.841)0.05.p：有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；s：這

15、種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是_(把你認(rèn)為正確的命題序號都填上)pq；綈pq；(綈p綈q)(rs)；(p綈r)(綈qs)【解析】由題意，得K23.918，P(K23.841)0.05，所以只有p正確，即有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，由真值表知、為真命題【答案】【樣題3】合情推理是由特殊到一般的推理，得到的結(jié)論不一定正確，演繹推理是由一般到特殊的推理，得到的結(jié)論一定正確；一般地，當(dāng)r的絕對值大于0.75時，認(rèn)為兩個變量之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，如果變量y與x之間的相關(guān)系數(shù)r0.956 8，則變量y與x之間具有線性關(guān)系；用獨(dú)立性檢驗(yàn)(2×

16、;2列聯(lián)表法)來考察兩個分類變量是否有關(guān)系時，算出的隨機(jī)變量K2的值越大，說明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大；命題p：xR使得x2x10，則綈p：xR均有x2x10.其中結(jié)論正確的序號為_(寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號)【解析】通過統(tǒng)計(jì)假設(shè)，查表得結(jié)論正確；參考兩個分類變量x和y有關(guān)系的可信度表：k2的值越大，說明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大；正確，命題p：xR使得p(x)，則綈p：xR均有綈p(x)【答案】【樣題4】出下列四個命題：xR，cos xsinsin一定不成立；今年初某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)“達(dá)菲(藥物)”對甲型H1N1流感病毒是否有抑制作用，把墨西哥的患者數(shù)據(jù)庫中的500名使

17、用達(dá)菲的人與另外500名未用達(dá)菲的人一段時間內(nèi)患甲型H1N1流感的療效記錄作比較，提出假設(shè)H0：“達(dá)菲不能起到抑制甲型H1N1流感病毒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K23.918，經(jīng)查對臨界值表知P(K23.841)0.05，說明達(dá)菲抑制甲型H1N1流感病毒的有效率為95%；|a·b|a|b|是|ab|a|b|成立的充要條件；如右圖的莖葉圖是某班在一次測驗(yàn)時的成績：可斷定：女生成績比較集中，整體水平稍高于男生其中真命題的序號是_(填上所有真命題的序號)【解析】對于，等式展開后可化簡為asin xbcos x0的形式，可知一定有解；對于，正確解釋是：有95%的把握認(rèn)為“達(dá)菲對甲型H1N1流感病毒有抑制作用”；對于，由向量模的性質(zhì)知不正確【答案】【樣題5】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求回歸直線方程；(3)試預(yù)測廣告費(fèi)支出