概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：6-2區(qū)間估計

1、區(qū)間估計的思想?yún)^(qū)間估計的思想 點估計總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，點估計總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，區(qū)間估計則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間估計則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間范圍。區(qū)間范圍。引例引例 設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命XN（ ，1002），現(xiàn)），現(xiàn)隨機抽取隨機抽取5只，測量其壽命如下：只，測量其壽命如下：1455，1502，1370，1610，1430，則該廠燈泡的平均使用壽命的點估計值為，則該廠燈泡的平均使用壽命的點估計值為11455 1502 1370 1610 14301473.45x 可以認為該種燈泡的使用壽命在

2、可以認為該種燈泡的使用壽命在1473.4個單位時間左右，個單位時間左右，但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這“左右左右”呢？呢？如果要求有如果要求有95%的把握判斷的把握判斷 在在1473.4左右，則由左右，則由U統(tǒng)計統(tǒng)計量可知量可知0,1XUNn0.95XPn 0.951.961.961.96XXnn由由查表得查表得 置信水平、置信區(qū)間置信水平、置信區(qū)間 設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù)設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù) ，對給定的，對給定的 ，如果，如果由樣本（由樣本（X1，X2，Xn）確定兩個統(tǒng)計量）確定兩個統(tǒng)計量 1（ X1，X2，Xn ），）， 2（ X1，X2

3、，Xn ），），使得使得P 1 2=1- ，則稱隨機區(qū)間（，則稱隨機區(qū)間（ 1 ， 2 ）為）為參數(shù)參數(shù) 的置信度（或置信水平）為的置信度（或置信水平）為1- 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 1置信下限置信下限 2置信上限置信上限幾點說明幾點說明 1、參數(shù)、參數(shù) 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間（的置信區(qū)間（ 1， 2） 表示該區(qū)間有表示該區(qū)間有100（1- ）%的可能性包含總體參的可能性包含總體參 數(shù)數(shù) 的真值。的真值。2、不同的、不同的置信水平，參數(shù)置信水平，參數(shù) 的置信區(qū)間不同。的置信區(qū)間不同。 3、置信區(qū)間越小，估計越精確，但置信水平會降低；置信區(qū)間越小，估計越精確，但置信水平會降低

4、； 相反，置信水平越大，估計越可靠，但精確度會降相反，置信水平越大，估計越可靠，但精確度會降 低，置信區(qū)間會較長。低，置信區(qū)間會較長。一般：對于固定的樣本容量，一般：對于固定的樣本容量， 不能同時做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也不能同時做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也 高（高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要縮小估計范大）。如果不降低可靠性，而要縮小估計范 圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 2已知，已知， 未知，未知，則取

5、則取U-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 ，對，對 做區(qū)間估計。做區(qū)間估計。XUn對給定的置信水平對給定的置信水平1- ，由，由確定臨界值（確定臨界值（X的雙側(cè)的雙側(cè) 分位數(shù)）得分位數(shù)）得 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為21P Uu 22,XuXunn將觀測值將觀測值 代入，則可得具體的區(qū)間。代入，則可得具體的區(qū)間。12,nx xx例例1 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑X可以認為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機抽取可以認為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6個，個，測得直徑為（單位：測得直徑為（單位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.

6、1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點估計；的點估計；（2）若已知方差為）若已知方差為0.06，試求該天平均直徑，試求該天平均直徑EX的置信的置信 區(qū)間：區(qū)間： =0.05； =0.01。解解 （1）由矩法估計得）由矩法估計得EX的點估計值為的點估計值為 114.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.114.956EXx續(xù)解續(xù)解 （2）由題設(shè)知）由題設(shè)知XN（ ，0.06） 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計量，得統(tǒng)計量，得EX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22,XuXunn當(dāng)當(dāng) =0.05時，時，0.0251.96u而而 0.0614.95,0.16xn所以，所以，EX的置信區(qū)

7、間為（的置信區(qū)間為（14.754，15.146）當(dāng)當(dāng) =0.01時，時，0.0052.58u所以，所以，EX的置信區(qū)間為（的置信區(qū)間為（14.692，15.208）置信水平提高，置信區(qū)間擴大，估計精確度降低。置信水平提高，置信區(qū)間擴大，估計精確度降低。 例例2 假定某地一旅游者的消費額假定某地一旅游者的消費額X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N（ ， 2），且標準差），且標準差 =12元，今要對該地旅游者的平元，今要對該地旅游者的平均消費額均消費額EX加以估計，為了能以加以估計，為了能以95%的置信度相信這種的置信度相信這種估計誤差小于估計誤差小于2元，問至少要調(diào)查多少人？元，問至少要調(diào)查多少人？解解

8、 由題意知：消費額由題意知：消費額XN（ ，122），設(shè)要調(diào)查），設(shè)要調(diào)查n人。人。由由 10.950.05即即 21.96u1.960.95XPn得得 查表得查表得 而而 2X1.962n解得解得 21.96 12138.292n至少要調(diào)查至少要調(diào)查139人人正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 ， 均未知均未知 由由 (1)Xt nSn構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 XTSn當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時，由時，由 2(1)1P Ttn 查查t-分布表確定分布表確定 2(1)tn從而得從而得 的置信水平為的置信水平

9、為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22(1),(1)SSXtnXtnnn例例3 某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認為服從正態(tài)被認為服從正態(tài)分布，今隨機抽取分布，今隨機抽取9個，測得其重量為（單位：克）：個，測得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。試用。試用95%的置信度估計全部口杯的平均重量。的置信度估計全部口杯的平均重量。解解 由題設(shè)可知：口杯的重量由題設(shè)可知：口杯的重量XN（ ， 2） 由抽取的由抽取的9個樣本，可得個樣本，可得 0.18 21.4 9Sxn由由 10.950.050.0

10、25(8)2.306t得得 查表得查表得 20.18(8)2.3060.138369Stn全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54） P127例例5與與P126例例3的比較：的比較： 12 80 25Sxn解解 由題設(shè)可知：平均消費額由題設(shè)可知：平均消費額XN（ ， 2） 10.950.050.025(24)2.064t212(24)2.0644.953625Stn平均消費額的置信區(qū)間為（平均消費額的置信區(qū)間為（75.0464，84.9536） 由由 得得 查表得查表得 估計誤差為估計誤差為 2 4.95369.90722 精確度降低精確度降低 原

11、因：樣本容量減少原因：樣本容量減少 在實際應(yīng)用中，方差未知的均值的區(qū)間估計在實際應(yīng)用中，方差未知的均值的區(qū)間估計較有應(yīng)用價值。較有應(yīng)用價值。 練習(xí)練習(xí) 假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)服從正態(tài)分布，經(jīng)調(diào)查分布，經(jīng)調(diào)查100家住戶，得出每戶每月平均需求量為家住戶，得出每戶每月平均需求量為10公斤，方差為公斤，方差為9，如果某商店供應(yīng)，如果某商店供應(yīng)10000戶，試就居民戶，試就居民對該種商品的平均需求量進行區(qū)間估計（對該種商品的平均需求量進行區(qū)間估計（ =0.01），并），并依此考慮最少要準備多少這種商品才能以依此考慮最少要準備多少這種商品才能以99

12、%的概率滿的概率滿足需求？足需求？29 10 100Sxn解解 由題設(shè)可知：平均需求量由題設(shè)可知：平均需求量XN（ ， 2） 0.010.0050.005(99)2.57tu23(99)2.570.771100Stn平均消費額的置信區(qū)間為（平均消費額的置信區(qū)間為（9.229，10.771） 由由 查表得查表得 續(xù)解續(xù)解 要以要以99%的概率滿足的概率滿足10000戶居民對該種商品的戶居民對該種商品的需求，則最少要準備的量為需求，則最少要準備的量為9.229 1000092290（公斤）（公斤） 最多準備最多準備 10.771 10000107710（公斤）（公斤） 正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)

13、間估計正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 已知，已知， 2未知未知 由由 (0,1)iXN構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2222121( )niniiiXXn查查 2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)分布表，確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn例題例題已知某種果樹產(chǎn)量服從（已知某種果樹產(chǎn)量服從（218， 2），隨機），隨機抽取抽取6棵計算其產(chǎn)量為（單位：公斤）棵計算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，

14、236試以試以95%的置信水平估計產(chǎn)量的方差。的置信水平估計產(chǎn)量的方差。解解 計算計算 6212931iix查表查表 1 0.05 20.05 222(6)1.24,(6)14.45果樹方差的置信區(qū)間為果樹方差的置信區(qū)間為 2931 2931,202.84,2363.7114.45 1.24正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 2未知未知 由由 222(1)(1)nSn構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 222(1)nS當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時，由時，由 1222222(1)(1)(1)1nSPnn 查查 2- 分

15、布表，確定雙側(cè)分位數(shù)分布表，確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn例例4 設(shè)某燈泡的壽命設(shè)某燈泡的壽命XN（ ， 2），）， ， 2未知，現(xiàn)未知，現(xiàn)從中任取從中任取5個燈泡進行壽命試驗，得數(shù)據(jù)個燈泡進行壽命試驗，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時），求置信水平為（單位：千小時），求置信水平為90%的的 2的區(qū)間估計。的區(qū)間估計。解解 樣本方差及均值分別為樣本方差及均值分別為 20.99511.6Sx10.90.1220.051 0.

16、05(4)0.711(4)9.488220.05(1)4 0.9955.5977(4)0.711nS 2的置信區(qū)間為（的置信區(qū)間為（0.4195，5.5977） 由由 得得 查表得查表得 220.95(1)0.4195(4)nS小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （1）方差已知，對均值的區(qū)間估計）方差已知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計量統(tǒng)計量，反查標準正態(tài)分布表，反查標準正態(tài)分布表，確定確定U的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 22,XuXunn2u得得EX的的區(qū)間估計區(qū)間估計為為 小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布

17、的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （2）方差未知，對均值的區(qū)間估計）方差未知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計量統(tǒng)計量，查，查t-分布臨界值表，分布臨界值表，確定確定T的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 22(1),(1)SSXtnXtnnn得得EX的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 2(1)tn小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （3）均值已知，對方差的區(qū)間估計）均值已知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量，查，查 2-分布臨界值表，分布臨界值表，確定

18、確定 2的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （4）均值未知，對方差的區(qū)間估計）均值未知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量，查，查 2-分布臨界值表，分布臨界值表，確定確定 2的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造）方差已知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造U統(tǒng)計量統(tǒng)計量 22,XuXunn（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造）方差未知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造T統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2