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文檔簡介
1、區(qū)間估計的思想?yún)^(qū)間估計的思想 點估計總是有誤差的,但沒有衡量偏差程度的量,點估計總是有誤差的,但沒有衡量偏差程度的量,區(qū)間估計則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間估計則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間范圍。區(qū)間范圍。引例引例 設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命XN( ,1002),現(xiàn)),現(xiàn)隨機抽取隨機抽取5只,測量其壽命如下:只,測量其壽命如下:1455,1502,1370,1610,1430,則該廠燈泡的平均使用壽命的點估計值為,則該廠燈泡的平均使用壽命的點估計值為11455 1502 1370 1610 14301473.45x 可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在
2、可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在1473.4個單位時間左右,個單位時間左右,但范圍有多大呢?又有多大的可能性在這但范圍有多大呢?又有多大的可能性在這“左右左右”呢?呢?如果要求有如果要求有95%的把握判斷的把握判斷 在在1473.4左右,則由左右,則由U統(tǒng)計統(tǒng)計量可知量可知0,1XUNn0.95XPn 0.951.961.961.96XXnn由由查表得查表得 置信水平、置信區(qū)間置信水平、置信區(qū)間 設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù)設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù) ,對給定的,對給定的 ,如果,如果由樣本(由樣本(X1,X2,Xn)確定兩個統(tǒng)計量)確定兩個統(tǒng)計量 1( X1,X2,Xn ),), 2( X1,X2
3、,Xn ),),使得使得P 1 2=1- ,則稱隨機區(qū)間(,則稱隨機區(qū)間( 1 , 2 )為)為參數(shù)參數(shù) 的置信度(或置信水平)為的置信度(或置信水平)為1- 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 1置信下限置信下限 2置信上限置信上限幾點說明幾點說明 1、參數(shù)、參數(shù) 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間(的置信區(qū)間( 1, 2) 表示該區(qū)間有表示該區(qū)間有100(1- )%的可能性包含總體參的可能性包含總體參 數(shù)數(shù) 的真值。的真值。2、不同的、不同的置信水平,參數(shù)置信水平,參數(shù) 的置信區(qū)間不同。的置信區(qū)間不同。 3、置信區(qū)間越小,估計越精確,但置信水平會降低;置信區(qū)間越小,估計越精確,但置信水平會降低
4、; 相反,置信水平越大,估計越可靠,但精確度會降相反,置信水平越大,估計越可靠,但精確度會降 低,置信區(qū)間會較長。低,置信區(qū)間會較長。一般:對于固定的樣本容量,一般:對于固定的樣本容量, 不能同時做到精確度高(置信區(qū)間?。?,可靠程度也不能同時做到精確度高(置信區(qū)間?。?,可靠程度也 高(高(1- 大)。如果不降低可靠性,而要縮小估計范大)。如果不降低可靠性,而要縮小估計范 圍,則必須增大樣本容量,增加抽樣成本。圍,則必須增大樣本容量,增加抽樣成本。正態(tài)總體方差已知,對均值的區(qū)間估計正態(tài)總體方差已知,對均值的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN( , 2),其中),其中 2已知,已知, 未知,未知,則取
5、則取U-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 ,對,對 做區(qū)間估計。做區(qū)間估計。XUn對給定的置信水平對給定的置信水平1- ,由,由確定臨界值(確定臨界值(X的雙側(cè)的雙側(cè) 分位數(shù))得分位數(shù))得 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為21P Uu 22,XuXunn將觀測值將觀測值 代入,則可得具體的區(qū)間。代入,則可得具體的區(qū)間。12,nx xx例例1 某車間生產(chǎn)滾珠,從長期實踐中知道,滾珠直徑某車間生產(chǎn)滾珠,從長期實踐中知道,滾珠直徑X可以認(rèn)為服從正態(tài)分布,從某天的產(chǎn)品中隨機抽取可以認(rèn)為服從正態(tài)分布,從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6個,個,測得直徑為(單位:測得直徑為(單位:cm) 14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.
6、1(1)試求該天產(chǎn)品的平均直徑)試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點估計;的點估計;(2)若已知方差為)若已知方差為0.06,試求該天平均直徑,試求該天平均直徑EX的置信的置信 區(qū)間:區(qū)間: =0.05; =0.01。解解 (1)由矩法估計得)由矩法估計得EX的點估計值為的點估計值為 114.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.114.956EXx續(xù)解續(xù)解 (2)由題設(shè)知)由題設(shè)知XN( ,0.06) 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計量,得統(tǒng)計量,得EX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22,XuXunn當(dāng)當(dāng) =0.05時,時,0.0251.96u而而 0.0614.95,0.16xn所以,所以,EX的置信區(qū)
7、間為(的置信區(qū)間為(14.754,15.146)當(dāng)當(dāng) =0.01時,時,0.0052.58u所以,所以,EX的置信區(qū)間為(的置信區(qū)間為(14.692,15.208)置信水平提高,置信區(qū)間擴大,估計精確度降低。置信水平提高,置信區(qū)間擴大,估計精確度降低。 例例2 假定某地一旅游者的消費額假定某地一旅游者的消費額X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N( , 2),且標(biāo)準(zhǔn)差),且標(biāo)準(zhǔn)差 =12元,今要對該地旅游者的平元,今要對該地旅游者的平均消費額均消費額EX加以估計,為了能以加以估計,為了能以95%的置信度相信這種的置信度相信這種估計誤差小于估計誤差小于2元,問至少要調(diào)查多少人?元,問至少要調(diào)查多少人?解解
8、 由題意知:消費額由題意知:消費額XN( ,122),設(shè)要調(diào)查),設(shè)要調(diào)查n人。人。由由 10.950.05即即 21.96u1.960.95XPn得得 查表得查表得 而而 2X1.962n解得解得 21.96 12138.292n至少要調(diào)查至少要調(diào)查139人人正態(tài)總體方差未知,對均值的區(qū)間估計正態(tài)總體方差未知,對均值的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN( , 2),其中),其中 , 均未知均未知 由由 (1)Xt nSn構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 XTSn當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時,由時,由 2(1)1P Ttn 查查t-分布表確定分布表確定 2(1)tn從而得從而得 的置信水平為的置信水平
9、為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22(1),(1)SSXtnXtnnn例例3 某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從正態(tài)被認(rèn)為服從正態(tài)分布,今隨機抽取分布,今隨機抽取9個,測得其重量為(單位:克):個,測得其重量為(單位:克):21.1,21.3,21.4,21.5,21.3,21.7,21.4,21.3,21.6。試用。試用95%的置信度估計全部口杯的平均重量。的置信度估計全部口杯的平均重量。解解 由題設(shè)可知:口杯的重量由題設(shè)可知:口杯的重量XN( , 2) 由抽取的由抽取的9個樣本,可得個樣本,可得 0.18 21.4 9Sxn由由 10.950.050.0
10、25(8)2.306t得得 查表得查表得 20.18(8)2.3060.138369Stn全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為(全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為(21.26,21.54) P127例例5與與P126例例3的比較:的比較: 12 80 25Sxn解解 由題設(shè)可知:平均消費額由題設(shè)可知:平均消費額XN( , 2) 10.950.050.025(24)2.064t212(24)2.0644.953625Stn平均消費額的置信區(qū)間為(平均消費額的置信區(qū)間為(75.0464,84.9536) 由由 得得 查表得查表得 估計誤差為估計誤差為 2 4.95369.90722 精確度降低精確度降低 原
11、因:樣本容量減少原因:樣本容量減少 在實際應(yīng)用中,方差未知的均值的區(qū)間估計在實際應(yīng)用中,方差未知的均值的區(qū)間估計較有應(yīng)用價值。較有應(yīng)用價值。 練習(xí)練習(xí) 假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)服從正態(tài)分布,經(jīng)調(diào)查分布,經(jīng)調(diào)查100家住戶,得出每戶每月平均需求量為家住戶,得出每戶每月平均需求量為10公斤,方差為公斤,方差為9,如果某商店供應(yīng),如果某商店供應(yīng)10000戶,試就居民戶,試就居民對該種商品的平均需求量進行區(qū)間估計(對該種商品的平均需求量進行區(qū)間估計( =0.01),并),并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以99
12、%的概率滿的概率滿足需求?足需求?29 10 100Sxn解解 由題設(shè)可知:平均需求量由題設(shè)可知:平均需求量XN( , 2) 0.010.0050.005(99)2.57tu23(99)2.570.771100Stn平均消費額的置信區(qū)間為(平均消費額的置信區(qū)間為(9.229,10.771) 由由 查表得查表得 續(xù)解續(xù)解 要以要以99%的概率滿足的概率滿足10000戶居民對該種商品的戶居民對該種商品的需求,則最少要準(zhǔn)備的量為需求,則最少要準(zhǔn)備的量為9.229 1000092290(公斤)(公斤) 最多準(zhǔn)備最多準(zhǔn)備 10.771 10000107710(公斤)(公斤) 正態(tài)總體均值已知,對方差的區(qū)
13、間估計正態(tài)總體均值已知,對方差的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN( , 2),其中),其中 已知,已知, 2未知未知 由由 (0,1)iXN構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2222121( )niniiiXXn查查 2- 分布表,確定雙側(cè)分位數(shù)分布表,確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn例題例題已知某種果樹產(chǎn)量服從(已知某種果樹產(chǎn)量服從(218, 2),隨機),隨機抽取抽取6棵計算其產(chǎn)量為(單位:公斤)棵計算其產(chǎn)量為(單位:公斤)221,191,202,205,256,
14、236試以試以95%的置信水平估計產(chǎn)量的方差。的置信水平估計產(chǎn)量的方差。解解 計算計算 6212931iix查表查表 1 0.05 20.05 222(6)1.24,(6)14.45果樹方差的置信區(qū)間為果樹方差的置信區(qū)間為 2931 2931,202.84,2363.7114.45 1.24正態(tài)總體均值未知,對方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值未知,對方差的區(qū)間估計 如果總體如果總體XN( , 2),其中),其中 2未知未知 由由 222(1)(1)nSn構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 222(1)nS當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時,由時,由 1222222(1)(1)(1)1nSPnn 查查 2- 分
15、布表,確定雙側(cè)分位數(shù)分布表,確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn例例4 設(shè)某燈泡的壽命設(shè)某燈泡的壽命XN( , 2),), , 2未知,現(xiàn)未知,現(xiàn)從中任取從中任取5個燈泡進行壽命試驗,得數(shù)據(jù)個燈泡進行壽命試驗,得數(shù)據(jù)10.5,11.0,11.2,12.5,12.8(單位:千小時),求置信水平為(單位:千小時),求置信水平為90%的的 2的區(qū)間估計。的區(qū)間估計。解解 樣本方差及均值分別為樣本方差及均值分別為 20.99511.6Sx10.90.1220.051 0.
16、05(4)0.711(4)9.488220.05(1)4 0.9955.5977(4)0.711nS 2的置信區(qū)間為(的置信區(qū)間為(0.4195,5.5977) 由由 得得 查表得查表得 220.95(1)0.4195(4)nS小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 (1)方差已知,對均值的區(qū)間估計)方差已知,對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計量統(tǒng)計量,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,確定確定U的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 22,XuXunn2u得得EX的的區(qū)間估計區(qū)間估計為為 小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布
17、的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 (2)方差未知,對均值的區(qū)間估計)方差未知,對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計量統(tǒng)計量,查,查t-分布臨界值表,分布臨界值表,確定確定T的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 22(1),(1)SSXtnXtnnn得得EX的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 2(1)tn小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 (3)均值已知,對方差的區(qū)間估計)均值已知,對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量,查,查 2-分布臨界值表,分布臨界值表,確定
18、確定 2的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 (4)均值未知,對方差的區(qū)間估計)均值未知,對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量,查,查 2-分布臨界值表,分布臨界值表,確定確定 2的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn(1)方差已知,對均值的區(qū)間估計,構(gòu)造)方差已知,對均值的區(qū)間估計,構(gòu)造U統(tǒng)計量統(tǒng)計量 22,XuXunn(2)方差未知,對均值的區(qū)間估計,構(gòu)造)方差未知,對均值的區(qū)間估計,構(gòu)造T統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2
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